冷杉高斯脉冲整形过滤器设计

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此示例显示了如何设计高斯脉冲整形FIR滤波器和影响此设计的参数。FIR高斯脉冲整形滤波器设计是通过截断通过以下方式给出的高斯滤波器的连续时间脉冲响应的采样版本来完成：

$H （ T. ） = \frac{\sqrt{π}}{一种} {E.}^{- \frac{π^{2} {T.}^{2}}{{一种}^{2}}}$

参数‘a’与高斯滤波器的3-dB带宽-符号时间积(B*Ts)有关，如下所示:

$一种 = \frac{1}{B. {T.}_{S.}} \sqrt{\frac{日志 2}{2}}$

在这种设计中存在两种近似误差:截断误差和采样误差。截断误差是由于理想高斯滤波器的理论无限脉冲响应的有限时间(FIR)近似。采样误差(混叠)是由于高斯频率响应在严格意义上并没有真正的频带限制(即高斯信号的能量超过某一频率并不完全为零)。这可以从连续时间高斯滤波器的传递函数看出，其表达式如下:

$H （ F ） = {E.}^{- {一种}^{2} F^{2}}$

随着f的增加，频率响应趋于零，但绝不会完全为零，这意味着它不能在不发生混叠的情况下被采样。

连续时间高斯过滤器

为了设计一个连续时间高斯滤波器，让我们定义符号时间(Ts)为1微秒，并且在脉冲响应的开始和结束(滤波器跨度)之间的符号数为6。从上面的方程中，我们可以看到高斯滤波器的脉冲响应和频率响应取决于参数a，它与3db带宽-符号时间乘积有关。为了研究这个参数对高斯FIR滤波器设计的影响，我们将用Ts定义不同的值'a'，并计算相应的带宽。然后，我们将绘制每个“a”的脉冲响应和每个带宽的幅度响应。

Ts = 1 e-6;%符号时间(秒)跨度= 6;%筛选符号跨度a = ts * [。5，.75,1,2];b = sqrt（log（2）/ 2）./（a）;t = linspace（-span * ts / 2，span * ts / 2,1000）';Hg =零（长度（t），长度（a））;为k = 1：长度（a）hg（：，k）= sqrt（pi）/ a（k）* exp（ - （pi * t / a（k））。^ 2）;结束情节（T / TS，HG）标题（{连续时间高斯滤波器的脉冲响应;......对各种带宽的}）;Xlabel（“归一化时间(t / t)”) ylabel (“振幅”)传说(sprintf (“= % g * Ts”(1) / Ts), sprintf (“= % g * Ts”(2) / Ts),......sprintf (“= % g * Ts”(3) / Ts), sprintf (“= % g * Ts”，a（4）/ ts））网格在;

图中包含一个轴对象。标题为“不同带宽的连续时间高斯滤波器的脉冲响应”的轴对象包含4个类型为line的对象。这些对象代表A = 0.5 * TS，A = 0.75 * TS，A = 1 * TS，A = 2 * TS。

注意，脉冲响应被归一化为符号时间。

连续时间高斯滤波器的频率响应

我们将计算和绘制不同带宽的连续时间高斯滤波器的频率响应。在下图中，3-dB的截止值由幅值响应曲线上的红色圆圈('o')表示。注意DC和B之间的带宽是3db。

f = linspace (10000 0 32 e6) ';Hideal = 0(长度(f), (a));为k = 1:length(a); k = 1:length(a);结束plot(f,20*log10(Hideal))“连续时间的理想幅度响应”;......'适用于各种带宽的高斯过滤器'};标题（Titlestr）;传奇（Sprintf（“B = % g”B (1)), sprintf (“B = % g”B (2)),......sprintf (“B = % g”，b（3）），Sprintf（“B = % g”，b（4）））保持在为k = 1:长度(一)情节(B, 20 * log10 (exp (a ^ 2。* B . ^ 2)),'ro'那“HandleVisibility”那“关闭”）结束轴（[0 5 * max（b）-50 5]）xlabel（的频率(赫兹)) ylabel ('幅度（db）'网格)在;

图中包含一个轴对象。轴对象的标题为理想大小响应连续时间高斯滤波器为各种带宽包含4个对象类型线。这些对象表示B = 1.17741e+06, B = 784940, B = 588705, B = 294353。

高斯滤波器的FIR近似

我们将使用杉木高斯滤波器设计gaussdesign函数。这个函数的输入是3db带宽-符号时间乘积，滤波器脉冲响应开始和结束之间的符号周期数，即符号中滤波器的跨度，以及过采样因子(即每个符号的采样数)。

过采样因子（OVSF）确定采样频率和滤波器长度，因此在高斯FIR滤波器设计中起着重要作用。The approximation errors in the design can be reduced with an appropriate choice of oversampling factor.我们通过比较具有两个不同的过采样因子的高斯FIR滤波器来说明这一点。

首先，我们将考虑16尺寸的过采样因子来设计离散高斯滤波器。

OVSF = 16;过采样因子(样本/符号)%h = 0 (97 4);工业区= 0 (97 4);为k = 1：长度（a）bt = b（k）* ts;H（：，k）=高斯设计（BT，Span，OVSF）;[IZ（：，k），t] = Immz（h（：，k））;结束图(“颜色”那'白色的') t = (t-t(end)/2)/Ts;茎(t,工业区)标题({高斯FIR滤波器的脉冲响应;......'各种带宽，OVSF = 16'}）;Xlabel（“归一化时间(t / t)”) ylabel (“振幅”)传说(sprintf (“= % g * Ts”(1) / Ts), sprintf (“= % g * Ts”(2) / Ts),......sprintf (“= % g * Ts”(3) / Ts), sprintf (“= % g * Ts”，a（4）/ ts））网格在;

图中包含一个轴对象。具有用于各种带宽的高斯FIR滤波器标题脉冲响应的轴对象，OVSF = 16包含4个类型杆的4个物体。这些对象代表A = 0.5 * TS，A = 0.75 * TS，A = 1 * TS，A = 2 * TS。

FIR高斯滤波器的频率响应(过采样因子=16)

我们将计算过采样因子为16的高斯FIR滤波器的频率响应，并将其与理想频率响应(即连续时间高斯滤波器的频率响应)进行比较。

Fs = ovsf / Ts;fvtool (h(: 1) 1、h (:, 2), 1 h (:, 3), 1 h (:, 4), 1,......“FrequencyRange”那“指定freq.向量”那......“FrequencyVector”f“Fs”Fs,“颜色”那'白色的'）;标题('理想的幅度响应和FIR近似，OVSF = 16')举行在情节(f * Ts, 20 * log10 (Hideal),“——”)举行从轴([0 32 -350 5])传奇(附加([“b =”“理想，b =”]，字符串（num2str（b'，“% g”））），......“NumColumns”2,“位置”那“最佳”）

图形过滤器可视化工具-幅度响应(dB)包含一个轴对象和其他类型的uitoolbar, uimenu对象。以理想幅度响应和FIR近似为标题的轴对象，OVSF = 16包含8个线型对象。这些对象代表B = 1.17741e+06, B = 784940, B = 588705, B = 294353，理想，B = 1.17741e+06，理想，B = 784940，理想，B = 588705，理想，B = 294353。

请注意，前两个FIR滤波器展示了别名错误，最后两个FIR滤波器表现出截断误差。当采样频率不大于奈奎斯特频率时发生混叠。在前两个滤波器的情况下，带宽足够大，以至于过采样因子并未将光谱副本分离，以避免别名。然而，别名量不是很明显。

另一方面，最后两个FIR滤波器在可能发生任何锯齿之前显示FIR近似限制。这两个过滤器的幅度响应在与光谱副本重叠之前到达地板。

过采样因子的意义

别名和截断误差根据过采样因子而变化。如果过采样因子减少，则这些错误将更严重，因为这降低了采样频率（从而使副本移动更近）并且还减少了滤波器长度（增加了冷杉近似值中的错误）。

例如，如果我们选择过4的过采样因子，我们将看到所有FIR滤波器都表现出锯齿误差，因为采样频率不足以避免光谱副本的重叠。

ovsf = 4;过采样因子(样本/符号)%H =零（25,4）;IZ =零（25,4）;为k = 1：长度（a）bt = b（k）* ts;H（：，k）=高斯设计（BT，Span，OVSF）;[IZ（：，k），t] = Immz（h（：，k））;结束图(“颜色”那'白色的') t = (t-t(end)/2)/Ts;茎(t,工业区)标题({“高斯FIR滤波器的脉冲响应”;'对于各种带宽，OVSF = 4'}）;Xlabel（“归一化时间(t / t)”) ylabel (“振幅”)传说(sprintf (“= % g * Ts”(1) / Ts), sprintf (“= % g * Ts”(2) / Ts),......sprintf (“= % g * Ts”(3) / Ts), sprintf (“= % g * Ts”，a（4）/ ts））网格在;

图中包含一个轴对象。轴对象为各种带宽的高斯FIR滤波器的脉冲响应，OVSF = 4包含4个类型为stem的对象。这些对象代表A = 0.5 * TS，A = 0.75 * TS，A = 1 * TS，A = 2 * TS。

FIR高斯滤波器的频率响应（过采样因子= 4）

我们将绘制并研究高斯FIR滤波器的频率响应，其具有过采样因子为4.更小的过采样因子意味着采样频率较小。结果，该采样频率不足以避免光谱重叠，并且所有FIR近似滤波器都表现出别名。

Fs = ovsf / Ts;fvtool (h(: 1) 1、h (:, 2), 1 h (:, 3), 1 h (:, 4), 1,......“FrequencyRange”那“指定freq.向量”那......“FrequencyVector”f“Fs”Fs,“颜色”那'白色的'）;标题('理想幅度响应和FIR近似，OVSF = 4')举行在情节(f * Ts, 20 * log10 (Hideal),“——”)举行从轴([0 32 -350 5])传奇(附加([“b =”“理想，b =”]，字符串（num2str（b'，“% g”））），......“NumColumns”2,“位置”那“东南”）

图形过滤器可视化工具-幅度响应(dB)包含一个轴对象和其他类型的uitoolbar, uimenu对象。以理想幅度响应和FIR近似为标题的轴对象，OVSF = 4包含8个线型对象。这些对象代表B = 1.17741e+06, B = 784940, B = 588705, B = 294353，理想，B = 1.17741e+06，理想，B = 784940，理想，B = 588705，理想，B = 294353。

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FVTool|gaussdesign