求解一个方形线性方程组bicg使用默认设置，然后调整解决过程中使用的公差和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个50%的密度。也可以创建一个随机向量b的右边 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng默认的A = sprand(400,400，.5);A = A'*A;B = rand(400,1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用bicg．输出显示包括相对残余误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$．

x = bicg(A,b);

Bicg在迭代20处停止，没有收敛到期望的容差1e-06，因为已经达到了最大迭代次数。返回的迭代(编号7)有相对残差0.45。

默认情况下bicg使用20次迭代，公差为1 e-6，该算法无法在这20次迭代中收敛到该矩阵。由于残差仍然很大，这是一个很好的指标，表明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的公差，使算法更容易收敛。

再用一个容差解系统1的军医100次迭代。

x = bicg(A,b,1e, 4,100);

Bicg在迭代100处停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。返回的迭代(编号7)有相对残差0.45。

即使使用更宽松的公差和更多的迭代，残余误差也没有得到很大改善。当迭代算法以这种方式停滞时，这是一个很好的迹象，表明需要一个预处理矩阵。

计算的不完全Cholesky因式分解一个，并使用L '因子作为前置条件输入bicg．

L = ichol(A);x = bicg(A,b,1e, 4100,L');

Bicg在迭代60时收敛到相对残差为9.9e-05的解。

使用前置条件可以改善问题的数值性质，足以使bicg能够收敛。

检查使用预处理矩阵的效果bicg解一个线性方程组。

加载west0479，一个真实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479A = west0479;

定义b这才是真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$都是1的向量。

b = sum(A,2);

设置公差和最大迭代次数。

Tol = 1e-12;Maxit = 20;

使用bicg在要求的公差和迭代次数上找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案过程的信息:

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = bicg(A,b,tol,maxit);fl0

Fl0 = 1

rr0

Rr0 = 1

it0

It0 = 0

fl0是1因为bicg不收敛到要求的公差1 e-12在请求的20次迭代中。事实上，行为bicg是不是穷到最初的猜测x0 = 0 (size(A,2)，1)是最佳解决方案并返回，如所示It0 = 0．

为了帮助处理缓慢的收敛，您可以指定一个预处理矩阵。自一个是非对称的，用ilu生成前置条件 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定一个落差公差以忽略值小于的非对角线项1 e-6．解预条件方程组 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l而且U作为输入bicg．

设置= struct(“类型”，“ilutp”，“droptol”1 e-6);[L,U] = ilu(A，设置);[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = bicg(A,b,tol,maxit,L,U);fl1

Fl1 = 0

rr1

Rr1 = 4.1409e-14

it1

It1 = 6

使用ilu预调理剂产生的相对残留小于规定的容差1 e-12在第六次迭代中。输出rv1 (1)是规范(b)，输出rv1(结束)是规范(b * x1)．

你可以跟随的进度bicg通过绘制每次迭代的相对残差。用指定公差的一条线绘制每个溶液的残留历史。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

检查供给的效果bicg对解的初步猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$这就是期望的解 $\mathit{x}$是1的向量。

N = 900;E = ones(n,1);A = spdigs ([e 2*e]，-1:1,n,n);b = sum(A,2);

使用bicg来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对两个解决方案都使用200次迭代和默认容差。金宝搏官方网站将第二个解中的初始猜测指定为所有元素都等于的向量0.99．

Maxit = 200;x1 = bicg(A,b，[]，maxit);

Bicg在迭代35时收敛到相对残差为9.5e-07的解。

X0 = 0.99*e;x2 = bicg(A,b，[]，maxit，[]，[]，x0);

Bicg在迭代7收敛到相对残差为8.7e-07的解。

在这种情况下，提供一个初始猜测是可行的bicg收敛:更快地收敛

x0 = 0 (size(A,2)，1);Tol = 1e-8;Maxit = 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = bicg (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X(:，k) = X;R(k) = relres;X0 = x;结束

求解一个线性方程组bicg使用一个函数句柄进行计算* x而且‘* x代替系数矩阵一个．

创建一个非对称三对角矩阵。预览矩阵。

画廊(“wilk”+ diag(ones(20,1)，1)

一个=21日×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这个三对角矩阵有一个特殊的结构，你可以表示这个操作* x使用函数句柄。当一个乘以一个向量，结果向量中的大部分元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．

表达式 $\mathit{一个}\mathit{x}$就变成:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathit{一个}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+2\cdot ［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

同样，for的表达式 ${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$就变成:

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}＝［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝2\cdot ［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，给出的值* x或‘* x，取决于标志输入:

函数Y = fun(x,flag)如果比较字符串(国旗,“notransp”）%计算A*xY = [0;x (1:20)).．.+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x.．.+ 2 * (x(2:结束);0);elseif比较字符串(国旗,“透明”）计算A'*xY = 2*[0;x (1:20)).．.+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x.．.+ (x(2:结束);0);结束结束

(该函数在示例末尾保存为本地函数。)

现在求解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供bicg使用函数句柄进行计算* x而且‘* x．使用的公差1 e-625次迭代。指定 $\mathit{b}$的行和 $\mathit{一个}$这就是方程的解 $\mathit{x}$是1的向量。

b = full(sum(A,2));Tol = 1e-6;Maxit = 25;X1 = bicg(@afun,b,tol,maxit)

Bicg在迭代19收敛到相对残差为4.8e-07的解。

x1 =21日×11.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000

函数Y = fun(x,flag)如果比较字符串(国旗,“notransp”）%计算A*xY = [0;x (1:20)).．.+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x.．.+ 2 * (x(2:结束);0);elseif比较字符串(国旗,“透明”）计算A'*xY = 2*[0;x (1:20)).．.+ ((10: 1:0) ';(1:10)”)。* x.．.+ (x(2:结束);0);结束结束