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卡尔曼

状态估计的卡尔曼滤波器设计

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    [kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N)
    [kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N，传感器，已知)
    [kalmf,L,P,Mx,Z,My] = kalman(___）
    [kalmf,L,P,Mx,Z,My] = kalman(___、类型)

    描述

    例子

    ［kalmf，l，P=卡尔曼(sys，问，R，N）创建给定植物模型的卡尔曼滤波器sys和噪声协方差数据问，R,N．该函数计算用于卡尔曼估计器的卡尔曼滤波器，配置如下图所示。

    卡尔曼估计包括植物系统和卡尔曼滤波器。工厂有输入u，噪声输入w，输出yt。卡尔曼滤波器以w和有噪声的植物输出y = yt + v作为输入，滤波器输出为估计的真实植物输出y帽和估计的状态值x帽。

    你构建模型sys已知输入u和白色过程噪声输入w，以致于w由最后一个组成Nw输入sys．“真实”的植物产量yt的所有输出sys．您还提供噪声协方差数据问，R,N．返回的卡尔曼滤波器kalmf是否采用已知输入的状态空间模型u还有噪声测量y然后做出一个估计 y ＾ 工厂的真实产量和估计值 x ＾ 植物状态。卡尔曼也返回卡尔曼增益l稳态误差协方差矩阵P．

    例子

    ［kalmf，l，P=卡尔曼(sys，问，R，N，传感器，已知的）当下列条件之一或两者同时存在时，计算卡尔曼滤波器。

    • 并非所有的输出sys测量。

    • 扰动输入w不是最后的输入吗sys．

    指标向量传感器的输出sys测量。这些输出组成y．指标向量已知的指定哪些输入是已知的(确定性)。已知的输入构成u．的卡尔曼命令的其余输入sys是随机输入w．

    ［kalmf，l，P，Mx，Z，我的=卡尔曼(___）还回报创新收益Mx和我的稳态误差协方差P和Z对于离散时间sys．您可以将此语法用于前面的任何输入参数组合。

    ［kalmf，l，P，Mx，Z，我的=卡尔曼(___，类型）指定离散时间的估计器类型sys．

    • Type = 'current'-计算输出估计 y ＾ ［ n | n ］ 以及各州的估计 x ＾ ［ n | n ］ 使用所有可用的测量到 y ［ n ］ ．

    • Type = 'delayed'-计算输出估计 y ＾ ［ n | n − 1 ］ 以及各州的估计 x ＾ ［ n | n − 1 ］ 使用测量仅到 y ［ n − 1 ］ ．延迟估计器更容易在控制循环内实现。

    您可以使用类型输入参数与任何先前的输入参数组合。

    例子

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    打开实时脚本

    为有加性白噪声的工厂设计卡尔曼滤波器w在输入和v输出，如下图所示。

    kalman4.png

    假设植物具有以下状态空间矩阵，并且是一个样本时间未知的离散时间植物(Ts = -1)．

    A = [1.1269 -0.4940 0.1129 1.0000 000 1.0000 0];B = [-0.3832 0.5919 0.5191];C = [1 0 0];D = 0;植物= ss(A,B,C,D，-1);工厂。我nputName =“联合国”；工厂。OutputName =“次”；

    使用卡尔曼，您必须提供一个模型sys它对噪声有一个输入w．因此,sys不一样吗植物,因为植物接受输入UN = u + w．你可以构造sys通过为噪声输入创建求和结。

    Sum = sumblk('un = u + w'）;sys = connect(Plant,Sum，{“u”，' w '}，“次”）;

    同样地，你可以使用sys = Plant*[1 1]．

    指定噪声协方差。因为工厂有一个噪声输入和一个输出，这些值是标量。在实践中，这些值是系统中噪声源的属性，您可以通过测量或系统的其他知识来确定。对于这个例子，假设两个噪音源都有单位协方差且不相关(N= 0)。

    Q = 1;R = 1;N = 0;

    设计过滤器。

    [kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N);大小(kalmf)
    具有4个输出、2个输入和3个状态的状态空间模型。

    卡尔曼滤波器kalmf是具有两个输入和四个输出的状态空间模型。kalmf以植物输入信号为输入u而工厂的输出噪声很大 y ＝ y t + v ．第一个输出是估计的真实工厂产量 y ˆ ．其余三个输出是状态估计 x ˆ ．的输入和输出名称kalmf来看看卡尔曼相应地给它们贴上标签。

    kalmf。我nputName
    ans =2 x1细胞{'u'} {'yt'}
    kalmf。OutputName
    ans =4 x1细胞{'yt_e'} {'x1_e'} {'x2_e'} {'x3_e'}

    检验卡尔曼增益l．对于一个有三个状态的SISO工厂，l是一个三元素列向量。

    l
    L =3×10.3586 0.3798 0.0817

    为一个例子，说明如何使用kalmf要减少由于噪声引起的测量误差，请参见卡尔曼滤波．

    打开实时脚本

    考虑一个有三个输入的工厂，其中一个代表过程噪声w，和两个测量输出。工厂有四个状态。

    kalman5.png

    假设有以下状态空间矩阵，创建sys．

    A = [-0.71 0.06 -0.19 -0.17;0.06 -0.52 -0.03 0.30;-0.19 -0.03 -0.24 -0.02;-0.17 0.30 -0.02 -0.41];B = [1.44 2.91 0;-1.97 0.83 -0.27;-0.20 1.39 1.10;-1.2 0 -0.28];C = [0 -0.36 -1.58 0.28;-2.05 0 0.51 0.03]; D = zeros(2,3); sys = ss(A,B,C,D); sys.InputName = {‘u1’，“u2”，' w '};sys。OutputName = {“日元”，“日元”};

    因为工厂只有一个过程噪声输入，协方差问是标量。对于这个例子，假设过程噪声有单位协方差。

    Q = 1;

    卡尔曼使用的维度问来确定哪些输入是已知的，哪些是噪声输入。对于标量问，卡尔曼假设一个噪声输入并使用最后一个输入，除非您另有指定(参见输出不可测的植物)．

    对于两个输出上的测量噪声，指定一个2 × 2噪声协方差矩阵。对于本例，第一个输出使用单位方差，第二个输出使用1.3的方差。将非对角线值设置为零表示两个噪声通道不相关。

    R = [10 0;0 1.3);

    设计卡尔曼滤波器。

    [kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R);

    检查输入和输出。卡尔曼使用InputName，OutputName，InputGroup,OutputGroup的属性kalmf帮助你记录输入和输出kalmf代表。

    kalmf。我nputGroup
    ans =带字段的结构:已知输入:[1 2]测量:[3 4]
    kalmf。我nputName
    ans =4 x1细胞{'u1'} {'u2'} {'y1'} {'y2'}
    kalmf。OutputGroup
    ans =带字段的结构:输出估计:[1 2]状态估计:[3 4 5 6]
    kalmf。OutputName
    ans =6 x1细胞{' y1_e}{‘y2_e}{‘x1_e}{‘x2_e}{‘x3_e} {' x4_e '}

    因此有两个已知的输入u1和u2前两个输入是kalmf和两个测量输出日元和y2最后两个输入是否为kalmf．的输出kalmf，前两个为估计输出，其余四个为状态估计。为了使用卡尔曼滤波器，以类似于SISO设备的方式将这些输入连接到设备和噪声信号卡尔曼滤波．

    打开实时脚本

    考虑一个有四个输入和两个输出的工厂。第一个和第三个输入是已知的，而第二个和第四个输入表示过程噪声。该装置也有两个输出，但只有第二个输出被测量。

    kalman6.png

    使用以下状态空间矩阵创建sys．

    A = [-0.37 0.14 -0.01 0.04;0.14 -1.89 0.98 -0.11;-0.01 0.98 -0.96 -0.14;0.04 -0.11 -0.14 -0.95];B = [-0.07 -2.32 0.68 0.10;-2.49 0.08 0 0.83;0 -0.95 0 0.54;-2.19 0.41 0.45 0.90];C = [0 0 -0.50 -0.38;-0.15 -2.12 -1.27 0.65]; D = zeros(2,4); sys = ss(A,B,C,D,-1);%不确定抽样时间的离散性sys。我nputName = {‘u1’，“w1”，“u2”，“那”};sys。OutputName = {“云”，“ym”};

    使用卡尔曼若要为此系统设计过滤器，请使用已知的和传感器Input参数用于指定工厂的哪些输入是已知的，哪些输出是测量的。

    已知= [1 3];传感器= [2];

    指定噪声协方差并设计滤波器。

    Q =眼睛(2);R = 1;N = 0;[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N，传感器，已知);

    的输入和输出标签kalmf显示筛选器期望的输入和它返回的输出。

    kalmf。我nputGroup
    ans =带字段的结构:KnownInput: [1 2
    kalmf。我nputName
    ans =3 x1细胞{'u1'} {'u2'} {'ym'}

    kalmf的两个已知输入作为输入sys的噪声测量输出sys．

    kalmf。OutputGroup
    ans =带字段的结构:输出估计:1状态估计:[2 3 4 5]

    的第一个输出kalmf是它对实测植物产量的真实值的估计值。剩余的输出是状态估计。

    输入参数

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    带有过程噪声的工厂模型，指定为状态空间(党卫军)模型。工厂有已知的投入u和白色过程噪声输入w．工厂产量yt不包括测量噪声。

    图表显示系统包括工厂动态和过程噪声输入，但不包括工厂输出的附加噪声。

    你可以这样写一个植物模型的状态空间矩阵:

    一个 ， ［ B G ］ ， C ， ［ D H ］

    卡尔曼假设高斯噪声v在输出上。因此，在连续时间中，状态空间方程卡尔曼与他合作的有:

    x ˙ ＝ 一个 x + B u + G w y ＝ C x + D u + H w + v

    在离散时间下，状态空间方程为:

    x ［ n + 1 ］ ＝ 一个 x ［ n ］ + B u ［ n ］ + G w ［ n ］ y ［ n ］ ＝ C x ［ n ］ + D u ［ n ］ + H w ［ n ］ + v ［ n ］

    如果您不使用已知的输入参数,卡尔曼使用的大小问来确定的输入sys都是噪声输入。在这种情况下，卡尔曼对待最后一个Nw＝大小(Q, 1)输入作为噪声输入。当噪声输入w不是最后的输入吗sys，你可以使用已知的参数指定已知哪些植物输入。卡尔曼其余的输入都是随机的。

    有关植物基质属性的其他约束，请参见限制．

    过程噪声协方差，指定为标量或Nw——- - - - - -Nw矩阵,Nw是输入到工厂的噪声的数量。卡尔曼使用的大小问来确定的输入sys噪声输入是最后一个吗Nw＝大小(Q, 1)的输入为噪声输入，除非另有指定已知的输入参数。

    卡尔曼假设过程噪声w高斯噪声是否具有协方差问＝E（wwT)．当工厂只有一个过程噪声输入时，问标量是否等于的方差w．当工厂有多个不相关的噪声输入时，问是一个对角矩阵。在实践中，您将确定适当的值问通过测量或对系统的噪声特性进行有根据的猜测。

    测量噪声协方差，指定为标量或Ny——- - - - - -Ny矩阵,Ny是工厂产出的数量。卡尔曼假设测量噪声v白噪声是否具有协方差R＝E（vvT)．当工厂只有一个输出通道时，R标量是否等于的方差v．当设备有多个输出通道且测量噪声不相关时，R是一个对角矩阵。在实践中，您将确定适当的值R通过测量或对系统的噪声特性进行有根据的猜测。

    有关测量噪声协方差的其他约束，请参见限制．

    噪声交叉协方差，指定为标量或Ny——- - - - - -Nw矩阵。卡尔曼假设过程噪声w测量噪声v满足N＝E（西弗吉尼亚州T)．如果两个噪声源不相关，可以省略N，相当于设置N = 0．在实践中，您将确定适当的值N通过测量或对系统的噪声特性进行有根据的猜测。

    测量输出sys，指定为索引向量，用于标识的输出sys测量。例如，假设您的系统有三个输出，但只测量了其中两个，对应于的第一个和第三个输出sys．在本例中，设置传感器= [1 3]．

    的已知输入sys，指定为索引向量，标识哪些输入是已知的(确定性)。例如，假设您的系统有三个输入，但只有第一个和第二个输入是已知的。在本例中，设置已知= [1 2]．卡尔曼的任何剩余输入sys是随机的。

    要计算的离散时间估计器的类型，指定为任意一种“当前”或“延迟”．这个输入只与离散时间相关sys．

    • “当前”-计算输出估计 y ＾ ［ n | n ］ 以及各州的估计 x ＾ ［ n | n ］ 使用所有可用的测量到 y ［ n ］ ．

    • “延迟”-计算输出估计 y ＾ ［ n | n − 1 ］ 以及各州的估计 x ＾ ［ n | n − 1 ］ 使用测量仅到 y ［ n − 1 ］ ．延迟估计器更容易在控制循环内实现。

    有关如何卡尔曼计算当前和延迟的估计，请参见离散时间估计．

    输出参数

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    卡尔曼估计器或卡尔曼滤波器，作为状态空间返回(党卫军)模型。得到的估计器有输入 ［ u ； y ］ 和输出 ［ y ＾ ； x ＾ ］ ．换句话说，kalmf把植物的输入作为输入u而工厂的输出噪声很大y，并产生作为输出的估计无噪声植物产量 y ＾ 以及估计的状态值 x ＾ ．

    图中显示输入u和y，输出y帽和x帽的卡尔曼滤波器。

    卡尔曼自动设置InputName，OutputName，InputGroup,OutputGroup的属性kalmf帮助您跟踪哪些输入和输出对应哪些信号。

    的状态方程和输出方程kalmf,请参阅连续时间估计和离散时间估计．

    过滤器增益，作为大小数组返回Nx——- - - - - -Ny,在那里Nx工厂中的状态数和Ny是工厂产出的数量。连续时间下，卡尔曼滤波器的状态方程为:

    x ＾ ˙ ＝ 一个 x ＾ + B u + l （ y − C x ＾ − D u ） ．

    离散时间条件下，状态方程为:

    x ＾ ［ n + 1 | n ］ ＝ 一个 x ＾ ［ n | n − 1 ］ + B u ［ n ］ + l （ y ［ n ］ − C x ＾ ［ n | n − 1 ］ − D u ［ n ］ ） ．

    有关这些表达式的详细信息以及如何使用这些表达式l的计算，请参见连续时间估计和离散时间估计．

    稳态误差协方差，返回Nx——- - - - - -Nx,在那里Nx是工厂中的状态数。卡尔曼滤波器计算最小化的状态估计P．连续时间下，稳态误差协方差为:

    P ＝ lim t → ∞ E （ ｛ x − x ＾ ｝ ｛ x − x ＾ ｝ T ） ．

    在离散时间下，稳态误差协方差为:

    P ＝ lim n → ∞ E （ ｛ x ［ n ］ − x ＾ ［ n | n − 1 ］ ｝ ｛ x ［ n ］ − x ＾ ［ n | n − 1 ］ ｝ T ） ， Z ＝ lim n → ∞ E （ ｛ x ［ n ］ − x ＾ ［ n | n ］ ｝ ｛ x ［ n ］ − x ＾ ［ n | n ］ ｝ T ） ．

    了解更多关于这些量的详细信息卡尔曼使用它们，参见连续时间估计和离散时间估计．

    离散时间系统的状态估计器的创新增益，以数组形式返回。

    Mx和我的只有当类型= '现在'，它是离散时间系统的默认估计器。对连续时间sys或类型=“延迟”,然后Mx = My = []．

    为“当前”类型估计量,Mx和我的更新方程中的创新收益是:

    x ＾ ［ n | n ］ ＝ x ＾ ［ n | n − 1 ］ + 米 x （ y ［ n ］ − C x ＾ ［ n | n − 1 ］ − D u ［ n ］ ）

    y ＾ ［ n | n ］ ＝ C x ＾ ［ n | n − 1 ］ + D u ［ n ］ + 米 y （ y ［ n ］ − C x ＾ ［ n | n − 1 ］ − D u ［ n ］ ）

    当噪声输入没有直接馈通时w到工厂产量y(也就是说，当H= 0，见离散时间估计),然后 米 y ＝ C 米 x ，则输出估计化简为 y ＾ ［ n | n ］ ＝ C x ＾ ［ n | n ］ + D u ［ n ］ ．

    数组的维数Mx和我的取决于的尺寸sys如下。

    • Mx- - - - - -Nx——- - - - - -Ny,在那里Nx工厂中的状态数和Ny是输出的数量。

    • 我的- - - - - -Ny——- - - - - -Ny．

    有关如何卡尔曼获得Mx和我的,请参阅离散时间估计．

    限制

    设备和噪声数据必须满足:

    • （C，一个)，其中:

    • R ¯ > 0 和 ［ 问 ¯ N ¯ ； N ¯ ” R ¯ ］ ≥ 0 ,在那里

      ［ 问 ¯ N ¯ N ¯ ” R ¯ ］ ＝ ［ G 0 H 我 ］ ［ 问 N N ” R ］ ［ G 0 H 我 ］ ” ．

    • （ 一个 − N ¯ R ¯ − 1 C ， 问 ¯ − N ¯ R ¯ − 1 N ¯ T ） 在连续时间的虚轴上没有不可控模式，在离散时间的单位圆上也没有不可控模式。

    算法

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    连续时间估计

    考虑一个已知输入的连续时间植物u，过程白噪声w，白测量噪声v：

    x ˙ ＝ 一个 x + B u + G w y ＝ C x + D u + H w + v

    噪音信号w和v满足:

    E （ w ） ＝ E （ v ） ＝ 0 ， E （ w w T ） ＝ 问 ， E （ v v T ） ＝ R ， E （ w v T ） ＝ N

    卡尔曼滤波器，或卡尔曼估计器，计算一个状态估计 x ＾ （ t ） 使稳态误差协方差最小化:

    P ＝ lim t → ∞ E （ ｛ x − x ＾ ｝ ｛ x − x ＾ ｝ T ） ．

    卡尔曼滤波器有以下状态方程和输出方程:

    d x ＾ d t ＝ 一个 x ＾ + B u + l （ y − C x ＾ − D u ） ［ y ＾ x ＾ ］ ＝ ［ C 我 ］ x ＾ + ［ D 0 ］ u

    得到滤波器增益l，卡尔曼求解一个代数Riccati方程，得到

    l ＝ （ P C T + N ¯ ） R ¯ − 1

    在哪里

    R ¯ ＝ R + H N + N T H T + H 问 H T N ¯ ＝ G （ 问 H T + N ）

    P求解相应的代数Riccati方程。

    估计器使用已知的输入u还有测量y生成输出和状态估计 y ＾ 和 x ＾ ．

    离散时间估计

    离散植物由:

    x ［ n + 1 ］ ＝ 一个 x ［ n ］ + B u ［ n ］ + G w ［ n ］ y ［ n ］ ＝ C x ［ n ］ + D u ［ n ］ + H w ［ n ］ + v ［ n ］

    在离散时间，噪声信号w和v满足:

    E （ w ［ n ］ w ［ n ］ T ） ＝ 问 ， E （ v ［ n ］ v ［ n ］ T ） ＝ R ， E （ w ［ n ］ v ［ n ］ T ） ＝ N

    离散时间估计器的状态方程如下:

    x ＾ ［ n + 1 | n ］ ＝ 一个 x ＾ ［ n | n − 1 ］ + B u ［ n ］ + l （ y ［ n ］ − C x ＾ ［ n | n − 1 ］ − D u ［ n ］ ） ．

    卡尔曼求解离散Riccati方程得到增益矩阵l：

    l ＝ （ 一个 P C T + N ¯ ） （ C P C T + R ¯ ） − 1

    在哪里

    R ¯ ＝ R + H N + N T H T + H 问 H T N ¯ ＝ G （ 问 H T + N ）

    卡尔曼可以计算离散时间卡尔曼估计量的两种变体，电流估计量(类型＝“当前”)和延迟估计量(类型＝“延迟”)．

    • 电流估计器-生成输出估计 y ＾ ［ n | n ］ 以及各州的估计 x ＾ ［ n | n ］ 使用所有可用的测量到 y ［ n ］ ．这个估计器有输出方程

      ［ y ＾ ［ n | n ］ x ＾ ［ n | n ］ ］ ＝ ［ （ 我 − 米 y ） C 我 − 米 x C ］ x ＾ ［ n | n − 1 ］ + ［ （ 我 − 米 y ） D 米 y − 米 x D 米 x ］ ［ u ［ n ］ y ［ n ］ ］ ．

      创新成果在哪里米x和米y定义为:

      米 x ＝ P C T （ C P C T + R ¯ ） − 1 ， 米 y ＝ （ C P C T + H 问 H T + H N ） （ C P C T + R ¯ ） − 1 ．

      因此,米x更新状态估计 x ＾ ［ n | n − 1 ］ 使用新的测量方法 y ［ n ］ ：

      x ＾ ［ n | n ］ ＝ x ＾ ［ n | n − 1 ］ + 米 x （ y ［ n ］ − C x ＾ ［ n | n − 1 ］ − D u ［ n ］ ）

      同样的,米y计算更新的输出估计值:

      y ＾ ［ n | n ］ ＝ C x ＾ ［ n | n − 1 ］ + D u ［ n ］ + 米 y （ y ［ n ］ − C x ＾ ［ n | n − 1 ］ − D u ［ n ］ ）

      当H= 0，则 米 y ＝ C 米 x ，则输出估计化简为 y ＾ ［ n | n ］ ＝ C x ＾ ［ n | n ］ + D u ［ n ］ ．

    • 延迟估计器——生成输出估计 y ＾ ［ n | n − 1 ］ 以及各州的估计 x ＾ ［ n | n − 1 ］ 使用测量仅到yv［n1]。该估计器的输出方程为:

      ［ y ＾ ［ n | n − 1 ］ x ＾ ［ n | n − 1 ］ ］ ＝ ［ C 我 ］ x ＾ ［ n | n − 1 ］ + ［ D 0 0 0 ］ ［ u ［ n ］ y ［ n ］ ］

      延迟估计器更容易部署在控制循环中。

    版本历史

    R2006a之前介绍

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