CSAPS命令

命令csaps提供了平滑样条。这是一个三次样条，或多或少地遵循噪声数据中假定的潜在趋势。由你选择的平滑参数决定了平滑样条曲线与给定数据的紧密程度。以下是基本信息，文档的缩写版本:

三次平滑样条。

值= caps (x, y, p, xx)

的三次平滑样条在XX处的值

给定数据(X,Y)，并取决于选择的平滑参数P

从区间[0 ..]1]。这条平滑样条f最小化

P * sum_i W (i) (Y (i) - f (X (i))) ^ 2 + (1 - P) * (f D ^ 2) ^ 2积分

例如:来自三次多项式的噪声数据

这是一些试运行。我们从一个简单的立方体开始，问(x): = x ^ 3，用一些噪声来污染数值，选择平滑参数的值为。5。然后绘制得到的平滑值，以及底层的立方体和被污染的数据。

ξ= (0:.05:1);Q = @(x) x.^3;易= q (xi);randomStream = RandStream.create (“mcg16807”，“种子”、23);ybad = +。3 *(兰德(randomStream、大小(xi)));p = 5;第二十一章= (0:100)/ 100;y = csaps (xi, ybad, p,第二十一章);情节(xi,咦,“:”习,ybad“x”第二十一章,y,的r -)标题(“干净的数据，嘈杂的数据，平滑的值”)传说(“准确”，“吵”，“平滑”，“位置”，“西北”）

这里的平滑太过了。通过选择平滑参数p当接近1时，我们得到一条更接近给定数据的平滑样条。我们试着P =。6，。7，。8，。9,1，并绘制得到的平滑样条曲线。

yy = 0(5、长度(第二十一章);p =[。6.7 .8 . 91 1];为J =1:5 yy(J，:) = caps (xi,ybad,p(J)，xxi);结束持有在情节(第二十一章,yy);持有从标题(“各种光滑参数值的光滑样条”)({传奇“准确”，“吵”，“p = 0.5”，“p = 0.6”，“p = 0.7”，“p = 0.8”，.．.“p = 0.9”，“p = 1.0”}，“位置”，“西北”）

我们可以看到，平滑样条对平滑参数的选择非常敏感。即使对于p= 0.9时，平滑样条距底层趋势还很远，而为p= 1，我们得到插值(噪声)数据。

事实上，这个公式是csapi(p.235ff样条曲线的实用指南)对自变量的缩放非常敏感。对所使用的方程进行简单分析，表明p大约是1 /(1 +ε),ε:= h ^ 3/16,h相邻站点之间的平均差异。具体地说，您将期望在何时密切跟踪数据p = 1 /(1 +ε/ 100)和一些令人满意的平滑时p = 1 /(1 +ε* 100)．

下图显示值的平滑样条p接近这个神奇的数字1 /(1 +ε)．对于这种情况，它可以提供更多的信息1 - p因为这个神奇的数字，1 /(1 +ε)，非常接近1。

ε= ((xi(结束)习近平(1)/(元素个数(xi) 1)) ^ 3/16;1 - 1 /(1 +ε)

ans = 7.8124 e-06

情节(xi,咦,“:”习,ybad“x”)举行在标签=细胞(1、5);为p =1 /(1+ *10^(J -3));yy (j) = csaps (xi, ybad, p,第二十一章);标签{j} = [“1 - p = ', num2str (1 - p)];结束情节(第二十一章,yy)标题(“用于平滑参数的光滑样条”)([{传奇“准确”，“吵”},标签),“位置”，“西北”)举行从

在这个例子中，平滑样条对魔术数附近平滑参数的变化非常敏感。离1最远的那个似乎是这些中最好的选择，但你可能更喜欢那个之外的那个。

p = 1 /(1 +ε* 10 ^ 3);yy = csaps (xi, ybad, p,第二十一章);持有在情节(第二十一章,yy,“y”，“线宽”， 2)标题(sprintf()'添加1-p = %s的平滑样条，黄色显示'， num2str(1-p)))保持不变从

你也可以提供csaps有了误差权值，对某些数据点的关注程度要高于其他数据点。还有，如果你们不提供评估场地xx,然后csaps返回平滑样条的ppform。

最后,csaps还可以处理向量值数据，甚至多元，网格数据。

SPAPS命令

由命令提供的三次平滑样条spaps不同于在csaps只有在它被选择的方式。以下是该文档的简写版本spaps：

SPAPS平滑样条。

[SP,VALUES] = SPAPS(X,Y,TOL)返回b形式，如果被问及，

三次光滑样条f在X处的值

data (X(i)，Y(:，i))， i=1,2，…, n。

光滑样条f使粗糙度最小

F(D²F) =∫(D²F(t))²dt (X(1) < t < X(n))

对所有函数f进行误差测量

E (f): = sum_j {W (j) * (Y (:, j) - f (X (j))) ^ 2: j = 1,……n}

不大于给定的TOL。这里，D^M f表示第M个

f的导数。权重W的选取使得E(f)是

F(y-f)的复合梯形近似。

F构造为。的唯一最小值

乘以E(f) + f (D²f)

选择平滑参数RHO，使E(f)等于

托尔。因此，FN2FM(SP，'pp')应该(到四舍五入为止)是相同的

作为CPAPS(X,Y,RHO/(1+RHO))的输出。

公差与平滑参数

可能更容易提供一个合适的公差spaps比平滑参数p所要求的csaps．在前面的例子中，我们添加了来自区间的均匀分布的随机噪声0.3 * -0.5 (. .0.5)．因此，我们可以估计一个合理的值托尔作为误差的测量值e在这样的噪音。

托尔((=数目。3 *(兰德(randomStream、大小(yi)))) ^ 2);

这张图显示了由spaps．注意，错误权重被指定为一致的，这是它们的默认值csaps．

[sp, y,ρ]= spaps (xi, ybad、托尔(大小(xi)));情节(xi,咦,“:”习,ybad“x”习,y,的r -)标题(sprintf ('干净数据，嘈杂数据，平滑值(1-p = %s)'num2str(1/(1+rho))));传奇({“准确”，“吵”，“平滑”}，“位置”，“西北”）

图标题显示的值p你会用到csaps为了准确地得到这些数据的平滑样条。

另外，这里是由csaps当没有给出平滑参数时。在这种情况下csaps通过某个特定的过程选择参数，该过程试图定位平滑样条对平滑参数最敏感的区域(类似于前面的讨论)。

持有在情节(第二十一章,fnval (csaps (xi, ybad)第二十一章),“- - -”)标题(“干净的数据，嘈杂的数据，平滑的值”)({传奇“准确”“吵”“spaps,指定公差”.．.默认平滑参数}，“位置”，“西北”)举行从

CSAPS与SPAPS

的csaps和spaps命令的不同之处在于，通过一个平滑参数和一个公差来指定一个特定的平滑样条。另一个区别是spaps除了三次平滑样条外，还可以提供线性或五次平滑样条。

当你希望二阶导数移动尽可能少的情况下，五次光滑样条比三次光滑样条更好。