在薄板非线性传热

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这个例子展示了如何执行一个薄板的传热分析。

板广场和温度是固定的底部边缘。没有热量转移的三条边(即它们都作了隔热处理)。热转移从顶部和底部的面孔板通过对流和辐射。因为辐射包括,问题是非线性的。这个例子的目的之一是展示如何处理非线性PDE问题。

稳态和瞬态分析。在稳态分析中我们感兴趣的是最终温度在不同分板后达到一个平衡状态。在瞬态分析中我们感兴趣的温度板作为时间的函数。可以回答一个问题,这个瞬态分析是板需要多长时间到达一个平衡温度。

板的传热方程

板的平面尺寸1米到1米,厚1厘米。由于板相对薄与平面尺寸相比,厚度方向的温度可以假定常数;由此产生的问题是2 d。

对流和辐射传热是假定两个面之间的板和指定的环境温度。

从每个盘子的热量转移面临由于对流被定义为每单位面积

$问_{c} = h_{c} (T - - - - - - T_{一个})$

在哪里 $T_{一个}$ 环境温度, $T$ 温度在一个特定的x和y位置在板表面,然后呢 $h_{c}$ 是一个指定的对流系数。

从每个盘子的热量转移面临由于辐射的定义是单位面积上

$问_{r} = ϵ σ (T^{4} - - - - - - T_{一个}^{4})$

在哪里 $ϵ$ 脸的发射率和吗 $σ$ 是斯蒂芬玻尔兹曼常数。因为由于辐射热量正比于表面温度的四次方,问题是非线性的。

PDE描述这个薄板的温度

$ρ C_{p} t_{z} \frac{\partial T}{\partial t} - - - - - - k t_{z} \nabla^{2} T + 2 问_{c} + 2 问_{r} = 0$

在哪里 $ρ$ 材料的密度, $C_{p}$ 比热容, $t_{z}$ 板厚度,两个考虑传热的因素从板脸。

方便重写这个方程在PDE工具箱所期望的形式

$ρ C_{p} t_{z} \frac{\partial T}{\partial t} - - - - - - k t_{z} \nabla^{2} T + 2 h_{c} T + 2 ϵ σ T^{4} = 2 h_{c} T_{一个} + 2 ϵ σ T_{一个}^{4}$

问题的设置

铜的板是由具有以下属性:

k = 400;%导热铜,W / (m k)ρ= 8960;^ %密度的铜,公斤/米3specificHeat = 386;%铜的比热,J / (kg-K)厚= . 01;%在米板厚度stefanBoltz = 5.670373 e-8;%斯蒂芬玻尔兹曼常数,W / (m ^ 2 k ^ 4)hCoeff = 1;%对流系数,W / (m ^ 2 k)%的环境温度为300 k。ta = 300;工作= 5;%板表面的发射率

创建PDE模型用一个因变量。

numberOfPDE = 1;模型= createpde (numberOfPDE);

广场,几何和网格很容易定义如下所示。

宽度= 1;身高= 1;

定义广场通过给4 x-locations其次是y-locations的角落。

gdm =[3 4 0宽度宽0 0 0高高度]';g = decsg (gdm,“S1 ',(“S1 ')');

DECSG几何转换成几何对象附加到PDEModel这样做

geometryFromEdges(模型中,g);

绘制几何图形和显示边缘标签用在边界条件的定义。

图;pdegplot(模型,“EdgeLabels”,“上”);轴([-。1.1 - 1。1 1.1]);标题(“与边缘标签显示几何”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题几何边缘标签显示包含5线类型的对象,文本。

指定系数。PDE工具箱所需的系数的表达式可以很容易地确定通过比较上述方程的标量抛物型方程PDE工具箱文档。

c =厚* k;

由于辐射边界条件,“a”系数是温度的函数,u。它被定义为一个MATLAB表达式,因此它可以评估不同的u值的分析。

= @ (~)2 * hCoeff + 2 *工作* stefanBoltz * state.u。^ 3;f = 2 * hCoeff * ta + 2 *工作* stefanBoltz * ta ^ 4;d = *ρ* specificHeat厚;specifyCoefficients(模型,“m”0,“d”0,“c”c“一个”一个,“f”f);

底部边缘板的设置为1000度。

应用边界条件。三个板边是绝缘的。因为诺伊曼边界条件等于零是默认的有限元公式,这些边缘的边界条件不需要显式地设置。狄利克雷条件设置所有节点在底部边缘,边缘1,

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”,“边缘”,1“u”,1000);

指定初始猜测。

setInitialConditions(模型中,0);

在广场上创建网格,大约十个元素在每个方向。

hmax = 1;%的元素大小msh = generateMesh(模型,“Hmax”,hmax);图;pdeplot(模型);轴平等的标题(“三角元素网格板”)包含(“x坐标,米”)ylabel (“坐标,米”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与网格三角形元素包含标题板2线类型的对象。

稳态解

因为一个和f系数是温度的函数(由于辐射边界条件),solvepde自动选择非线性规划求解得到的解决方案。

R = solvepde(模型);u = R.NodalSolution;图;pdeplot(模型,“XYData”u“轮廓”,“上”,“ColorMap”,“喷气机”);标题(“温度板,稳态解”)包含(“x坐标,米”)ylabel (“坐标,米”)轴平等的

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题板温度,稳态解包含12块类型的对象,线。

p = msh.Nodes;plotAlongY (p, u, 0);标题(“温度的函数坐标”)包含(“坐标,米”)ylabel (“温度,开尔文”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与温度的函数坐标标题包含一个类型的对象。

流([板的顶部边缘温度= '…' % 5.1 f degrees-K \ n”),u (4));

温度在顶部的边缘板= 449.8 degrees-K

临时的解决方案

包括d系数。

specifyCoefficients(模型,“m”0,“d”d“c”c“一个”一个,“f”f);endTime = 5000;tlist = 0:50: endTime;numNodes =大小(p, 2);

设置所有节点的初始温度环境,300 K。

情况(1:numNodes) = 300;

设置初始温度对底部边缘E1公元前的值不变,1000 K。

1000年setInitialConditions(模型,“边缘”1);

设置以下解算器选项。

model.SolverOptions。RelativeTolerance = 1.0 e - 3;model.SolverOptions。AbsoluteTolerance = 1.0的军医;

通过使用解决问题solvepde。解算器自动选择抛物线解算器获得的解决方案。

R = solvepde(模型、tlist);u = R.NodalSolution;图;:情节(tlist u (3));网格在标题([“温度沿顶部边缘”…“板作为时间的函数])包含(“时间,秒”)ylabel (“温度,开尔文”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象标题温度在顶部的边缘板作为时间的函数包含一个类型的对象。

图;pdeplot(模型,“XYData”u(:,结束),“轮廓”,“上”,“ColorMap”,“喷气机”);标题(sprintf ([板的温度,…“瞬态解(% d秒)\ n”),tlist (1)));包含(“x坐标,米”)ylabel (“坐标,米”)轴平等的;

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题板温度,瞬态解(5000秒)包含12块类型的对象。

流([“\ nTemperature顶部边缘(t = % 5.1 f秒)= '…' % 5.1 f degrees-K \ n”),tlist(结束),u (4));

顶部边缘温度(t = 5000.0秒)= 441.8 degrees-K

总结

故事情节板温度的稳态和瞬态的解决方案在结束的时间非常接近。大约5000秒之后,短暂的解决方案已达到稳态值。温度从顶部的两个解的边缘板同意百分之一以内。金宝搏官方网站