二阶锥规划算法- MATLAB和Simulink MathWorks澳大利亚金宝app - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

二阶锥规划算法

二阶锥规划的定义

一个二阶锥规划问题的形式

$\underset{x}{最小值} f^{T} x$

受约束

$\begin{matrix} 为 {一个}_{sc} (我) \cdot x - b_{sc} (我) 为 \leq d_{sc}^{T} (我) \cdot x - γ (我) \\ 一个 \cdot x \leq b \\ Aeq \cdot x = 说真的 \\ 磅 \leq x \leq 乌兰巴托。 \end{matrix}$

f,x,b,说真的,磅,乌兰巴托向量,一个和Aeq矩阵。为每一个我,矩阵一个_sc(我),向量b_sc(我),d_sc(我)和标量γ(我)是在一个二阶锥约束使用您创建的secondordercone。

换句话说,这个问题一个线性目标函数和线性约束,以及一组二阶锥约束的形式 $为 {一个}_{sc} (我) \cdot x - b_{sc} (我) 为 \leq d_{sc}^{T} (我) \cdot x - γ (我)$ 。

`coneprog`算法

的coneprog解算器使用中描述的算法安徒生,鲁斯,Terlaky[1]。这个方法是一个内点算法类似内点linprog算法。

标准形式

该算法首先将问题标准形式。算法增加了负的松弛变量,这样问题的形式

$\underset{x}{最小值} f^{T} x$

受约束

$\begin{array}{l} 一个 \cdot x = b \\ x \in K 。 \end{array}$

解算器扩展的大小线性系数向量f和线性约束矩阵一个为松弛变量。

该地区K交叉的产物吗洛伦兹锥方程1和非负象限。将每个凸锥

$为 {一个}_{sc} (我) \cdot x - b_{sc} (我) 为 \leq d_{sc}^{T} (我) \cdot x - γ (我)$

一个洛伦兹锥方程1,创建一个列向量的变量t₁,t₂、…t_{n+ 1}:

$\begin{matrix} t_{1} = d^{T} x - γ \\ t_{2 : (n + 1)} = {一个}_{sc} x - b_{sc} 。 \end{matrix}$

在这里,变量的数量n为每个锥我的行数在吗一个_sc(我)。根据其定义,变量向量t满足不等式

为 t_{2 : (n + 1)} 为 \leq t_{1} 。

(1)

方程1洛伦兹锥的定义在(n+ 1)变量。的变量t出现问题的变量x在凸区域K。

在内部,该算法也使用洛伦兹旋转锥再形成的锥约束,但这个话题并没有解决。鲁斯,安徒生,Terlaky[1]。

当添加松弛变量,该算法否定变量,根据需要,并添加适当的常数,以便:

变量只有一个绑定有下界的零。
变量和两个边界有一个零的下界,利用松弛变量,没有上限。
变量没有边界被放置在一个洛伦兹锥松弛变量的约束变量。这个松弛变量不是任何其他表达式的一部分,目标或约束。

对偶问题

双锥是

$K_{*} = {年代 : {年代}^{T} x \geq 0 \forall x \in K} 。$

双重的问题是

$\underset{y}{马克斯} b^{T} y$

这样

${一个}^{T} y + 年代 = f$

对于一些

$年代 \in K_{*} 。$

双最优解是一个点(y,年代),满足双重约束和最大化的双重目标。

均匀自对偶公式

处理可能不可行或无限问题,该算法添加两个变量τ和κ并制定问题的齐次(等于零)和自对偶。

\begin{matrix} 一个 x - b τ = 0 \\ {一个}^{T} y + 年代 - f τ = 0 \\ - f^{T} x + b^{T} y - κ = 0 \end{matrix}

(2)

随着约束

(x; τ) \in \bar{K}, (年代; κ) \in {\bar{K}}_{*} 。

(3)

在这里, $\bar{K}$ 是锥形的K附加的非负实线,这是空间(x;τ)。类似的 ${\bar{K}}_{*}$ 是锥形的 $K_{*}$ 附加的非负实线,这是空间(年代;κ)。在这个配方,以下引理证明τ是可行的解决方案的扩展,金宝搏官方网站κ的指标是一个不可行的问题。

引理([1]引理2.1)

让(x,τ,y,年代,κ)是一个可行的解决方案方程2随着约束方程3。

x^T年代+τκ= 0。
如果τ> 0,那么(x,y,年代)/τ是一个非标准形式的最优解二阶锥问题。
如果κ> 0,那么至少一种严格的不平等是适用的:

b^Ty> 0

f^Tx< 0。

如果第一个不等式成立,那么标准形式,原始的二阶锥问题是不可行的。如果第二个不等式成立,那么标准形式,双二阶锥问题是不可行的。

总之,对于可行的问题,变量τ尺度之间的解决方案最初的标准形式问题和均匀自对偶问题。对于不可行问题,最后迭代(x,y,年代,τ,κ)提供一个证书的不可行性最初的标准形式的问题。

起点

迭代的起点是可行的:

x= 1为每一个非负变量,第一变量在每个洛伦兹锥,1和0。
y= 0。
年代=(1 0…,0)对于每个锥,1为每个非负变量。
τ= 1。
κ= 1。

中央路径

该算法试图效仿中央路径,下列方程的参数化方案γ减少从1到0。

\begin{matrix} 一个 x - b τ = γ (一个 x_{0} - b τ_{0}) \\ {一个}^{T} y + 年代 - c τ = γ ({一个}^{T} y_{0} + {年代}_{0} - f τ_{0}) \\ - f^{T} x + b^{T} y - κ = γ (- f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ_{0}) \\ X 年代 e = γ μ_{0} e \\ τ κ = γ μ_{0} 。 \end{matrix}

(4)

每个变量与一个0下标表示变量的起始点。
的变量X和年代是箭头矩阵形成的x和年代向量,分别。为一个向量x= (x₁,x₂、…x_n),箭头矩阵X有定义

$X = 垫 (x) = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2 : n}^{T} \\ x_{2 : n} & x_{1} 我 \end{matrix}] 。$

根据其定义,X是对称的。
的变量e是1的向量在每个锥坐标对应x₁洛伦兹锥坐标。
的变量μ₀有定义

$μ_{0} = \frac{x_{0}^{T} {年代}_{0} + τ_{0} κ_{0}}{k + 1},$

在哪里k非零元素的数量在吗x₀。

中央路径从起点开始,结束于一个齐次自对偶问题的最优解。

安徒生,鲁斯和Terlaky[1]在引理3.1互补条件x^T年代= 0,x和年代在洛伦兹锥的产物吗l,相当于条件

$X_{我} {年代}_{我} e_{我} = {年代}_{我} X_{我} e_{我} = 0$

对于每一个圆锥我。在这里X_我=垫(x_我),x_我与洛伦兹锥相关联的变量我,年代_我=垫(年代_我),e_我是单位向量[0 1 0 0…]适当的维度。讨论表明,中央路径满足互补条件在其终点。

搜索方向

获得点附近的中央路径作为参数γ减少从1到0时,该算法使用牛顿法。找到标记的变量(x,τ,y,年代,κ)。让d_x代表的搜索方向x变量,等等。然后牛顿一步解决了线性系统后,来自方程4。

$\begin{matrix} 一个 d_{x} - b d_{τ} = (γ - 1) (一个 x_{0} - b τ_{0}) \\ {一个}^{T} d_{y} + d_{年代} - f d_{τ} = (γ - 1) ({一个}^{T} y_{0} + {年代}_{0} - f τ_{0}) \\ - f^{T} d_{x} + b^{T} d_{y} - d_{κ} = (γ - 1) (- f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ) \\ X_{0} d_{年代} + {年代}_{0} d_{x} = - X_{0} {年代}_{0} e + γ μ_{0} e \\ τ_{0} d_{κ} + κ_{0} d_{t} 一个 u = - τ_{0} κ_{0} + γ μ_{0} 。 \end{matrix}$

该算法获得下一个点的一个步骤d方向。

$(\begin{matrix} x_{1} \\ τ_{1} \\ y_{1} \\ \begin{array}{l} {年代}_{1} \\ κ_{1} \end{array} \end{matrix}] = (\begin{matrix} x_{0} \\ τ_{0} \\ y_{0} \\ \begin{array}{l} {年代}_{0} \\ κ_{0} \end{array} \end{matrix}] + α (\begin{matrix} d_{x} \\ d_{τ} \\ d_{y} \\ \begin{array}{l} d_{年代} \\ d_{κ} \end{array} \end{matrix}]$

对于一些步骤 $α \in (0, 1]$ 。

数值稳定性和加速收敛,该算法尺度步骤根据建议Nesterov和托德[8]。同时,算法修正步骤根据Mehrotra预估的一个变体[7]。(更多细节,请参阅安徒生,鲁斯和Terlaky[1]。)

一步解决差异

与前面的讨论LinearSolver选项的值“增强”指定。解决其他值,改变步计算,以适应不同类型的问题。

“汽车”(默认)coneprog选择步骤解决:
- 如果问题是稀疏的,步骤解决“prodchol”。
- 否则,步骤解决“增强”。
“正常”——解决者使用的一种变体“增强”步时合适的问题是稀疏的。看到安徒生,鲁斯,Terlaky[1]。
“舒尔”——解算器使用一个修改舒尔补充方法处理密度稀疏问题几列。这个方法也适合大锥。看到安徒生[2]。
“prodchol”-戈德法布描述的解算器使用方法和Scheinberg ([4]和[5])处理密度稀疏问题几列。这个方法也适合大锥。

迭代显示和停止条件

在每一次迭代k,该算法计算三个相对收敛的措施:

原始的不可行性

${Infeas}_{原始的}^{k} = \frac{为一个 x_{k} - b τ_{k} 为}{马克斯 (1, 为一个 x_{0} - b τ_{0} 为)} 。$
双不可行性

${Infeas}_{双}^{k} = \frac{为 {一个}^{T} y_{k} + {年代}_{k} - f τ_{k} 为}{马克斯 (1, 为 {一个}^{T} y_{0} + {年代}_{0} - f τ_{0} 为)} 。$
差距不可能实行

${Infeas}_{差距}^{k} = \frac{| - f^{T} x_{k} + b^{T} y_{k} - κ_{k} |}{马克斯 (1, | - f^{T} x_{0} + b^{T} y_{0} - κ_{0} |)} 。$

你可以把这三个统计在命令行指定迭代显示。

选择= optimoptions (“coneprog”,“显示”,“通路”);

所有三个零当问题的方法是可行的和解决者是收敛的。一个可行的问题的变量κ_k趋于0,变量τ_k方法积极的常数。

一个停止条件有点相关的差距不可能实行。以下时停止条件最优措施减少低于最优公差。

${最优}^{k} = \frac{| f^{T} x_{k} - b^{T} y_{k} |}{τ_{k} + | b^{T} y_{k} |} = \frac{| f^{T} x_{k} / τ_{k} - b^{T} y_{k} / τ_{k} |}{1 + | b^{T} y_{k} / τ_{k} |} 。$

这个统计措施客观价值的精确性。

问题的解决也停止和声明在下列条件下是不可行的。少于三个相对不可行性措施c=ConstraintTolerance,

$τ_{k} \leq c 马克斯 (1, κ_{k}) 。$

如果b^Ty_k> 0,那么原始问题的解算器声明是不可行的。如果f^Tx_k< 0,那么解决者宣称对偶问题是不可行的。

该算法也停止的时候

$μ_{k} \leq c μ_{0}$

和

$τ_{k} \leq c 马克斯 (1, κ_{k}) 。$

在这种情况下,coneprog报道说,问题是数值不稳定(出口标志-10年)。

剩下的停止条件发生在至少一个大于不可行性措施ConstraintTolerance和计算步长太小了。在这种情况下,coneprog报道称,搜索方向变得太小,不可能取得进一步进展(退出旗7)。

引用

[1]安徒生,e D。,C. Roos, and T. Terlaky.在实现一个圆锥内点方法二次优化。数学。程序。,爵士。B95年(2003),页249 - 277。https://doi.org/10.1007/s10107 - 002 - 0349 - 3

[2]安徒生,k·D。修改schur-complement方法处理密度列线性规划内点法。ACM交易数学软件(汤姆斯),22(3):348 - 356年,1996年。

[3]Ben-Tal、Aharon Arkadi Nemirovski。凸优化工程:建模、分析算法。(1998)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.455.2733&rep=rep1&type=pdf。

[4]戈德法布、d和k Scheinberg。一个产品形态柯列斯基分解的方法处理密集列线性规划内点方法。数学规划,99(1):猴,2004年。

[5]戈德法布、d和k Scheinberg。产品形态的柯列斯基分解为二阶锥规划内点方法。数学规划,103(1):153 - 179年,2005年。

罗[6],Zhi-Quan乔斯·Sturm, Shuzhong张。二元性和Self-Duality圆锥凸规划。(1996)。可以在https://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.48.6432

[7]Mehrotra,桑杰。”一个非内点方法的实现。”暹罗在优化2》杂志上,没有。4(1992年11月):575 - 601。https://doi.org/10.1137/0802028。

于[8]涅斯捷罗夫。E。,和M. J. Todd. “Self-Scaled Barriers and Interior-Point Methods for Convex Programming.”数学运筹学22,没有。1(1997年2月):1-42。https://doi.org/10.1287/moor.22.1.1。

另请参阅

coneprog|secondordercone