多元t分布
定义
的概率密度函数d维多元学生的t分布是由
在哪里x是1 -d向量,Σ是ad——- - - - - -d对称正定矩阵,ν是一个积极的标量。虽然可以定义多元学生的t对于奇异Σ,密度不能写成上面。对于单一的情况,只支持随机数生成。金宝app注意,虽然大多数教科书定义多元学生的t与x面向一个列向量,对数据分析软件的目的,这是东方更方便x作为一个行向量,统计和机器学习工具箱™软件使用。
背景
多元学生的t单变量的分布是一个泛化的学生t两个或两个以上的变量。是一个分布的随机向量的相关变量,每个元素都有一个单变量的学生t分布。以同样的方式为单变量学生的t分布可以构造一个标准的单变量正态随机变量除以根号的单变量卡方随机变量,多元学生的t分布可以除以一个多元正态随机向量构造具有零均值和单元由一个单变量卡方随机变量方差。
多元学生的t分布参数化的相关矩阵,Σ,和积极的标量自由度参数,ν。ν类似于一个单变量的自由度参数学生的t分布。的非对角元素Σ包含变量之间的相关性。注意,当Σ是单位矩阵,变量是不相关的;然而,他们并不是独立的。
多元学生的t分布通常是用作代替多元正态分布的情况下,众所周知,个人的边际分布变量有胖的尾巴比正常。
例子
情节pdf和cdf的多元t分布
情节二元学生的pdft分布。您可以使用此分布更多的维度,尽管可视化并不容易。
ρ= [1。6;6 1];ν= 5;x1 = 3: .2:3;x2 = 3: .2:3;(X1, X2) = meshgrid (X1, X2);F = mvtpdf ((X1 (:) X2(:)),ρ,ν);F =重塑(F,长度(x2)、长度(x1));冲浪(x1, x2, F);caxis ([min (F(:))闲置*范围(F(:)),马克斯(F (:)))); axis([-3 3 -3 3 0 .2]) xlabel(x1的);ylabel (“x2”);zlabel (的概率密度);
二元的cdf实验组的学生的t分布。
F = mvtcdf ((X1 (:) X2(:)),ρ,ν);F =重塑(F,长度(x2)、长度(x1));冲浪(x1, x2, F);caxis ([min (F(:))闲置*范围(F(:)),马克斯(F (:))));轴([3 3 3 3 0 1])包含(x1的);ylabel (“x2”);zlabel (“累积概率”);
因为二元学生的t分布的定义是在飞机上,你也可以计算累计概率在矩形区域。例如,这个等高线图演示了计算,中包含的概率单位正方形图所示。
轮廓(x1, x2, F, [。0001措施。01 . 05:1。:。95 .99 .999 .9999]);包含(“x”);ylabel (“y”);线([0 0 1 1 0],[1 0 0 1 1],“线型”,“——”,“颜色”,“k”);
计算概率的值包含在单位正方形。
F = mvtcdf([0 0],[1],ρ,ν)
F = 0.1401
计算一个多元累积概率比计算单变量概率需要更多的工作。默认情况下,mvtcdf函数计算值小于完整的机器精度和返回一个估计的错误,作为一个可选的第二个输出。
(F,犯错)= mvtcdf([0 0],[1],ρ,ν)
F = 0.1401
呃= 1.0000 e-08
