鲁棒稳定性、鲁棒性能与Mu分析

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这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™来分析和量化反馈控制系统的鲁棒性。它还提供了与mu分析和mussv函数。

系统描述

图1显示了闭环系统的框图。工厂模型 $P$ 不确定和工厂产量 $y$ 在有干扰的情况下必须保持小 $d$ 和测量噪声 $n$ ．

图1:闭环系统的鲁棒性分析

干扰抑制和噪声不敏感性由性能目标量化

${为（ P （ 1 + K P ）^{- 1} W_{d} ，（ 1 + P K ）^{- 1} W_{n} ）为}_{\infty}$

在哪里 $W_{d}$ 和 $W_{n}$ 权重函数是否反映的频率内容 $d$ 和 $n$ ．在这里 $W_{d}$ 在低频率是大的吗 $W_{n}$ 在高频率下是很大的。

Wd =补足重量的东西(。4,100 .15点);Wn =补足重量的东西(0.5,20100);bodemag (Wd,“b——”Wn,“g——”)标题(“性能权重函数”)传说(输入扰动的，“测量噪声”）

图中包含一个轴对象。轴对象包含两个类型为line的对象。这些对象表示输入干扰，测量噪声。

创建不确定植物模型

不确定植物模型P是一个轻阻尼的二阶系统，分母系数具有参数不确定性，显著的频率相关的未建模动力学超过6 rad/s。其数学模型如下:

$P （年代）＝ \frac{16}{{年代}^{2} + 0 ． 16 年代 + k} （ 1 + W_{u} （年代） δ （年代））$

的参数k的不确定性约为40%，其名义值为16。在装置输入处，频率相关的不确定性假定在低频时约为30%，在10 rad/s时上升到100%，超过此值则更大。构建不确定植物模型P通过创造和组合不确定的元素:

k =尿素的(“k”, 16岁,“比例”, 30);δ= ultidyn (“δ”[1],“SampleStateDim”4);吴=补足重量的东西(0.3、10、20);P = tf(16，[1 0.16 k]) * (1+Wu*delta);

设计一个控制器

我们使用了实例“在保持开环特性的同时提高稳定性”所设计的控制器。这里使用的植物模型恰好是上面创建的不确定植物模型的名义价值。为了完整起见，我们重复用于生成控制器的命令。

K_PI = pid (0.8);K_rolloff = tf(1，[1/20 1]);Kprop = K_PI * K_rolloff;[negK, ~,伽马]= ncfsyn (P.NominalValue -Kprop);K = -negK;

结束循环

使用连接建立闭环系统的不确定模型，如图1所示。命名进出每个区块的信号，并让它们进入连接做连接:

P.u =“了”; 警察=“yP”；K.u =“英国”；K.y=“yK”；S1 = sumblk ('uP = yK + D'）;S2 = sumblk ('uK = - yp - N'); Wn.u=“不”；Wn。y =“N”；Wd.u=' d '；Wd。y =' D '；闭环=连接(磷、钾,S1, S2, Wn, Wd, {' d '，“不”}，“yP”）;

的变量闭环是一个具有两个输入和一个输出的不确定系统。它取决于两个不确定因素:实参数k以及一个不确定的线性时不变动态元素δ．

闭环

闭环=不确定连续时间状态空间模型，1输出，2输入，11状态。模型不确定性由以下块组成:delta:不确定1x1 LTI，峰值增益= 1,1次出现k:不确定实数，名义值= 16，变异性=[-30,30]%，1次出现NominalValue“查看标称值”，get(ClosedLoop)“查看所有属性”，以及“ClosedLoop. properties”。“不确定性”与不确定因素相互作用。

鲁棒稳定性分析

经典边缘allmargin对环路内的非结构化增益/相位变化具有良好的稳定性和鲁棒性。

所有保证金（P.名义价值*K）

ans =结构体字段:[6.2984 10.9082] GMFrequency: [1.6108 15.0285] phasmargin: [79.9812 -99.6214 63.7590] PMFrequency: [0.4467 3.1469 5.2304] DelayMargin: [3.1253 1.4441 0.2128] DMFrequency: [0.4467 3.1469 5.2304

对于所有的值，闭环系统是否保持稳定k，δ在上述范围内?回答这个问题需要更复杂的分析robstab函数。

[stabmarg, wcu] = robstab(闭环);stabmarg

stabmarg =结构体字段:LowerBound: 1.4668 UpperBound: 1.4697 CriticalFrequency: 5.8933

的变量stabmarg给出了上下限鲁棒稳定性裕度，用来衡量未来的不确定性k，δ反馈回路在变得不稳定之前可以容忍。例如，0.8的差值表明，只要指定的不确定性水平的80%就会导致不稳定。这里的边际是大约1.5，这意味着闭环将保持稳定高达150%的指定不确定性。

的变量wcu包含k和δ最接近导致不稳定的标称值。

wcu

wcu=结构体字段:δ：[1x1不锈钢]k:23.0548

我们可以把这些值代入闭环并验证这些值是否导致闭环系统不稳定。

总体安排短e极(usubs(闭环,wcu))

ans =15×1复杂-1.2591+0.0000i-0.2094+0.0000i-0.0248+0.0000i-0.0083+0.0115i-0.0083-0.0115i-0.0200+0.0000i-0.0000+0.0059i-0.0000-0.0059i-0.0033+0.0000i-0.0016+0.0023i⋮

注意，不稳定闭环极点的固有频率为stabmarg。CriticalFrequency：

stabmarg。CriticalFrequency

ans = 5.8933 e + 00

与Mu分析的联系

结构奇异值，或 $μ$ 的数学工具robstab计算鲁棒稳定裕度。如果您习惯于结构化奇异值分析，您可以使用mussv函数直接计算作为频率函数的mu，并重现上述结果。这个函数mussv是所有健壮性分析命令的底层引擎。

使用mussv，我们首先提取(δM)不确定闭环模型的分解闭环,在那里δ为(归一化)不确定元素的块对角矩阵。的第三个输出参数lftdata，BlkStruct的块对角结构δ可以直接使用mussv

[M，Delta，BlkStruct]=lftdata（ClosedLoop）；

对于鲁棒稳定性分析，只有米与不确定性相关的通道被使用。的行/列大小δ，选择适当的列和行米．记住δ对应于的列米，反之亦然。因此，的列维数δ用于指定米：

szDelta =大小(δ);M11公路= M (1: szDelta (2), 1: szDelta (1));

在其最简单的形式中，mu分析是在有限的频率网格上进行的。选择一个对数间隔频率点的矢量，并评估的频率响应M11公路通过这个频率网格。

50ω= logspace(1、2);M11_g =朋友(M11公路ω);

计算μ(M11公路)在这些频率处，并绘制出结果的上下边界:

mubnds = mussv (M11_g BlkStruct,“年代”); LinMagopt=Bodeopions；LinMagopt.PhaseVisible=“关闭”；LinMagopt。XLim = [1e-1 1e2];LinMagopt。MagUnits =“abs”；bodeplot (mubnds (1, 1), mubnds(1、2),LinMagopt);包含(的频率(rad /秒)）;ylabel (“μ上/下界限”); 头衔(“稳健稳定边际Mu图(倒比例尺)”）;

图中包含一个轴对象。轴对象包含两个类型为line的对象。这些对象表示untitled1, untitled2。

图3：鲁棒稳定边际图(倒比例尺)

鲁棒稳定裕度是结构奇异值的倒数。因此上界mussv变为稳定裕度的下限。进行这些转换并找到mu上限峰值处（即稳定裕度最小处）的失稳频率：

[pkl, wPeakLow] = getPeakGain (mubnds(1、2);(北大)= getPeakGain (mubnds (1,1));SMfromMU。下界= 1 /北大;SMfromMU。UpperBound = 1 / pkl;SMfromMU。CriticalFrequency = wPeakLow;

比较SMfromMU的界限stabmarg计算与robstab．这些价值大致一致robstab利润率略有下降。这是因为robstab采用一种比频率网格更复杂的方法，可以准确地计算出峰值亩在频率。

stabmarg

stabmarg =结构体字段:下界:1.4668e+00上界:1.4697e+00临界频率:5.8933e+00

SMfromMU

SMfromMU =结构体字段:LowerBound: 1.4735e+00 UpperBound: 1.4735e+00 CriticalFrequency: 5.9636e+00

鲁棒性能分析

为不确定元素的标称值k和δ时，闭环增益小于1:

getPeakGain (ClosedLoop.NominalValue)

ans = 9.8137 e-01

这表示控制器K满足抗干扰和噪声不敏感的目标。但是，在模型的不确定性面前，这种名义上的表现能够维持吗?这个问题最好用robgain．

选择= robOptions (“显示”，“上”); [perfmarg，wcu]=robgain（ClosedLoop，1，opt）；

计算峰值…完成百分比：100/100性能等级1对建模不确定性不具有鲁棒性。--增益在建模不确定性的38.6%内保持在1以下。--存在相当于建模不确定性38.7%的不良扰动。--该扰动导致频率为0.128 rad/秒时增益为1。

答案是否定的:robgain发现的扰动仅为规定不确定度的40%，从而使闭环增益达到1。

getPeakGain（通常为关闭回路，wcu），1e-6）

ans = 1.0000 e + 00

这表明在100%的规定不确定度下，闭环增益将超过1。这通过计算最坏情况增益得到证实：

wcg = wcgain(闭环)

wcg =结构体字段:下限：1.5767e+00上限：1.5799e+00临界频率：5.9578e+00

最坏情况下的增益约为1.6。分析表明，当控制器K满足标称装置的干扰抑制和噪声不敏感性目标，它不能在指定的装置不确定性水平上保持这一性能水平。

另请参阅

robstab|robgain|wcgain|mussv

鲁棒控制工具箱文档

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