插入
随机微分方程的布朗插值
描述
例子
无细化的随机插值
许多应用程序需要在中间采样时间了解状态向量，而这在最初是不可用的。一种近似这些中间状态的方法是执行确定性插值。然而，确定性插值技术无法在这些中间时间捕获正确的概率分布。布朗(或随机)插值捕获正确的联合分布从一个有条件的高斯分布取样。这种抽样技术有时被称为布朗桥．
默认的随机插值技术被设计为插值到现有的时间序列中，并忽略新的插值状态，因为额外的信息变得可用。这种技术就是常用的插补概念，也就是所谓的插补无求精插值．
或者，插补技术可以将新的插补状态插入到后续插补所基于的现有时间序列中，从而细化后续插补时间可用的信息。这种技术叫做求精插值．
不求精的插值是一种更传统的技术，当输入序列在时间上间隔紧密时最有用。在这种情况下，不进行细化的插值是在存在缺失信息时推断数据的一种很好的技术，但不适用于外推。当输入序列在时间上间隔较宽时，带细化的插值更适用于外推。
随机插值方法适用于任何模型。然而，用常参数布朗运动过程来说明是最好的。考虑一个相关的二元布朗运动(BM)表格模型:
创建一个
bm对象来表示二元模型:Mu = [0.3;0.4);西格玛= [0.2 -0.1;0.1 - -0.2);Rho = [1 0.5;0.5 - 1];Obj = bm(mu,sigma，“相关”,ρ);假设漂移(
μ)和扩散(σ)参数的年化，模拟一个日历年(250个交易日)的每日观测的单个蒙特卡洛试验:rng默认的使输出可重复Dt = 1/250;% 1个交易日= 1/250年[X,T] =模拟(obj,250，“DeltaTime”, dt);
仔细检查一个小区间是有帮助的。
用布朗桥插值到模拟的时间序列中:
t = (t (1) + dt/2):(dt/2):(t (end) - dt/2));x =插值(obj,t, x，“次”T);绘制模拟值和插值值:
情节(T) X (: 1),“。r”T X (:, 2),“。”网格)在；持有在；情节(t) x (: 1),”或“t x (:, 2),“ob”)举行从；包含(的时间(年)) ylabel (“状态”)标题(双变量布朗运动:\rho = 0.5)轴([0.4999 0.6001 0.25 0.4])
在这幅图中:
红色和蓝色实点表示二元模型的模拟状态。
连接实点的直线表示从确定性线性插值得到的中间状态。
开圈表示插值状态。
与其他插值状态相关联的开圆，环绕与相应模拟状态相关联的实点。然而，在每个时间增量的中点的插值状态通常偏离连接每个实心点的直线。
条件高斯分布的模拟
通过将布朗桥看作条件高斯分布的蒙特卡罗模拟，您可以进一步深入了解随机插值的行为。
这个例子检查了布朗桥在单个时间增量上的行为。
除以长度的单个时间增量
dt分为10个子区间:Mu = [0.3;0.4);西格玛= [0.2 -0.1;0.1 - -0.2);Rho = [1 0.5;0.5 - 1];Obj = bm(mu,sigma，“相关”,ρ);rng默认的；使输出可重复Dt = 1/250;% 1个交易日= 1/250年[X,T] =模拟(obj,250，“DeltaTime”, dt);N = 125;%模拟状态指数接近中间times = (T(n):(dt/10):T(n + 1));nTrials = 25000;% #每次试验
在每个子区间中，从高斯分布中提取25000个独立的图，条件是左边和右边的模拟状态:
平均= 0(长度(次数)，1);方差= 0(长度(次)，1);为I = 1:长度(乘以)t =乘以(I);x = interpolate(obj,t(ones(nTrials,1))，.．.X,“次”T);Average (i) = mean(x(:，1));方差(i) = var(x(:，1));结束
绘制每个状态变量的样本均值和方差:
请注意
下图仅绘制了第一个状态变量的样本统计数据，但类似的结果适用于任何状态变量。
次要情节(2,1,1);持有在；网格在；plot([T(n) T(n + 1)]，[X(n,1) X(n + 1,1)]，“。”) plot(次数，平均值，”或“)举行从；标题(“无细化布朗桥:样本均值”) ylabel (“的意思是”)极限=轴;轴([T(n) T(n + 1)极限(3:4)]);次要情节(2,1,2)在；网格在；情节(T (n), 0,“。”T(n + 1)，0，“。”) plot(时间，方差，“。r”) (“关闭”）;标题(“无细化布朗桥:样本方差”)包含(的时间(年)) ylabel (“方差”)极限=轴;轴([T(n) T(n + 1)极限(3:4)]);
所选区间内的布朗插值，dt，说明如下:
每个状态变量的条件均值位于每个端点的原始模拟状态之间的直线段上。
每个状态变量的条件方差是一个二次函数。该函数在区间端点之间达到最大值，并且在每个端点处为零。
最大方差，尽管依赖于实际的模型扩散速率函数G (t, X)的和的方差
NBrowns相关的高斯变量按因子缩放dt / 4．
前面的图强调了没有细化的插值，因为插值的状态都没有考虑到可用的新信息。如果您使用细化执行插值，那么新的插值状态将被插入到时间序列中，并在一个接一个试验的基础上供后续插值使用。在这种情况下，任意给定插值时间的所有随机绘制都是相同的。此外，样本均值的图将表现出更大的变异性，但仍将聚集在每个端点原始模拟状态之间的直线段周围。然而，样本方差图对于所有插补次数都为零，表明没有可变性。
输入参数
输出参数
算法
该函数基于分段常数欧拉采样方法，对用户指定的时间序列数组执行布朗插值。
考虑如下形式的向量值SDE:
地点:
X是一个据nvar——- - - - - -
1状态向量。F是一个据nvar——- - - - - -
1漂移率向量值函数。G是一个据nvar——- - - - - -NBrowns扩散率矩阵值函数。
W是一个NBrowns——- - - - - -
1布朗运动向量。
给定与此方程相关的用户指定的时间序列数组，该函数通过从条件高斯分布采样来执行布朗(随机)插值。这种抽样技术有时被称为布朗桥．
请注意
与模拟方法不同的是插值函数不支持用户指定的噪声进程。金宝app
参考文献
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