稳定性分析使用磁盘利润率- MATLAB和Simulink MathWorks澳大利亚金宝app

使用磁盘边缘稳定性分析

磁盘边缘量化一个闭环系统的稳定性对增益或相开环反应的变化。在基于磁盘的利润率计算,软件模型等不同的盘状乘法在开环传递函数的不确定性。的磁盘边缘衡量不确定性前循环可以容忍不稳定。

这种不确定性量对应于最小增益和相位的利润率。基于磁盘的增益裕度为副总经理环路增益的数量可以增加或减少没有失去稳定性,在绝对单位。基于磁盘的阶段保证金DPM量的循环阶段可以增加或减少没有失去稳定性,在度。这些都基于磁盘的利润考虑频率和循环交互。因此,基于磁盘的利润率分析提供了一个更强的保证比经典的增益和相位稳定的利润。

鲁棒控制工具箱™提供工具:

分析系统的稳定性对增益和相位变化。使用diskmargin计算基于磁盘的增益和相位的输出和米姆反馈循环。
增益和相位不确定性模型。使用umargin控制设计块分析获得的效应和不确定性对系统性能和稳定性。

建模的增益和相位变化

打开生活的脚本

这两个umargin和diskmargin增益和相位变化表示为一个乘法复杂因素F(年代),取代了名义开环反应l(年代),l(年代)*F(年代)。的因素F值在一个磁盘,其中包括标称值F= 1。这个乘法因子模型增益和相位变化。例如,下面的图显示了一个这样的磁盘在复平面。

为副总经理= [0.6,1.7];diskmarginplot(为副总经理,“磁盘”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题乘法因子F的值包含8块类型的对象,线,文本。

这个磁盘中的值包含相对才获得的变化范围为副总经理=[0.6,1.7],或±4 dB。他们也表示绝对phase-only变化DPM=(-29,29),或±29°。考虑下面的闭环系统,名义移圈l和单位反馈。

如果这个反馈回路为所有的值保持稳定F在前面的情节所示的磁盘,然后基于磁盘的增益裕度l至少是为副总经理至少,基于磁盘的阶段保证金DPM。

umargin和diskmargin模型增益和相位不确定性与一个家庭的磁盘所描述的两个参数,α和σ。对于输出系统,磁盘是参数化:

$F = \frac{1 + α ((1 - - - - - - σ) / 2] δ}{1 - - - - - - α ((1 + σ) / 2] δ} 。$

在这个模型中,

δ是归一化的不确定性(任意复杂的价值单位圆盘|δ| < 1)。
α集的增益和相位变化量建模F。固定σ,参数α控制磁盘的大小。为α= 0,相对应的系数是1,名义l。
σ,被称为斜偏见,建模不确定性对增益增加或增益下降。

每一个α,σ一对对应于一个磁盘模型特定gain-variation范围为副总经理= (gmin,gmax),由点磁盘拦截实际(x)轴。相应的相位变化DPM是由实轴之间的角度和线通过原点和磁盘的切线。因此你可以描述一组模型的增益和相位变化完全由两个值α,σ或两个值为副总经理= (gmin,gmax]。σ= 0模型均衡增益变化与gmin,gmax),这样gmin= 1 /gmax。当σ< 0,那么F是一个更大的增益比增加(减少gmin< 1 /gmax)。相反σ> 0是一个更大的增益增加比减少。例如,考虑磁盘参数化α= 0.5,三个不同的倾斜,σ= 2 0和2。

diskmarginplot (0.5, (2 0 2),“磁盘”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题乘法因子F的值包含4块类型的对象,线。这些对象代表α= 0.5,斜= 2,α= 0.5,斜= 0,α= 0.5,斜= 2。

每一个α,σ一对对应的磁盘模式gain-variation范围不同为副总经理= (gmin,gmax]。检查增益变化对应于这三个磁盘。

范围= dm2gm (0.5, (2 0 2))

范围=3×20.3333 1.4000 0.6000 1.6667 0.7143 3.0000

diskmarginplot(范围)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题范围的增益和相位变化包含3补丁类型的对象。这些对象代表为副总经理= [0.333,1.4],DPM = 32.2,为副总经理= [0.6,1.67],DPM = 28.1,为副总经理= [0.714,3],DPM = 32.2。

平衡σ在标称值= 0范围是对称的,允许获得增加或减少约1.67倍。消极的σ值对应于比增加增益降低,而积极的σ给更多的增加比减少。

的umargin控制设计块使用这个模型来表示在反馈环路增益和相位不确定性,设置α和σ增益和相位裕度的值指定当您创建。的diskmargin命令使用这个模型来计算基于磁盘的增益和相位利润率作为下一节讨论。

磁盘边缘的输出循环

打开生活的脚本

一个循环传输l和一个给定的斜σ,diskmargin命令发现最大的磁盘大小α的闭环系统反馈(L * F, 1)所有的值是稳定的吗F。这个值的α被称为磁盘边缘。基于磁盘的增益裕度为副总经理和基于磁盘的阶段保证金DPM增益和相位变化的范围是由相应的磁盘。

例如,计算基于磁盘的增益和相位相关的磁盘边缘和边缘的输出传递函数,使用默认值σ= 0。

σ= 0;L =特遣部队(25日[1 10 10 10]);DM = diskmargin (L,σ);α= DM.DiskMargin

α= 0.4581

为副总经理= DM.GainMargin

为副总经理=1×20.6273 - 1.5942

DPM = DM.PhaseMargin

DPM =1×2-25.8017 - 25.8017

对于这个系统,平衡(σ= 0)磁盘α大约是0.46。相应的基于磁盘的增益裕度为副总经理显示系统仍然是相对稳定的增益变化对0.63和1.6之间,或相位变化约±26度。这个结果建立稳定的所有值F的磁盘:

diskmarginplot(为副总经理,“磁盘”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题乘法因子F的值包含8块类型的对象,线,文本。

获得利润是磁盘与实轴的交点。阶段保证金是最大的实轴之间的夹角和一条线经过原点的切线磁盘。

结合增益和相位变化

获得利润为副总经理你获得diskmargin假设没有相位变化,相位的利润率DPM假设没有收获变异。在实践中,系统可以同时获得经验和相位变化。diskmarginplot让你想象的范围同时增益和相位变化,系统可以容忍。

diskmarginplot(为副总经理)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题范围的增益和相位变化包含5块类型的对象,文本行。

阴影区域显示了稳定的增益和相位变化。因此,例如,没有相变异,全方位的系统可以容忍为副总经理增益变化,大约4 dB 4 dB。如果相位随±17度左右,容许增益变化降到3 dB - 3 dB。

磁盘的利润率和倾斜

上面所示的范围,计算σ= 0,表示获得一种平衡变化,gmin= 1 /gmax。不同的倾斜可以揭示循环是否更敏感的增加或减少。例如,使用σ> 0可能表明,反馈循环是非常健壮的获得增加,因为积极的σ模型比降低增益增加。然而,这个结果说对鲁棒性降低。试计算基于磁盘的增益和相位的利润l利润率,偏压对获得增加或减少。

DMdec = diskmargin (L, 2);DMinc = diskmargin (L, 2);DGMdec = DMdec.GainMargin

DGMdec =1×20.4013 - 1.3745

DGMinc = DMinc.GainMargin

DGMinc =1×20.7717 - 1.7247

放在一起,这些结果表明,在缺乏相变异的情况下,稳定是维持相对增益变化在0.4和1.72之间。看看阶段保证金取决于这些增益变化,画出稳定的增益和相位变化范围diskmargin结果。

diskmarginplot ([DGMdec;为副总经理;DGMinc])传说(“\σ= 2”,“\σ= 0”,“\σ= 2”)标题(“稳定的增益和相位变化范围”)

$图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题稳定范围的增益和相位变化包含3补丁类型的对象。这些对象代表\σ= 2,\σ= 0,\σ= 2。$

这情节显示反馈回路可以容忍较大的相位变化时得到减少。换句话说,获得提高循环稳定性更敏感。注意,它会误导取最大的报道阶段保证金(近30度σ= 2)。事实上,这个大值是基于一个小增益增加小于3 dB。因为增益和相位受到不确定性一般来说,重要的是要注意变化相结合。例如,图显示,当增加4 dB的增益,相位幅度下降到小于15度。相比之下,仍大于30度增益减少4 dB。

总之,不同的倾斜σ可以更全面的敏感性增益和相位不确定性。除非你是主要关心的是获得一个方向的变化(增加或减少),不建议从一个非零值的得出结论σ。而不是使用默认的σ= 0无偏估计的增益和相位的利润率。当使用非零值σ,用正面和负面的价值观比较相对灵敏度增加与增加减少。

不确定性磁盘在奈奎斯特平面

闭环系统鲁棒稳定性的要求反馈(L * F, 1)相当于一个要求吗1 + L * F≠0。尼奎斯特的飞机,这个需求L (jω)≠1 /F。因此,磁盘F为每个值σ定义了一个排斥地区,奈奎斯特曲线不进入闭环稳定性是否保存。所有这些磁盘1 /F包含临界点(1,0),奈奎斯特曲线的切线。切斜调整大小和位置的磁盘,如下面图中所示,它显示了排除三个磁盘边缘的地区l上面的计算。作为σ增加,每个磁盘提供了经典的增益和相位的估计利润率较低。

尼奎斯特(左)在diskmarginplot ([DGMdec;为副总经理;DGMinc),“奈奎斯特”甘氨胆酸)p = findobj (,“类型”,“补丁”);传奇(p,“\σ= 2”,“\σ= 0”,“\σ= 2”)举行从

$图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含8线类型的对象,补丁。这些对象代表L \σ= 2,\σ= 0,\σ= 2。$

更多细节的奈奎斯特解释不确定性磁盘,明白了磁盘边缘和最小的不稳定扰动。

那不确定性模型和磁盘分配反馈循环的利润率

MIMO系统,该模型适用于一个独立的磁盘不确定性F_j每个循环通道,由

$F_{j} = \frac{1 + α ((1 - σ) / 2] δ_{j}}{1 - α ((1 + σ) / 2] δ_{j}} 。$

模型取代了天线系统开环反应l与l*F,在那里

$F = (\begin{matrix} F_{1} & 0 & 0 \\ 0 & ⋱ & 0 \\ 0 & 0 & F_{N} \end{matrix}) 。$

类似于输出情况下,磁盘边缘的最大价值α的闭环系统反馈(L * F,眼(N))所有的值是稳定的吗F。它可能是有用的考虑独立的变化在所有反馈渠道,以及各个通道的变化。因此,diskmargin可以计算:

Loop-at-a-time利润——最大的增益变化(或相位变化)在每个反馈通道,计算与所有其他循环关闭。Loop-at-a-time分析有效集δ_j为所有渠道除了0频道下分析。
多回路的利润率——最大的增益变化(或相位变化)在所有反馈渠道。多回路的利润允许独立的变化同时反馈渠道。捕获这样的循环互动的能力是一个关键的优势disk-margin古典边际分析方法。多回路的分析通常比loop-at-a-time产量较小的利润分析。

例如,考虑下面的2声道MIMO系统说明。

两个输入,两个输出负反馈控制系统与开环传输L L的第一和第二输出反馈到第一和第二输入的L,分别。

对于这个系统,可以计算:

最大可容忍的增益变化(或相位变化)在第一频道(第一系统输入系统输出)
最大可容忍的增益变化(或相位变化)在第二频道(第二个系统输入第二个系统输出)
最大容许独立增益变化(或相位变化)在两个频道在同一时间。

的细节和例子如何得到这些loop-at-a-time和多回路的利润率,明白了diskmargin。

在植物输入或输出变化

在某些情况下,稳定的利润取决于增益和相位变化是否可以应用于植物输入或输出。diskmargin让你计算利润变化的输入,输出,或者两者同时进行。一般来说,利润率同时输入和输出小于输入或输出的变化,并提供一个更保守稳定的保证。考虑下面的输出或MIMO闭环系统图。

负反馈控制回路控制器C和P, P的输入和输出指示的位置可以计算磁盘边缘。

核电站利润率可以计算磁盘输入和输出如下。

(DM, MM) = diskmargin (P C *)回报的利润变化核电站输出。
(DM, MM) = diskmargin (C * P)核电站投入回报的利润变化。
MMIO = diskmargin (P C)返回同步变化的幅度核电站输出和输入。当比较这边际利润率的输入或输出,使用2 * MMIO.Diskmargin,考虑到同时扰动应用在输入和输出。

频率依赖的利润率

一般来说,利润率增益和相位随频率变化。这种变化是由于频率变化的开环反应l为每个频率:ω,有一个最大的不同α(ω),这样我+l(jω)F是可逆的所有值的吗F在磁盘上。这个值是第一α(ω闭环极点穿过)jω在频率轴ω,成为不稳定。

随着磁盘边缘α在频率变化,那么相应的容许范围的增益或相位变化。策划这些基于磁盘的利润率作为频率的函数为频带信息提供了弱边缘。

L =特遣部队(25日[1 10 10 10]);diskmarginplot(左)

磁盘边缘图显示基于磁盘的增益和相位利润率作为频率的函数。

磁盘返回的利润率diskmargin这些价值最小频率。右键单击生成的阴谋diskmarginplot这些值数据提示信息。

最坏的磁盘的利润率

计算磁盘边缘通过应用名义循环转移的不确定性l和计算如何在保持大,不确定性闭环稳定。如果循环转移l本身就是一个不确定的系统,那么磁盘边缘也不同系统中的其他的不确定性的函数。的最坏的磁盘边缘是最小的磁盘保证金的范围内发生的不确定性建模l。这也是最低保证利润的不确定性范围。

计算最坏的磁盘边缘的一个不确定的系统使用wcdiskmargin。这个函数估计最坏的磁盘边缘和相应的最坏的增益和相位利润率loop-at-a-time和多回路的变化。函数返回坏的扰动,确定元素的结合l收益率最弱的利润率。你可以想象最坏的基于磁盘的利润率wcdiskmarginplot。

磁盘的利润率和控制系统调优

调优与`systune`或控制系统调谐器

控制系统调优工具控制系统工具箱™允许您指定目标利润增益和相位调谐系统循环。调优目标TuningGoal.Margins(命令行调优systune优化与控制)和利润目标(系统调谐器)使用基于磁盘的利润率。因此,当您指定独立的增益和相位的利润率通用汽车和点调优,软件选择最小的α执行这两个值。这α是由:

$α = 2 (马克斯 (\frac{G 米 - 1}{G 米 + 1}, 棕褐色 (P 米 / 2)]) 。$

在应用这个值α调优软件假定σ= 0。

可视化利润率目标使用viewGoal或控制系统调谐器的调优目标阴谋相当于diskmarginplot(左),在那里l是调开环反应。

稳健设计与`musyn`

当您执行鲁棒控制器调优musyn模型,您可以直接在您的系统使用增益和相位变化umargin。然后,进行鲁棒控制器设计musyn执行模型的鲁棒稳定性范围的增益和相位变化。这种方法很有用,因为它允许您研究预期的增益和相位变化的影响系统性能的各个方面上使用相同的模型用于调优。例如,看到的旋转的卫星鲁棒控制器。

这种方法的一个缺点musyn不仅执行鲁棒稳定性对整个建模不确定性范围。它还试图实施强劲的性能。(见强劲的性能测量μ综合)。实现这一更严格的要求通常是不可能的或导致无法忍受的名义性能退化。因此,您可能需要减少建模的增益和相位变化,保持合理的性能。systune和控制系统调谐器没有这个缺点,因为他们独立处理利润目标的性能目标。

引用

[1]枯萎,詹姆斯D。,R. Lane Dailey, and Dagfinn Gangsaas. “Practical Control Law Design for Aircraft Using Multivariable Techniques.”国际期刊的控制59岁的没有。1(1994年1月):93 - 137。https://doi.org/10.1080/00207179408923071。

[2]西勒,彼得,安德鲁·帕卡德和帕斯卡Gahinet。“介绍磁盘利润率(讲稿)。”IEEE控制系统杂志40,不。5(2020年10月):78 - 95。