勒让德

语法

P =勒让德(n,X)

P =勒让德(n,X，归一化)

描述

例子

P=勒让德(n，X）计算关联勒让德函数的程度n和秩序M = 0,1，…n中每个元素的值X．

例子

P=勒让德(n，X，归一化）计算相关勒让德函数的规范化版本。归一化可以“unnorm”(默认),的原理图,或“规范”．

例子

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向量的相关勒让德函数值

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使用勒让德函数对向量进行操作，然后检查输出的格式。

计算一个向量的二次勒让德函数值。

Deg = 2;X = 0:0.1:0.2;P =勒让德(度，x)

P =3×3-0.5000 -0.4850 - 0.400 0 -0.2985 -0.5879 3.0000 2.9700 2.8800

输出的格式如下:

每一行包含不同值的函数值米(相关勒让德函数的阶)
每一列包含不同值的函数值x

$\begin{array}{cccc} x ＝ 0 & x ＝ 0．1 & x ＝ 0.2 \\ 米＝ 0 & P_{2}^{0} （ 0 ） & P_{2}^{0} （ 0 ． 1 ） & P_{2}^{0} （ 0 ． 2 ） \\ 米＝ 1 & P_{2}^{1} （ 0 ） & P_{2}^{1} （ 0 ． 1 ） & P_{2}^{1} （ 0 ． 2 ） \\ 米＝ 2 & P_{2}^{2} （ 0 ） & P_{2}^{2} （ 0 ． 1 ） & P_{2}^{2} （ 0 ． 2 ） \end{array}$

二阶相关勒让德函数的方程 $P_{2}^{米}$ 是

$P_{2}^{米} （ x ）＝ {（ - 1 ）}^{米} {（ 1 - x^{2} ）}^{米 / 2} \frac{d^{米}}{d x^{米}} ［ \frac{1}{2} （ 3. x^{2} - 1 ）］．$

因此，的值 $P_{2}^{0} （ 0 ）$ 是

$P_{2}^{0} （ 0 ）＝［ \frac{1}{2} （ 3. x^{2} - 1 ）］ |_{x ＝ 0} ＝ - \frac{1}{2} ．$

这个结果与P(1,1) = -0.5000．

比较勒让德归一化

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用几种归一化方法计算相关的勒让德函数值。

计算一阶非标准化勒让德函数值 $P_{1}^{米}$ ．第一行值对应于 $米＝ 0$ ，第二行为 $米＝ 1$ ．

X = 0:0.2:1;N = 1;P_unnorm = legendre(n,x)

P_unnorm =2×60 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 -1.0000 -0.9798 -0.9165 -0.8000 -0.6000

接下来，计算施密特半正规化函数值。与非规格化值相比，Schmidt形式在 $米 > 0$ 通过缩放

${（ - 1 ）}^{米} \sqrt{\frac{2 （ n - 米）！}{（ n + 米）！}} ．$

对于第一行，两种归一化是相同的，因为 $米＝ 0$ ．对于第二行，缩放常数乘以每个值是-1。

P_sch = legendre(n,x，的原理图）

P_sch =2×60 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.0000 0.9798 0.9165 0.8000 0.6000 0

C1 =(-1) *√(2*阶乘(0)/阶乘(2))

C1 = -1

最后，计算完全归一化函数值。与未归一化的值相比，完全归一化的形式因比例因子而不同

${（ - 1 ）}^{米} \sqrt{\frac{（ n + \frac{1}{2} ）（ n - 米）！}{（ n + 米）！}} ．$

这个比例因子适用于的所有值 $米$ ，所以第一行和第二行有不同的比例因子。

P_norm = legendre(n,x，“规范”）

P_norm =2×60 0.2449 0.4899 0.7348 0.9798 1.2247 0.8660 0.8485 0.7937 0.6928 0.5196 0

Cm0 =根号((3/2))

Cm0 = 1.2247

Cm1 =(-1) *√((3/2)/2)

Cm1 = -0.8660

计算球面谐波

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球面谐波出现在拉普拉斯方程的解中，用来表示定义在球面表面上的函数。使用勒让德的球谐函数的计算和可视化 $Y_{3.}^{2}$ ．

球面谐波方程包括勒让德函数项和复指数项:

$Y_{l}^{米} （ θ ， ϕ ）＝ \sqrt{\frac{（ 2 l + 1 ）（ l - 米）！}{4 π （ l + 米）！}} P_{l}^{米} （因为 θ ） e^{我米 ϕ} ， - l \leq 米 \leq l ．$

首先，创建一个值网格来表示的所有组合 $0 \leq θ \leq π$ (夹角)和 $0 \leq ϕ \leq 2 π$ (方位角度)。这里是colatilatitude $θ$ 在北极的值为0，到 $π / 2$ 在赤道，和 $π$ 在南极。

Dx = /60;Col = 0:dx:pi;Az = 0:dx:2*pi;[phi,theta] = meshgrid(az,col);

计算 $P_{l}^{米} （因为 θ ）$ 在电网上 $l ＝ 3.$ ．

L = 3;Plm = legendre(l,cos());

自勒让德计算的所有值的答案 $米$ ，Plm包含一些额外的函数值。提取以下的值 $米＝ 2$ 然后丢弃剩下的。使用重塑函数将结果定位为大小相同的矩阵φ而且θ．

M = 2;如果l ~= 0 Plm =重塑(Plm(m+1，:，:)，大小(phi));结束

计算的球面谐波值 $Y_{3.}^{2}$ ．

A = (2*l+1)*阶乘(l-m);B = 4*pi*阶乘(l+m);C =√(a/b);Ylm = C .*Plm .*exp(1i*m*phi);

把球坐标转换成笛卡尔坐标。在这里, $π / 2 - θ$ 成为范围为的纬度角 $π / 2$ 在北极，到0在赤道，到 $- π / 2$ 在南极。的球谐函数 $Y_{3.}^{2}$ 同时使用正负实数。

[Xm,Ym,Zm] = sph2cart(phi, pi/2-theta, abs(real(Ylm)));冲浪(Xm, Ym, Zm评选)标题($Y_3^2$球面谐波，“翻译”，“乳胶”）

图中包含一个轴对象。标题为YSubScript 3 SuperScript 2 baseline spherical harmonic的坐标轴对象包含一个类型为surface的对象。

输入参数

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`n`- - - - - -勒让德函数的次
正整数

勒让德函数的度，指定为正整数。对于一个特定的度，勒让德计算 $P_{n}^{米} （ x ）$ 所有订单米从米= 0来米＝n．

例子:勒让德(X)

`X`- - - - - -输入值
标量|向量|矩阵|多维数组

输入值，指定为范围内的标量、向量、矩阵或多维实值数组[1]．例如，对于球面谐波，它是常用的X = cos(theta)作为输入值进行计算 $P_{n}^{米} （因为 θ ）$ ．

例子:勒让德(2,cos(θ))

数据类型:单|双

`归一化`- - - - - -归一化类型
`“unnorm”`(默认)|`的原理图`|`“规范”`

归一化类型，指定为这些值之一。

价值	结果
`“unnorm”`	关联勒让德函数
`的原理图`	施密特半正规化关联勒让德函数
`“规范”`	完全归一化关联勒让德函数

例子:勒让德(n X,原理图)

输出参数

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`P`-关联勒让德函数值
标量|向量|矩阵|多维数组

相关的勒让德函数值，作为标量、向量、矩阵或多维数组返回。标准化P取决于的值归一化．

的大小P这取决于的大小X：

如果X是向量吗P矩阵的大小(n + 1)——- - - - - -长度(X)．的P (m + 1,我)入口是度的勒让德函数n和秩序米评估在X(我)．
一般来说,P维度比X每个元素P (m + 1, i, j, k,…)包含相关的度的勒让德函数n和秩序米评估在X (i, j, k,…)．

限制

的非归一化关联勒让德函数的值溢出双精度数的范围N > 150以及单精度数字的范围N > 28．此溢出将导致正而且南值。对于大于这些阈值的顺序，请考虑使用的原理图或“规范”的标准化。

的价值`n`	$P_{n} （ x ）$
`0`	$P_{0} （ x ）＝ 1$
`1`	$P_{1} （ x ）＝ x$
`2`	$P_{2} （ x ）＝ \frac{1}{2} （ 3. x^{2} - 1 ）$

算法

勒让德中使用三项向后递归关系米．这个递归是在Schmidt半规范化的勒让德函数的一个版本上 $问_{n}^{米} （ x ）$ ，它们是复球面谐波。这些函数与标准Abramowitz和Stegun有关[1]功能 $P_{n}^{米} （ x ）$ 通过

$P_{n}^{米} （ x ）＝ \sqrt{\frac{（ n + 米）！}{（ n - 米）！}} 问_{n}^{米} （ x ）．$

它们与施密特形式通过

$\begin{array}{l} 米＝ 0 ： {年代}_{n}^{米} （ x ）＝问_{n}^{0} （ x ） \\ 米 > 0 ： {年代}_{n}^{米} （ x ）＝ {（ - 1 ）}^{米} \sqrt{2} 问_{n}^{米} （ x ）． \end{array}$

参考文献

阿布拉莫维茨M. I. A.施特根，数学函数手册，多佛出版社，1965年，第8页。

雅各布斯，j.a.，地磁学，文献出版社，1987年第4期。

扩展功能

线程环境
使用MATLAB®在后台运行代码`backgroundPool`或使用并行计算工具箱™加速代码`ThreadPool`．

这个函数完全支持基于线程的环境。金宝app有关更多信息，请参见在线程环境中运行MATLAB函数．

GPU数组
通过使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行来加速代码。

本功能完全支持GPU阵列。金宝app有关更多信息，请参见在图形处理器上运行MATLAB函数(并行计算工具箱)．

版本历史

R2006a之前介绍

另请参阅

β|γ|besselj|贝斯|的阶乘

勒让德

语法

描述

例子

向量的相关勒让德函数值

比较勒让德归一化

计算球面谐波

输入参数

n- - - - - -勒让德函数的次正整数

X- - - - - -输入值标量|向量|矩阵|多维数组

归一化- - - - - -归一化类型“unnorm”(默认)|的原理图|“规范”

输出参数

P-关联勒让德函数值标量|向量|矩阵|多维数组

限制

更多关于

关联勒让德函数

施密特半正规化关联勒让德函数

完全归一化关联勒让德函数

算法

参考文献

扩展功能

线程环境使用MATLAB®在后台运行代码backgroundPool或使用并行计算工具箱™加速代码ThreadPool．

GPU数组通过使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行来加速代码。

版本历史

另请参阅

`n`- - - - - -勒让德函数的次
正整数

`X`- - - - - -输入值
标量|向量|矩阵|多维数组

`归一化`- - - - - -归一化类型
`“unnorm”`(默认)|`的原理图`|`“规范”`

`P`-关联勒让德函数值
标量|向量|矩阵|多维数组

线程环境
使用MATLAB®在后台运行代码`backgroundPool`或使用并行计算工具箱™加速代码`ThreadPool`．

GPU数组
通过使用并行计算工具箱™在图形处理单元(GPU)上运行来加速代码。