数学公式gydF4y2Ba

质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$为横坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$纵坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$．质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$的重力有势能吗gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$．春天的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\mathrm{dgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{）gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}/gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$$,在那里gydF4y2Ba $$\mathrm{dgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$弹簧的长度在质量之间吗gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$和质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$．设锚点1为质量0的位置，锚点2为质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{ngydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$．由前面的能量计算可知，弹簧的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba

$$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\frac{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{）gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}}{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$．gydF4y2Ba

将势能问题重新表述为二阶锥规划问题需要引入一些新的变量，如Lobo中所述gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba．创建变量gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$等于这项的平方根gydF4y2Ba $$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$．gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $$\mathrm{egydF4y2Ba}$$是单位列向量gydF4y2Ba $$［gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0gydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba$$．然后gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$．问题变成了gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{\Vert gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba$$(1)gydF4y2Ba

现在考虑gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$作为一个自由向量变量，不是由前面的方程给出的gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$．结合之间的关系gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$而且gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$在新的锥约束集合中gydF4y2Ba

$$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba．gydF4y2Ba$$（2）gydF4y2Ba

目标函数的变量还不是线性的，如所要求的gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba．引入一个新的标量变量gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$．注意这个不等式gydF4y2Ba $$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{\Vert gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$等于这个不等式吗gydF4y2Ba

$$\Vert gydF4y2Ba［gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba\Vert gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$．(3)gydF4y2Ba

现在的问题是最小化gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba},gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$（4）gydF4y2Ba

受锥上的约束gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$而且gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$(2)和附加锥约束(3)。锥约束(3)确保gydF4y2Ba $$\Vert gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{\Vert gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$．因此，问题(4)等价于问题(1)。gydF4y2Ba

问题(4)中的目标函数和锥约束适用于求解gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba．gydF4y2Ba

MATLAB®配方gydF4y2Ba

定义六个弹簧常数gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}$$，六个长度常数gydF4y2Ba $$\mathrm{lgydF4y2Ba}$$，和五个质量gydF4y2Ba $$\mathrm{米gydF4y2Ba}$$．gydF4y2Ba

K = 40*(1:6);L = [1 1/2 1 2 1 1/2];M = [2 1 3 2 1];G = 9.807;gydF4y2Ba

定义与数学问题变量对应的优化变量。为简单起见，将锚点设置为两个虚拟质量点gydF4y2Bax (1:)gydF4y2Ba而且gydF4y2Bax(最终,:)gydF4y2Ba．这种形式允许每个弹簧在两个质量之间拉伸。gydF4y2Ba

n质量=长度(m) + 2;gydF4y2Ba% k和l有nmass-1个元素gydF4y2Ba% m有nmass - 2个元素gydF4y2BaX = optimvar(gydF4y2Ba“x”gydF4y2Ba[nmass 2]);T = optimvar(gydF4y2Ba“t”gydF4y2Banmass-1,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba, 0);Y = optimvar(gydF4y2Ba“y”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba, 0);gydF4y2Ba

创建一个优化问题，并将目标函数设置为(4)中的表达式。gydF4y2Ba

Prob =优化问题;Obj = dot(x(2:(end-1)，2)，m)*g + y;概率。目标= obj;gydF4y2Ba

创建对应于表达式(2)的圆锥约束。gydF4y2Ba

Conecons = optimineq(nmass - 1);gydF4y2Ba为gydF4y2Ba2 = 1:(nmass-1) conecons (ii) =规范(x (2 + 1,:) - x (ii,:)) - l (ii) < =√6 (2 / k (ii)) * t (2);gydF4y2Ba结束gydF4y2Baprobo . constraints .conecons = conecons;gydF4y2Ba

指定锚点gydF4y2Baanchor0gydF4y2Ba而且gydF4y2BaanchorngydF4y2Ba．创建相等约束，指定两个虚端质量位于锚点。gydF4y2Ba

主播0 = [0 5];锚= [5 4];主播= optimeq(2,2);主播(1，:)= x(1，:) ==主播0;主播(2，:)= x(end，:) ==主播;probo . constraints .anchorcons =主播;gydF4y2Ba

创建对应于表达式(3)的圆锥约束。gydF4y2Ba

Ycone = norm([2*t;(1-y)]) <= 1 + y;probo . constraints .ycone = ycone;gydF4y2Ba

解决问题gydF4y2Ba

问题的公式是完整的。打电话解决问题gydF4y2Ba解决gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[sol,fval,eflag,output] = solve(prob);gydF4y2Ba

用coneprog解决问题。找到最优解。gydF4y2Ba

画出解决点和锚点。gydF4y2Ba

情节(sol.x (2: (nmass-1), 1), sol.x (2: (nmass-1), 2),gydF4y2Ba“罗”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba在gydF4y2Ba情节([sol.x (1, 1), sol.x(, 1)]、[sol.x(1、2),sol.x (, 2)),gydF4y2Ba“ks”gydF4y2Ba)情节(sol.x (: 1) sol.x (:, 2),gydF4y2Ba“b——”gydF4y2Ba)传说(gydF4y2Ba“计算点”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“锚点”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“泉”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba) xlim ([sol.x (1,1) -0.5, sol.x(结束,1)+ 0.5])ylim ([min (sol.x(:, 2)) -0.5,马克斯(sol.x (:, 2)) + 0.5])gydF4y2Ba从gydF4y2Ba

您可以修改参数的值gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2BakgydF4y2Ba看看它们是如何影响解的。你也可以改变质量的数量;该代码从您提供的数据中获取质量数。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

[1] Lobo, Miguel Sousa, Lieven Vandenberghe, Stephen Boyd和Hervé Lebret。二阶锥规划的应用gydF4y2Ba线性代数及其应用gydF4y2Ba284年,没有。1-3(1998年11月):193-228。gydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/s0024 - 3795 (98) 10032 - 0gydF4y2Ba．gydF4y2Ba