Padé时延输入近似

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这个例子展示了如何在控制系统理论中使用Padé近似来建模一阶系统响应中的时滞。时间延迟出现在诸如化学和运输过程等系统中，在这些系统中，输入和系统响应之间存在延迟。当这些输入被建模时，它们被称为死区输入。

这个例子使用了Symbolic Math Toolbox™来求解一阶系统的传递函数，并使用Padé近似法求出系统对死时间步长输入的响应。这个例子符号化地执行计算以获得解析结果。

介绍

Padé近似的顺序(m, n)近似函数f (x)周围 $x ＝ x_{0}$ 作为

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + {一个}_{米} （ x - x_{0} ）^{米}}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + b_{n} （ x - x_{0} ）^{n}} ．$

Padé近似是由两个幂级数的比值形成的有理函数。由于它是有理函数，所以在用极点逼近函数时比泰勒级数更精确。Padé近似是用符号数学工具箱™函数表示的pade．

当在膨胀点存在一个极点或零点时 $x ＝ x_{0}$ ，则Padé近似的准确性下降。为了提高准确性，使用Padé近似的另一种形式

$\frac{（ x - x_{0} ）^{p} （ {一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + {一个}_{米} （ x - x_{0} ）^{米} ）}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + b_{n} （ x - x_{0} ）^{n}} ．$

的pade函数将返回Padé近似函数的替代形式OrderMode输入参数相对．

求一阶系统的传递函数

一阶系统的行为可用这个微分方程来描述

$τ \frac{d y （ t ）}{d t} + y （ t ）＝一个 x （ t ）．$

在MATLAB®中输入微分方程。

信谊τ一个x (t)y (t)xS (s)y (s)H(年代)tmpF = tau*diff(y)+y = a*x;

求它的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯．

F =拉普拉斯(F, t, s)

F =
                  $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） - τ (y （ 0 ） - 年代 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ）) ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

假设系统的响应为t = 0是0．使用潜艇来代替y (0) = 0．

F =潜艇(F, y (0), 0)

F =
                  $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） + 年代 τ 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

要收集常用术语，请使用简化．

F =简化(F)

F =
                  $(年代 τ + 1) 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

为便于阅读，请替换x (t)和y (t)与xS (s)和y (s)．

F =潜艇(F,[拉普拉斯(x (t), t, s)拉普拉斯(y (t), t, s)], [x (s) y (s)))

F =
                  $y （ 年代 ） (年代 τ + 1) ＝ 一个 xS （ 年代 ）$

传递函数的拉普拉斯变换是y (s) / xS (s)．等式两边同时除以xS (s)用潜艇代替y (s) / xS (s)与H(年代)．

F = F / xS(年代);F =潜艇(F, y (s) / xS (s), H (s))

F =
                  $H （ 年代 ） (年代 τ + 1) ＝ 一个$

解方程为H(年代)．代替H(年代)用一个虚拟变量，用solve求解虚拟变量，并赋值给Hsol (s)．

F =潜艇(F、H (s), tmp);Hsol (s) =解决(F, tmp)

Hsol =
                 
                   $\frac{一个}{年代 τ + 1}$

求系统对时滞阶跃输入的响应

一阶系统的输入是一个时滞阶跃输入。若要表示阶跃输入，请使用亥维赛．将输入延迟三个时间单位。求拉普拉斯变换拉普拉斯．

Step = heaviside(t - 3);一步=拉普拉斯(步骤)

一步=
                 
                   $\frac{e^{- 3. 年代}}{年代}$

求系统的响应，它是传递函数和输入的乘积。

y = Hsol (s) *步骤

y =
                 
                   $\frac{一个 e^{- 3. 年代}}{年代 (年代 τ + 1)}$

若要绘制响应，请设置参数一个和τ特定的值。为一个和τ,选择值1和3.,分别。

Y = subs(Y，[a tau]，[1 3]);y = ilaplace (y,年代);

使用Padé近似求系统响应

找到Padé近似的顺序(2 - 2)的顺序输入参数pade．

stepPade22 = pade(步骤,“秩序”(2 - 2))

stepPade22 =
                 
                   $\frac{3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2}{2 年代 (年代 + 1)}$

通过将传递函数与输入的Padé近似值相乘，找到对输入的响应。

* stepPade22 yPade22 = Hsol(年代)

yPade22 =
                 
                   $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2)}{2 年代 (年代 τ + 1) (年代 + 1)}$

求拉普拉斯逆变换yPade22使用ilaplace．

yPade22 = ilaplace (yPade22年代)

yPade22 =
                 
                   $一个 + \frac{9 一个 e^{- 年代}}{2 τ - 2} - \frac{一个 e^{- \frac{年代}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3.)}{τ (2 τ - 2)}$

要绘制响应，需要设置参数一个和τ他们的价值观1和3.,分别。

yPade22 = subs(yPade22，[a tau]，[1 3])

yPade22 =
                 
                   $\frac{9 e^{- 年代}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{年代}{3.}}}{4} + 1$

绘制系统的响应y以及通过Padé近似计算得到的响应yPade22．

fplot (y, 20 [0])在fplot(yPade22，[0 20])网格在标题“Padé近似于死时间步进输入”传奇(“对死时间阶跃输入的响应”，'Padé approant [2 2]'，.．.“位置”，“最佳”）;

图中包含一个轴对象。标题为Padé的死时间步进输入的轴对象包含2个函数线类型的对象。这些对象表示对死时间步长输入的响应，Padé近似[2 2]。

使用OrderMode增加Padé approant的准确性

的(2 - 2)Padé近似不能很好地表示响应，因为在展开点处存在一个极点0．提高…的准确性pade当膨胀点有极点或零点时，设OrderMode输入参数，并重复上述步骤。有关详细信息,请参见pade．

stepPade22Rel = pade(步骤,“秩序”(2 - 2),“OrderMode”，“相对”）

stepPade22Rel =
                 
                   $\frac{3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4}{年代 (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

* stepPade22Rel yPade22Rel = Hsol(年代)

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4)}{年代 (年代 τ + 1) (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace (yPade22Rel);yPade22Rel = subs(yPade22Rel，[a tau]，[1 3])

yPade22Rel =
                 
                   $\frac{12 e^{- t} (因为 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ） + \frac{2 \sqrt{3.} 罪 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ）}{3.})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3.}}}{7} + 1$

fplot (yPade22Rel 20] [0,“DisplayName的”，'Relative Padé approant [2 2]'）

图中包含一个轴对象。标题为Padé的死时间步进输入的轴对象包含3个函数线类型的对象。这些对象代表对死时间步长输入的响应Padé approximation [2 2]， Relative Padé approximation[2 2]。

通过增加订单来提高Padé近似的准确性

您可以通过增加Padé近似值的顺序来提高其准确性。增加订单到5 [4]然后重复这些步骤。的n (n - 1)Padé approant更适合近似于t = 0比[n n]Pade近似值。

stepPade45 = pade(步骤,“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                 
                   $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560}{年代 (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

* stepPade45 yPade45 = Hsol(年代)

yPade45 =
                 
                   $\frac{一个 (27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560)}{年代 (年代 τ + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45，[a tau]，[1 3])

yPade45 =
                 
                   $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560}{年代 (3. 年代 + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

求拉普拉斯逆变换yPade45使用ilaplace．近似yPade45数值使用vpa．绘制从Padé近似值计算的响应yPade45．

yPade45 = vpa (ilaplace (yPade45));fplot (yPade45 20] [0,“DisplayName的”，'Padé approant [4 5]'）

图中包含一个轴对象。标题为Padé的死时间步长输入的轴对象包含4个函数线类型的对象。这些对象表示对死时间步长输入的响应，Padé approximation [2 2]， Relative Padé approximation [2 2]， Padé approximation[4 5]。

结论

提出了以下几点:

Padé近似可以模拟死时间步长输入。
Padé近似值的准确性随着近似值顺序的增加而增加。
当在膨胀点存在极点或零点时，Padé近似关于膨胀点是不准确的。为了提高近似的准确性，设置OrderMode选项相对．你也可以用增加分母相对于分子的顺序。

Padé时延输入近似

介绍

求一阶系统的传递函数

求系统对时滞阶跃输入的响应

使用Padé近似求系统响应

使用OrderMode增加Padé approant的准确性

通过增加订单来提高Padé近似的准确性

结论

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