解微分代数方程(拓扑)gydF4y2Ba

这个例子展示了如何解微分代数方程(拓扑)通过使用MATLAB®和符号数学工具箱™。gydF4y2Ba

微分代数方程涉及功能、状态变量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba]gydF4y2Ba$ 的形式gydF4y2Ba

$FgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{}^{˙gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$ 是独立的变量。方程的数量gydF4y2Ba $FgydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba},gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {FgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba}]gydF4y2Ba$ 必须匹配状态变量的数量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba,gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba]gydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

因为大多数DAE系统不适合直接输入MATLAB解决者,如gydF4y2Baode15igydF4y2Ba,首先将其转换成一个合适的形式通过使用符号数学工具箱的功能。这个功能减少了微分指数(所需的不同数量减少系统常微分方程)标志性的1或0,然后转换DAE系统数值函数处理适合MATLAB解决者。然后,使用MATLAB解决者,如gydF4y2Baode15igydF4y2Ba,gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba,或gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba解决拓扑。gydF4y2Ba

解决你DAE系统通过完成这些步骤。gydF4y2Ba

步骤1:指定方程和变量gydF4y2Ba

下面的图显示了DAE工作流通过求解一个钟摆的拓扑。gydF4y2Ba

状态变量:gydF4y2Ba

水平位置摆的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$
垂直的位置摆gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$
力阻止摆飞走gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$

的变量有:gydF4y2Ba

钟摆质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$
摆的长度gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$
引力常数gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$

DAE系统方程是:gydF4y2Ba

$\begin{array}{l} 米gydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} xgydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} =gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \frac{xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ 米gydF4y2Ba \frac{{dgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} ygydF4y2Ba}{dgydF4y2Ba {tgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} =gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \frac{ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} - - - - - -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba \\ xgydF4y2Ba {(gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba {(gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \end{array}$

指定独立变量和状态变量使用gydF4y2Ba信谊gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Bax (t)gydF4y2Bay (t)gydF4y2BaT (T)gydF4y2Ba米gydF4y2BargydF4y2BaggydF4y2Ba

指定方程用= =操作符。gydF4y2Ba

eqn1 = m * diff (x (t), 2) = = t (t) / r * x (t);eqn2 = m * diff (y (t), 2) = = t (t) / r * y (t) - m * g;eqn3 y = x (t) ^ 2 + (t) ^ 2 = = r ^ 2;命令= [eqn1 eqn2 eqn3];gydF4y2Ba

将状态变量在一个列向量。存储原始变量引用的数量。gydF4y2Ba

var = [x (t);y (t);T (T)];origVars =长度(var);gydF4y2Ba

步骤2:减少微分秩序gydF4y2Ba

2.1(可选)检查变量的发病率gydF4y2Ba

这一步是gydF4y2Ba可选gydF4y2Ba。你可以检查变量发生在DAE系统通过查看关联矩阵。这一步发现任何变量,不要发生在你输入,可以删除gydF4y2BavargydF4y2Ba向量。gydF4y2Ba

显示使用的关联矩阵gydF4y2BaincidenceMatrixgydF4y2Ba。的输出gydF4y2BaincidenceMatrixgydF4y2Ba每个方程的行和列的每个变量。因为系统有三个方程和三个状态变量,gydF4y2BaincidenceMatrixgydF4y2Ba返回一个gydF4y2Ba3gydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2Ba3gydF4y2Ba矩阵。的矩阵gydF4y2Ba1gydF4y2Ba年代和gydF4y2Ba0gydF4y2Ba年代,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba代表一个状态变量的发生。例如,gydF4y2Ba1gydF4y2Ba在适当的位置gydF4y2Ba(2、3)gydF4y2Ba意味着第二个方程包含第三个状态变量gydF4y2BaT (T)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

M = incidenceMatrix(方程式,var)gydF4y2Ba

M =gydF4y2Ba3×3gydF4y2Ba1 0 1 0 1 1 1 1 0gydF4y2Ba

如果关联矩阵的一列gydF4y2Ba0gydF4y2Ba年代,那状态变量并不发生在DAE系统和应该被删除。gydF4y2Ba

2.2降低微分阶gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba微分阶gydF4y2BaDAE系统是最高微分阶的方程。使用MATLAB解决拓扑,微分秩序必须减少gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。在这里,第一次和第二次方程的二阶导数gydF4y2Bax (t)gydF4y2Ba和gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba。因此,微分订单gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

减少系统利用一阶系统gydF4y2BareduceDifferentialOrdergydF4y2Ba。的gydF4y2BareduceDifferentialOrdergydF4y2Ba函数替代衍生品新变量,如gydF4y2BaDxt (t)gydF4y2Ba和gydF4y2BaDyt (t)gydF4y2Ba。右边的表达式gydF4y2Ba命令gydF4y2Ba是gydF4y2Ba0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

(方程式,var) = reduceDifferentialOrder(方程式,var)gydF4y2Ba

命令=gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} 米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ - - - - - -gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \\ DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

var =gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

步骤3:检查和减少微分指数gydF4y2Ba

3.1检查系统的微分指数gydF4y2Ba

检查微分指数DAE系统的使用gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba。如果该指数gydF4y2Ba0gydF4y2Ba或gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,然后gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba返回逻辑gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba3.2),你可以跳过步骤,步骤4。DAE系统转换为MATLAB函数处理。在这里,gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba返回逻辑gydF4y2Ba0gydF4y2Ba(gydF4y2Ba假gydF4y2Ba),这意味着微分指数大于gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,必须降低。gydF4y2Ba

isLowIndexDAE(方程式,var)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba逻辑gydF4y2Ba0gydF4y2Ba

3.2降低微分指数gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba

降低微分指数gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba添加新函数派生从输入方程的方程,然后替换和新变量高阶导数。如果gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba失败和问题的警告,然后使用替代函数gydF4y2BareduceDAEToODEgydF4y2Ba按照工作流程gydF4y2Ba解决半线性DAE系统gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

降低微分描述的拓扑指数gydF4y2Ba命令gydF4y2Ba和gydF4y2BavargydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[拓扑,DAEvars] = reduceDAEIndex(方程式,var)gydF4y2Ba

个标志性=gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} 米gydF4y2Ba DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ - - - - - -gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \\ DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba {DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 2gydF4y2Ba {DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {{DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {{DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba Dxt1tgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba Dxt1tgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

DAEvars =gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ {DxtgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ {DytgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ Dxt1tgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

如果gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba问题一个错误或警告,利用工作流中描述的方法gydF4y2Ba解决半线性DAE系统gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

通常,gydF4y2BareduceDAEIndexgydF4y2Ba介绍了冗余方程和变量可以被消除。消除冗余方程和变量使用gydF4y2BareduceRedundanciesgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[拓扑,DAEvars] = reduceRedundancies(拓扑,DAEvars)gydF4y2Ba

个标志性=gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} - - - - - -gydF4y2Ba \frac{TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ \frac{ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba rgydF4y2Ba 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}{rgydF4y2Ba} \\ - - - - - -gydF4y2Ba {rgydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} \\ 2gydF4y2Ba DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 2gydF4y2Ba {DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba {DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba - - - - - -gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

DAEvars =gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

检查新系统的微分指数。现在,gydF4y2BaisLowIndexDAEgydF4y2Ba返回逻辑gydF4y2Ba1gydF4y2Ba(gydF4y2Ba真正的gydF4y2Ba),这就意味着系统的微分指数gydF4y2Ba0gydF4y2Ba或gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

DAEvars isLowIndexDAE(拓扑)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba逻辑gydF4y2Ba1gydF4y2Ba

步骤4:转换DAE系统MATLAB函数处理gydF4y2Ba

此步骤创建函数处理的MATLAB ODE求解器进行求解gydF4y2Baode15igydF4y2Ba,这是一个通用的能手。使用专门的解决质量矩阵等gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba和gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba,请参阅gydF4y2Ba使用质量矩阵解决解决拓扑gydF4y2Ba和gydF4y2Ba选择一个ODE求解器gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

reduceDAEIndexgydF4y2Ba输出方程的向量gydF4y2Ba个标志性gydF4y2Ba和变量的向量gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba。使用gydF4y2Baode15igydF4y2Ba,你需要一个函数处理描述DAE系统。gydF4y2Ba

首先,方程gydF4y2Ba个标志性gydF4y2Ba可以包含符号参数中指定的不变量的向量gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba。找到这些参数使用gydF4y2BasetdiffgydF4y2Ba的输出gydF4y2BasymvargydF4y2Ba从gydF4y2Ba个标志性gydF4y2Ba和gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

pda = symvar(拓扑);pDAEvars = symvar (DAEvars);pDAEvars extraParams = setdiff (pda)gydF4y2Ba

extraParams =gydF4y2Ba
                   $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} ggydF4y2Ba & 米gydF4y2Ba & rgydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

额外的参数,您需要指定的质量gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,半径gydF4y2BargydF4y2Ba和引力常数gydF4y2BaggydF4y2Ba。gydF4y2Ba

通过使用创建的函数处理gydF4y2BadaeFunctiongydF4y2Ba。指定的额外附加符号参数作为输入参数gydF4y2BadaeFunctiongydF4y2Ba。gydF4y2Ba

f = daeFunction(拓扑,DAEvars, g、m r);gydF4y2Ba

其余的工作流是纯粹的数值。设置参数值和创建函数处理gydF4y2Baode15igydF4y2Ba。gydF4y2Ba

g = 9.81;m = 1;r = 1;F = @ (t, Y, YP) F (t、Y, YP, g、m r);gydF4y2Ba

第五步:寻找解决初始条件gydF4y2Ba

的gydF4y2Baode15igydF4y2Ba解算器需要处理所有变量初始值的功能。发现初始值,通过使用MATLAB满足方程gydF4y2BadecicgydF4y2Ba函数。gydF4y2BadecicgydF4y2Ba接受猜测(可能不满足方程)对初始条件和使用这些猜测试图找到满意的初始条件。gydF4y2BadecicgydF4y2Ba可以失败,在这种情况下,您必须手动为你的问题提供一致的初始值。gydF4y2Ba

首先,检查变量gydF4y2BaDAEvarsgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

DAEvarsgydF4y2Ba

DAEvars =gydF4y2Ba
                  
                    $(gydF4y2Ba \begin{array}{c} xgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ TgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxtgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DytgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 迪特gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ DxttgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \end{array})gydF4y2Ba$

在这里,gydF4y2BaDxt (t)gydF4y2Ba的一阶导数是吗gydF4y2Bax (t)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba迪特(t)gydF4y2Ba的二阶导数吗gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba,等等。在一个有7个变量gydF4y2Ba7gydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2Ba1gydF4y2Ba向量。因此,猜测为初始值的变量及其衍生品也必须gydF4y2Ba7gydF4y2Ba——- - - - - -gydF4y2Ba1gydF4y2Ba向量。gydF4y2Ba

假设的初始角位移摆30°或gydF4y2Baπ/ 6gydF4y2Ba,坐标的原点是悬挂点的钟摆。鉴于我们使用半径gydF4y2BargydF4y2Ba的gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,最初的水平位置gydF4y2Bax (t)gydF4y2Ba是gydF4y2Bar * sin(π/ 6)gydF4y2Ba。最初的垂直位置gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba是gydF4y2Ba- r * cos(π/ 6)gydF4y2Ba。指定这些初始值的变量向量gydF4y2Bay0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

任意设置初始值的变量及其衍生品gydF4y2Ba0gydF4y2Ba。这些都是不好的猜测。然而,他们满足这一问题。如果你的问题gydF4y2BadecicgydF4y2Ba错误,然后提供更好的猜测和参考gydF4y2BadecicgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

y0 = [r * sin(π/ 6);- r * cos(π/ 6);0;0;0;0;0);yp0est = 0 (7, 1);gydF4y2Ba

创建一个选项设置,指定数值公差数值搜索。gydF4y2Ba

选择= odeset (gydF4y2Ba“RelTol”gydF4y2Ba10.0 ^ (7),gydF4y2Ba“AbsTol”gydF4y2Ba10.0 ^ (7));gydF4y2Ba

找到一致的初始值的变量及其衍生品使用gydF4y2BadecicgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[y0, yp0] = decic (F, 0, y0, [], yp0est,[],选择)gydF4y2Ba

y0 =gydF4y2Ba7×1gydF4y2Ba0.0000 -2.2333 -4.1135 0.4771 -0.8788 -8.6214 0gydF4y2Ba

yp0 =gydF4y2Ba7×1gydF4y2Ba0.0000 0 0 0 -2.2333 0 0gydF4y2Ba

第六步:解决拓扑使用gydF4y2Ba`ode15igydF4y2Ba`

解决系统集成的时间跨度gydF4y2Ba0gydF4y2Ba≤gydF4y2BatgydF4y2Ba≤gydF4y2Ba0.5gydF4y2Ba。添加网格线和情节的传奇。gydF4y2Ba

[tSol, ySol] = ode15i (F, 0.5 [0], y0, yp0,选择);情节(tSol ySol (: 1: origVars),gydF4y2Ba“线宽”gydF4y2Ba,2)gydF4y2Ba为gydF4y2Bak = 1: origVars年代{k} = char (DAEvars (k));gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba传奇(年代,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba网格)gydF4y2Ba在gydF4y2Ba

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3线类型的对象。这些对象代表x (t), y (t)、t (t)。gydF4y2Ba

解决系统的不同参数值通过设置新值和再生处理和初始条件的函数。gydF4y2Ba

集gydF4y2BargydF4y2Ba来gydF4y2Ba2gydF4y2Ba和再生处理函数和初始条件。gydF4y2Ba

r = 2;F = @ (t, Y, YP) F (t、Y, YP, g、m r);y0 = [r * sin(π/ 6);- r * cos(π/ 6);0;0;0;0;0);[y0, yp0] = decic (F, 0, y0, [], yp0est,[],选择);gydF4y2Ba

解决系统的新的参数值。gydF4y2Ba

[tSol y] = ode15i (F, 0.5 [0], y0, yp0,选择);情节(tSol, y (: 1: origVars),gydF4y2Ba“线宽”gydF4y2Ba,2)gydF4y2Ba为gydF4y2Bak = 1: origVars年代{k} = char (DAEvars (k));gydF4y2Ba结束gydF4y2Ba传奇(年代,gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba,gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba网格)gydF4y2Ba在gydF4y2Ba