在线性Mixed-Effects模型估计参数- MATLAB和Simulink MathWorks澳大利亚金宝app

在线性Mixed-Effects模型估计参数

一个线性mixed-effects模型的形式

$y = \underset{f 我 x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r 一个 n d o 米}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}},$

在哪里

y是n1响应向量,n是观测的数量。
X是一个n——- - - - - -p固定后果设计矩阵。
β是一个p1固定后果向量。
Z是一个n——- - - - - -问随机设计矩阵。
b是一个问1随机向量。
ε是n1观察误差向量。

随机向量,b误差向量,ε之前,被认为有以下独立分布:

$\begin{array}{l} b ~ N (0, σ^{2} D (θ)), \\ ε ~ N (0, σ {}^{2}我), \end{array}$

在哪里D是一个对称半正定矩阵,由方差参数化组件向量θ,我是一个n——- - - - - -n单位矩阵,σ²误差方差。

在这个模型中,参数估计是固定后果系数β和方差组件θ和σ²。两种最常用的参数估计方法在线性mixed-effects模型最大似然和限制最大似然方法。

最大似然(ML)

最大似然估计包括回归系数和方差分量,即固定后果和随机条件似然函数。

定义为一个线性mixed-effects模型上面,响应变量的条件反射y鉴于β,b,θ,σ²是

$y | b, β, θ, σ^{2} ~ N (X β + Z b, σ^{2} 我_{n}) 。$

的可能性y鉴于β,θ,σ²是

$P (y | β, θ, σ^{2}) = \int P (y | b, β, θ, σ^{2}) P (b | θ, σ^{2}) d b,$

在哪里

$\begin{array}{l} P (b | θ, σ^{2}) = \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{\frac{问}{2}}} \frac{1}{{| D (θ) |}^{\frac{1}{2}}} 经验值 {- \frac{1}{2 σ^{2}} b^{T} D^{- 1} b} 和 \\ P (y | b, β, θ, σ^{2}) = \frac{1}{{(2 π σ^{2})}^{\frac{n}{2}}} 经验值 {- \frac{1}{2 σ^{2}} {(y - X β - Z b)}^{T} (y - X β - Z b)} 。 \end{array}$

假设Λ(θ)的下三角柯列斯基因素D(θ)和Δ(θ)的逆Λ(θ)。然后,

$D {(θ)}^{- 1} = Δ {(θ)}^{T} Δ (θ) 。$

定义

$r^{2} (β, b, θ) = b^{T} Δ {(θ)}^{T} Δ (θ) b + {(y - X β - Z b)}^{T} (y - X β - Z b),$

假设b^*的值是b满足

${\frac{\partial r^{2} (β, b, θ)}{\partial b} |}_{b^{*}} = 0$

对于给定β和θ。然后,似然函数

$P (y | β, θ, σ^{2}) = {(2 π σ^{2})}^{- \frac{n}{2}} {| D (θ) |}^{- \frac{1}{2}} 经验值 {- \frac{1}{2 σ^{2}} r^{2} (β, b^{*} (β), θ)} \frac{1}{{| Δ^{T} Δ + Z^{T} Z |}^{\frac{1}{2}}} 。$

P (y |β,θ,σ²)是第一个最大化对β和σ²对于一个给定的θ。因此,优化解决方案金宝搏官方网站 $\hat{β} (θ)$ 和 ${\hat{σ}}^{2} (θ)$ 得到的函数θ。用这些解决方案到似然函数产生金宝搏官方网站 $P (y | \hat{β} (θ), θ, {\hat{σ}}^{2} (θ))$ 。这个表达式称为异形的可能性β和σ²已经被描绘出来。 $P (y | \hat{β} (θ), θ, {\hat{σ}}^{2} (θ))$ 是一个函数的θ算法,然后对优化θ。一旦它找到的最佳估计θ的估计,β和σ²是由 $\hat{β} (θ)$ 和 ${\hat{σ}}^{2} (θ)$ 。

毫升的方法对待β固定但未知数量的方差分量估计,但没有考虑自由度损失估计的固定效果。这导致ML估计方差较小的偏见。然而,ML / REML的一个优点是,可以比较两个模型的固定和随机项。另一方面,如果你用REML估计参数,你只能比较两个模型,是嵌套在他们的随机项,固定后果相同的设计。

限制最大似然(REML)

限制最大似然估计只包括方差分量,即参数线性mixed-effects模型参数化随机项。β预计在第二步。假设一个统一的先验分布不当β和集成的可能性P (y|β,θ,σ²)对βP(可能性结果的限制y|θ,σ²)。也就是说,

$P (y | θ, σ^{2}) = \int P (y | β, θ, σ^{2}) P (β) d β = \int P (y | β, θ, σ^{2}) d β 。$

该算法首先概要文件 ${\hat{σ}}_{R}^{2}$ 和剩余最大化目标函数θ找到 ${\hat{θ}}_{R}$ 。然后,限制可能是最大化σ²找到 ${\hat{σ}}_{R}^{2}$ 。然后,它估计β通过寻找其期望值的后验分布

$P (β | y, {\hat{θ}}_{R}, {\hat{σ}}_{R}^{2}) 。$

REML占自由度损失估计的固定效果,并使偏置随机效应方差估计。的估计θ和σ²不变的价值吗β和更少的敏感比ML估计数据中离群值。然而,如果你用REML估计参数,你只能比较两个模型有相同的固定后果设计矩阵和嵌套的随机项。

引用

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另请参阅

LinearMixedModel|fitlme|fitlmematrix