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条件平均模型的MMSE预测

什么是MMSE预测?

时间序列建模的一个共同目标是对未来时间范围内的过程进行预测。也就是说，给定一个观察到的级数y1,y2、……yN和预测的地平线h，生成预测 y N + 1 , y N + 2 , .．. , y N + h ．

让 y ＾ t + 1 表示对当时过程的预测t+ 1，条件是该过程的历史到时间t,Ht，以及迄今为止的外源性协变量序列t+ 1,Xt+ 1，如果模型中包含回归组件。最小均方误差(MMSE)预报为预报 y ＾ t + 1 使平方损失最小化，

E （ y t + 1 − y ＾ t + 1 | H t , X t + 1 ） 2 ．

最小化这个损失函数会得到MMSE预测，

y ＾ t + 1 ＝ E （ y t + 1 | H t , X t + 1 ） ．

如何预测生成MMSE预测

的预测函数递归地生成MMSE预测。当你打电话预测，指定模型Mdl预测的时间跨度,numperiods，以及样本响应Y0．您可以选择指定样例创新“E0”,有条件的差异“半”，以及外生数据“X0”通过使用名称-值对参数。虽然预测不需要X0或预测样本外生数据XF，如果您指定X0然后您还必须指定XF．

比方说，从一个观测序列的末尾开始预测Y，使用最后几个观察Ypresample反应Y0初始化预测。当你指定样本数据时，有几点需要记住:

  • 初始化预测所需的最小响应数存储在该属性中P一个华宇电脑模型。如果你提供的样本观察太少，预测返回一个错误。

  • 如果你预测一个带有MA组件的模型，那么预测需要presample创新。所需创新的数量储存在财产中问一个华宇电脑模型。如果你也有一个条件方差模型，你必须另外考虑它需要的任何样本创新。如果你指定样品创新，但不够，预测返回一个错误。

  • 如果不指定任何样例创新，但指定足够的样例反应(至少P+问)和外源性协变量数据(至少前样本响应的数量减去P),然后预测自动推断样品创新。一般来说，你提供的样本响应系列越长，推断出的样本创新就会越好。如果你提供了样本响应和外源性协变量数据，但还不够，预测设置样本创新等于零。

  • 如果你预测一个带有回归成分的模型，那么预测需要预测期内所有时间点的未来外生协变量数据(numperiods)．如果你提供了未来的外生协变量数据，但还不够，那么预测返回一个错误。

考虑为AR(2)过程生成预测，

y t ＝ c + ϕ 1 y t − 1 + ϕ 2 y t − 2 + ε t ．

鉴于presample观察 y N − 1 和 y N , 预测递归生成如下:

  • y ＾ N + 1 ＝ c + ϕ 1 y N + ϕ 2 y N − 1

  • y ＾ N + 2 ＝ c + ϕ 1 y ＾ N + 1 + ϕ 2 y N

  • y ＾ N + 3. ＝ c + ϕ 1 y ＾ N + 2 + ϕ 2 y ＾ N + 1

⋮

对于平稳AR过程，这个递归收敛于过程的无条件平均值，

μ ＝ c （ 1 − ϕ 1 − ϕ 2 ） ．

对于MA(2)工艺，例如:

y t ＝ μ + ε t + θ 1 ε t − 1 + θ 2 ε t − 2 ,

您需要2个示例创新来初始化预测。所有的创新N+ 1或更大的被设为他们的期望，0。因此，对于MA(2)过程，未来任何时间超过2步的预测都是无条件平均值，μ．

预测误差

预测的均方误差年代先行一步预报由

均方误差 ＝ E （ y t + 年代 − y ＾ t + 年代 | H t + 年代 − 1 , X t + 年代 ） 2 ．

考虑一个条件平均模型

y t ＝ μ + x t ” β + ψ （ l ） ε t ,

在哪里 ψ （ l ） ＝ 1 + ψ 1 l + ψ 2 l 2 + .．. ．把滞后创新的方差加起来得到年代一步一步MSE,

（ 1 + ψ 1 2 + ψ 2 2 + .．. + ψ 年代 − 1 2 ） σ ε 2 ,

在哪里 σ ε 2 为创新方差。

对于平稳过程，无限滞后算子多项式的系数是绝对可和的，其最小均方误差收敛于过程的无条件方差。

对于非平稳过程，级数不收敛，预测误差随时间增长。

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