具有单个解决方案组件的简单ode可以在求解器调用中指定为匿名函数。匿名函数必须接受两个输入(t, y)，即使函数中没有使用其中一个输入。

求解ODE

指定的时间间隔(0 - 2)初始条件Y0 = 1．

Tspan = [0 2];Y0 = 1;[t,y] = ode15s(@(t,y) -10*t, tspan, y0);

画出解。

情节(t y“o”）

一个刚性方程组的例子是松弛振荡中的范德波尔方程。极限环有一些区域，其中解的分量变化缓慢，问题相当僵硬，与一些变化非常剧烈的区域交替，而这些区域不是僵硬的。

方程组为:

初始条件是而且．这个函数vdp1000船舶与MATLAB®和编码方程。

函数Dydt = vdp1000(t,y)计算mu = 1000时的范德波尔ode。％参见ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TB。雅塞克·基尔曾卡和劳伦斯·f·夏皮恩The MathWorks, Inc.版权所有Dydt = [y(2);1000 * (1 y (1) ^ 2) * y (2) - y (1)];

用数值使用默认的相对和绝对容错(1 e - 3而且1 e-6，分别)非常慢，需要几分钟来求解和绘制解。数值需要数百万个时间步来完成集成，由于刚度的区域，它很难满足公差。

这是得到的解的图数值，这需要很长时间来计算。请注意通过刚性区域所需的大量时间步骤。

[t,y] = ode15s(@vdp1000，[0 3000]，[2 0]);情节(t y (: 1),“o”）

ode15s仅适用于使用两个输入参数的函数，t而且y．但是，您可以通过在函数外部定义额外的参数并在指定函数句柄时传入它们来传递额外的参数。

求解ODE

将方程改写为一阶方程组

odefcn.m将这个方程组表示为接受四个输入参数的函数:t，y，一个,B．

函数dydt = odefcn(t,y,A,B) dydt = 0 (2,1);Dydt (1) = y(2);dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);

A = 1;B = 2;Tspan = [0 5];Y0 = [0 0.01];[t、y] = ode15s (@ (t, y) odefcn (t, y, A、B), tspan, y0);

情节(t y (: 1),“o”、t、y (:, 2),“-”。）

的ode15s求解器是解决大多数棘手问题的首选。然而，对于某些类型的问题，其他复杂的求解器可能更有效。本例使用所有四个硬ODE求解器求解一个硬测试方程。

考虑测试方程

的大小使方程变得越来越僵硬 $$\lambda$$增加。使用 $$\lambda ＝1\times 10^9$$初始条件 $$y（0）＝1$$在时间间隔内0.5 [0]．有了这些值，问题就足够复杂了数值而且ode23努力去积分方程。此外,使用odeset来传递常数雅可比矩阵 $$J＝\frac{\partial f}{\partial y}＝-\lambda$$并打开解算器统计数据的显示。

Lambda = 1e9;Y0 = 1;Tspan = [0 0.5];Opts = odeset(的雅可比矩阵λ,“统计数据”，“上”）;

用ode15s，ode23s，ode23t,ode23tb．制作子图进行比较。

Subplot (2,2,1) tic, ode15s(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc

104个成功步骤1个失败尝试212个函数求值0个偏导数21个LU分解210个线性系统解耗时2.031443秒。金宝搏官方网站

标题(“ode15s”) subplot(2,2,2) tic, ode23s(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc

63个成功步骤0个失败尝试191个函数求值0个偏导数63个LU分解189个线性系统解耗时0.415775秒。金宝搏官方网站

标题(“ode23s”) subplot(2,2,3) tic, ode23t(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc

95个成功步骤0个失败尝试125个函数求值0个偏导数28个LU分解123个线性系统的解耗时为0.673081秒。金宝搏官方网站

标题(“ode23t”) subplot(2,2,4) tic, ode23tb(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts)， toc

71个成功步骤0个失败尝试167个函数求值0个偏导数23个LU分解236个线性系统解耗时为0.771691秒。金宝搏官方网站

标题(“ode23tb”）

刚性解算器都表现得很好，但是ode23s对于这个特定的问题，以最少的步骤完成集成并以最快的速度运行。由于指定了常数雅可比矩阵，求解器不需要计算偏导数来计算解。指定雅可比矩阵的好处ode23s因为它通常在每一步都求雅可比矩阵。

对于一般的刚性问题，刚性求解器的性能取决于问题的格式和指定的选项。提供雅可比矩阵或稀疏模式可以提高求解刚性问题的效率。但由于刚性求解器使用不同的雅可比矩阵，改进可能会有显著差异。实际上，如果一个方程组非常大或者需要求解很多次，那么研究不同求解器的性能以最小化执行时间是值得的。

范德波尔方程是一个二阶ODE

解范德波尔方程 $$\mu ＝1000$$使用ode15s．这个函数vdp1000.m船舶与MATLAB®和编码方程。指定一个输出以返回包含解决方案信息的结构，例如求解器和计算点。

Tspan = [0 3000];Y0 = [2 0];Sol = ode15s(@vdp1000,tspan,y0)

索尔=带字段的结构:Solver: 'ode15s' extdata: [1x1 struct] x: [0 1.4606e-05 2.9212e-05 4.3818e-05 1.1010e-04 1.7639e-04…[y: [2x592 double] stats: [1x1 struct] idata: [1x1 struct]

使用linspace在区间内生成2500个点3000年[0]．在这些点上评估解决方案的第一个组件德瓦尔．

X = linspace(0,3000,2500);Y = deval(sol,x,1);

画出解。

情节(x, y)

将解决方案扩展到 $$t_f＝4000$$使用odextend然后把结果加到原来的图上。

Tf = 4000;Sol_new = oextend (sol，@vdp1000,tf);X = linspace(3000,tf,350);Y = deval(sol_new,x,1);持有在情节(x, y,“r”）

这个例子将ode系统重新表述为微分代数方程系统。罗伯逊问题在hb1ode.m是解决硬ode的程序的经典测试问题。方程组是

hb1ode在初始条件下，将该ode系统解到稳态，,．但方程也满足线性守恒定律，

对于解和初始条件，守恒定律为

利用守恒定律确定的状态，方程组可以被改写为dae的方程组．这将问题重新表述为DAE系统

这个方程组的微分指数为1，因为只有一阶导数使其成为ode系统所必需的。因此，在求解方程组之前不需要进一步的变换。

这个函数robertsdae编码这个DAE系统。保存robertsdae.m在当前文件夹中运行示例。

函数= robertsdae (t、y) = [-0.04 * y (1) + 1 e4 * y(2)。* y y (1) - (3) 0.04 * 1 e4 * y(2)。* y (3) - 3 e7 * y(2)。^2 y(1) + y(2) + y(3) - 1];

Robertson问题的完整示例代码可在hb1dae.m．

Y0 = [1;0;0);Tspan = [0 4*logspace(-6,6)];M = [1 0 0;0 10 0;0 0 0];选项= odeset(“质量”米,“RelTol”1的军医,“AbsTol”，[1e-6 1e-10 1e-6]);[t,y] = ode15s(@robertsdae,tspan,y0,options);

Y (:，2) = 1e4* Y (:，2);semilogx (t、y);ylabel ('1e4 * y(:，2)'）;标题(“罗伯逊DAE守恒定律问题，由ODE15S解决”）;