解决一个平方线性系统使用qmr默认设置,然后调整解决方案中使用的宽容和迭代次数的过程。

创建一个随机稀疏矩阵一个密度为50%。还创建一个随机向量b的右边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$。

rng默认的5 = sprand (400400);=“*;b =兰德(400 1);

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$使用qmr。输出显示包括相对残留误差的值 $\frac{为\mathit{b}-\; -\; -\; -\; -\; -\mathrm{斧头}为}{为\mathit{b}为}$。

x = qmr (A, b);

qmr停在迭代20不收敛所需的公差1 e-06因为迭代的最大数量。返回的迭代(20)数量相对剩余0.12。

默认情况下qmr使用20个迭代和宽容的1 e-6,该算法无法在那些40迭代收敛这个矩阵。由于残余还大,这是一个很好的指标,需要更多的迭代(或预调节器矩阵)。您还可以使用更大的宽容使算法更容易收敛。

解决系统再次使用的宽容1的军医和100的迭代。

x = qmr (A, b, 1 e - 4100);

qmr停在100年迭代不收敛所需的公差0.0001因为达成的最大迭代数。返回的迭代(编号为100)相对剩余0.061。

即使有宽松的公差和更多的迭代剩余误差不会太大改善。当一个迭代算法停滞在这种方式,它是一个好迹象,预处理矩阵是必要的。

不完整的柯列斯基分解的计算一个,并使用L '作为预调节器输入因子qmr。

L = ichol(一个);x = qmr (A, b, e - 4100 L ');

qmr聚集在迭代58与相对剩余8.4 e-05解决方案。

使用预调节器足够的问题,提高了数值属性qmr能收敛。

检查使用预处理矩阵的影响qmr解决一个线性系统。

负载west0479,一个真正的479 - 479年-非对称稀疏矩阵。

负载west0479一个= west0479;

定义b所以,真正的解决方案 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$是一个向量的。

b =和(2);

宽容和最大迭代数。

托尔= 1 e-12;麦克斯特= 20;

使用qmr找到一个解决方案在请求的宽容和迭代次数。指定返回5个输出的信息解决方案过程:

[x, fl0 rr0, it0 rv0] = qmr (A, b,托尔,麦克斯特);fl0

fl0 = 1

rr0

rr0 = 0.7984

it0

it0 = 17

fl0是1,因为qmr不收敛到所请求的宽容1 e-12在要求20迭代。17迭代是最好的近似解和返回的it0 = 17。

援助与收敛速度慢,您可以指定一个预处理矩阵。自一个非对称,使用ilu生成预调节器 $\mathit{米}=\mathit{l}\mathit{U}$。指定公差忽略nondiagonal条目下降值小于1 e-6。解决了预处理系统 ${\mathit{米}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{一个}\mathit{x}={\mathit{米}}^{-\; -\; -\; -\; -\; -1}\mathit{b}$通过指定l和U作为输入,qmr。

设置=结构(“类型”,“ilutp”,“droptol”1 e-6);[L U] = ilu(一个,设置);(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = qmr (A, b,托尔,麦克斯特,L, U);fl1

fl1 = 0

rr1

rr1 = 4.1558 e-14

it1

it1 = 6

的使用ilu预调节器产生一个相对剩余不到规定的公差1 e-12在第六个迭代。输出rv1 (1)是规范(b),输出rv1(结束)是规范(b * x1)。

你可以遵循的进步qmr通过绘制相对残差在每个迭代。情节的残余历史的每个解决方案指定的公差。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(b),“o”)yline(托尔,“r——”);传奇(“没有预调节器”,ILU预处理的,“宽容”,“位置”,“东”)包含(的迭代次数)ylabel (的相对剩余的)

检查供应的影响qmr解决方案的初始猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。使用每一行的总和作为向量的右边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$因此,预期的解决方案 $\mathit{x}$是一个向量的。

n = 900;e =的(n - 1);一个= spdiags ([e 2 * e e], 1:1, n, n);b =和(2);

使用qmr来解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$两次:一次使用默认初始猜测,和一个解决方案的时间和一个很好的初始估计。使用200次迭代和默认的对这两个解决方案。金宝搏官方网站指定初始猜测第二个解决方案作为一个向量的所有元素等于0.99。

麦克斯特= 200;x1 = qmr (A, b,[],麦克斯特);

qmr聚集在迭代27与相对剩余9.5 e-07解决方案。

x0 = 0.99 * e;x2 = qmr(麦克斯特,A, b, [] [], [], x0);

qmr聚集在迭代7与相对剩余6.7 e-07解决方案。

在这种情况下提供一个初始猜测使qmr更快地收敛。

x0 = 0(大小(2),1);托尔= 1 e-8;麦克斯特= 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = qmr (A, b,托尔,麦克斯特[],[],x0);X = X (:, k);R (k) = relres;x0 = x;结束

解一个线性系统通过提供qmr计算一个函数处理* x和‘* x的系数矩阵一个。

创建一个非对称三对角矩阵。预览矩阵。

一个=画廊(“wilk”21)+诊断接头(1(20日1),1)

一个=21日×2110 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

因为这三对角矩阵有一个特殊的结构,你可以代表操作* x一个函数处理。当一个乘以一个向量,大部分结果向量中的元素是0。结果中的非零元素对应的非零三对角元素一个。

表达式 $\mathit{一个}\mathit{x}$就变成:

$\mathit{一个}\mathit{x}=\left(\begin{array}{ccccccc}10& 2& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 1& 9& 2& 0& & & ⋮\\ 0& 1& \ddots & 2& 0& & \\ ⋮& 0& 1& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 2\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$。

结果向量可以写成三个向量的总和:

$\mathit{一个}\mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+2{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+2{\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+2{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$= $\left(\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]+2\cdot \left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$。

同样地,的表达式 ${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}$就变成:

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}=\left(\begin{array}{ccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & 0\\ 2& 9& 1& 0& & & ⋮\\ 0& 2& \ddots & 1& 0& & \\ ⋮& 0& 2& 0& \ddots & \ddots & ⋮\\ & & 0& \ddots & 1& \ddots & 0\\ ⋮& & & \ddots & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & & \cdots & 0& 2& 10\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=\left(\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]$。

${\mathit{一个}}^{\mathit{T}}\mathit{x}=\left(\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {2\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ ⋮\\ {2\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {2\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]=2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}{10\mathit{x}}_1\\ {9\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 9{\mathit{x}}_{20.}\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}\right]+\left(\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_3\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$。

在MATLAB®,编写一个函数,创建这些向量并将它们添加在一起,从而赋予的价值* x或‘* x,这取决于国旗输入:

函数y = afun (x,国旗)如果比较字符串(国旗,“notransp”)%计算* x(y = 0;x (1:20))…+ ((10:1:0)';(1:10)”)。* x…+ 2 * (x(2:结束);0);elseif比较字符串(国旗,“透明”)' * x %计算y = 2 * [0;x (1:20))…+ ((10:1:0)';(1:10)”)。* x…+ (x(2:结束);0);结束结束

(这个函数保存为本地函数结束时的例子。)

现在,解决线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$通过提供qmr计算的函数处理* x和‘* x。使用一个公差1 e-6和25个迭代。指定 $\mathit{b}$行总结 $\mathit{一个}$所以,真正的解决方案 $\mathit{x}$是一个向量的。

b =全(sum (A, 2));托尔= 1 e-6;麦克斯特= 25;x1 = qmr (@afun, b,托尔,麦克斯特)

qmr聚集在迭代19与相对剩余4.7 e-07解决方案。

x1 =21日×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

函数y = afun (x,国旗)如果比较字符串(国旗,“notransp”)%计算* x(y = 0;x (1:20))…+ ((10:1:0)';(1:10)”)。* x…+ 2 * (x(2:结束);0);elseif比较字符串(国旗,“透明”)' * x %计算y = 2 * [0;x (1:20))…+ ((10:1:0)';(1:10)”)。* x…+ (x(2:结束);0);结束结束