适合度的数据和模型

我们将使用收集的数据来研究由工业和国内垃圾引起的水污染。这些数据在框，G.P.，W.G. Hunter和J.s.中详细描述了详细描述猎人，实验者统计（Wiley，1978，PP。483-487）。响应变量是Mg / L中的生物化学需氧量，并且预测变量是在几天内孵育时间。

X = [1 2 3 5 7 10]';Y = [109 149 149 191 213 224]';情节(x, y,'ko'）;包含('孵化（天），x'）;ylabel ('生化氧气需氧（mg / l），y'）;

我们假定，前两次观测的精度不如其余观测的精度。例如，它们可能是用另一种乐器制成的。重量数据的另一个常见原因是,每个记录观察实际上是几个度量值的平均值在相同的值(x)的数据,假设第一个两个值代表的是单一的原始测量,而其余四个都5原始测量值的平均值。然后用每一次观测的测量值来衡量是合适的。

w = [1 1 5 5 5 5]'

我们用来拟合这些数据的模型是一个缩放的指数曲线，随着x变大而变得水平。

modelfun = @（b，x）b（1）。*（1-exp（2）。* x））;

仅仅基于粗略的视觉拟合，通过这些点绘制的曲线可能会在x = 15附近的某个地方稳定在240左右。我们用240作为b1的初始值，因为e^(- 5*15)比1小，所以我们用。5作为b2的初始值。

开始= [240;5);

适合没有重量的模型

忽略测量误差的危险是，拟合可能会受到不精确测量的过度影响，因此可能不提供精确已知的测量良好。让我们没有重量的数据并将其与点进行比较。

nlm = fitnlm（x，y，modelfun，开始）;xx = linspace（0,12）';线（xx，预测（nlm，xx），“线型”，' - '，“颜色”，'k'）

用权重拟合模型

请注意，拟合曲线被拉向前两点，但似乎错过了其他点的趋势。让我们用重量来重复健身。

modelFun wnlm = fitnlm (x, y,开始,'重量'w)线(xx,预测(wnlm, xx),“颜色”，“b”）

wnlm =非线性回归模型:y ~ b1*(1 - exp(- b2*x)) Estimated Coefficients: Estimate SE tStat pValue ________ ________ ______ __________ b1 225.17 10.7 21.045 3.0134e-05 b2 0.40078 0.064296 6.2333 0.0033745观测数:6，误差自由度:4均方根误差:24 R-Squared:0.885 F-statistic vs. zero model: 696, p-value = 8.2e-06

在这种情况下，估计的总体标准差描述了一个“标准”观测值的平均变异，其权重或测量精度为1。

wnlm.rmse.

ans = 24.0096

任何分析的一个重要部分是对模型拟合精度的估计。系数显示显示了参数的标准误差，但我们也可以计算它们的置信区间。

COEFCI（WNLM）

ans = 195.4650 254.8788 0.2223 0.5793

估计响应曲线

接下来，我们将为它们计算拟合响应值和置信区间。默认情况下，这些宽度用于预测值的点置信界限，但我们将对整个曲线进行同时进行同时间隔。

[ypred，ypredci] =预测（wnlm，xx，'同时',真正的);情节(x, y,'ko'xx ypred,'b-'，xx，ypredci，'B：'）;包含('X'）;ylabel ('是'）;传奇({'数据'，'加权贴合'，'95％的置信限制'}，'地点'，'东南'）;

请注意，两个下行点也不适合曲线作为其余点。这就像你期望加权契合一样。

对于在指定值的X的值下，还可以估计预测间隔。这些间隔将有效地假设1的重量或测量精度为1。

[ypred，ypredci] =预测（wnlm，xx，'同时',真的,'预言'，'观察'）;情节(x, y,'ko'xx ypred,'b-'，xx，ypredci，'B：'）;包含('X'）;ylabel ('是'）;传奇({'数据'，'加权贴合'，“95%预测限制”}，'地点'，'东南'）;

权重的绝对尺度实际上并不影响参数估计。将权重按任何常数重新调整，我们都会得到相同的估计值。但它们确实会影响置信界限，因为置信界限表示权值为1的观察值。这里你可以看到，与置信限相比，权重较高的点似乎太接近拟合线。

虽然这吧预测方法不允许我们改变权重，我们可以做一些后处理，调查曲线如何寻找一个更精确的估计。假设我们对一个基于五个测量值平均值的新观测结果感兴趣，就像图中的最后四个点一样。我们可以将间隔的宽度减小根号5。

halfwidth = ypredci（:,2） - 是;newwidth = halfwidth / sqrt（5）;newci = [ypred-newwidth，ypred + newwidth];情节(x, y,'ko'xx ypred,'b-'，xx，newci，'r：'）;包含('X'）;ylabel ('是'）;传奇({'数据'，'加权贴合'，“限制重量= 5”}，'地点'，'东南'）;

残留分析

除了绘制数据和拟合之外，我们还将符合适合于预测器的残差，以诊断模型的任何问题。残差应出现独立并相同分布，但具有与权重的倒数成比例的方差。我们可以标准化这种方差，使情节更容易解释。

r = wnlm.residuals.raw;绘图（x，r。* sqrt（w），'b ^'）;包含('X'）;ylabel ('残留，Yfit  -  Y'）;

在这片残余地块上有一些系统模式的证据。注意最后四个残差是如何呈线性趋势的，这表明随着x的增加，模型的增长速度可能不够快。此外，残差的大小往往随着x的增加而减小，这表明测量误差可能取决于x。这些值得调查，然而，数据点太少，很难重视这些明显的模式。