正态分布
Overview
这normal distribution, sometimes called the Gaussian distribution, is a two-parameter family of curves. The usual justification for using the normal distribution for modeling is the Central Limit theorem, which states (roughly) that the sum of independent samples from any distribution with finite mean and variance converges to the normal distribution as the sample size goes to infinity.
Statistics和Machine Learning Toolbox™提供了几种处理正态分布的方法。
创建概率分布对象<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/prob.normaldistribution.html">
normalDistribution
byF一世tt一世ng a probability distribution to sample data (<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/fitdist.html">菲迪斯特
)or by specifying parameter values (<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/makedist.html">makedist
)。这n,,,,use object functions to evaluate the distribution, generate random numbers, and so on.Work with the normal distribution interactively by using theDistribution Fitter一个>应用程序。您可以从应用程序导出对象并使用对象函数。
Use distribution-specific functions (<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normcdf.html">
NORMCDF
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normpdf.html">normpdf
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/norminv.html">诺米夫
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normlike.html">normlike
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normstat.html">normstat
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normfit.html">NORMFIT
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normrnd.html">normrnd
)具有指定的分布参数。特定于分布的功能可以接受多个正常分布的参数。Use generic distribution functions (<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/prob.normaldistribution.cdf.html">
CDF
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/prob.normaldistribution.icdf.html">一世CDF
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/prob.normaldistribution.pdf.html">PDF
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/prob.normaldistribution.random.html">随机的
)with a specified distribution name ('普通的'
)一个ndp一个rameters.
参数
这normal distribution uses these parameters.
范围 | Description | 金宝app |
---|---|---|
mu (( |
Mean | |
西格玛 (( |
st一个nd一个rd deviation |
这st一个nd一个rd normal distribution has zero mean and unit standard deviation. Ifz是标准的正常σz+µ一世s一个lso normal with meanµ一个ndst一个nd一个rd deviationσ。Conversely, ifX一世snormal with meanµ一个ndst一个nd一个rd deviationσ, 然后z=(((X-µ)/σ是标准的正常。
范围Estimation
这
一个nd
是样品的样本平均值
这
To fit the normal distribution to data and find the parameter estimates, use<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normfit.html">NORMFIT
,,,,<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/fitdist.html">菲迪斯特
,,,,or<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/mle.html">mle
。
对于未经审查的数据,
NORMFIT
一个nd菲迪斯特
F一世ndthe unbiased estimates, andmle
F一世ndsthe maximum likelihood estimates.对于审查数据,
NORMFIT
,,,,菲迪斯特
,,,,一个ndmle
找到最大似然估计。
UnlikeNORMFIT
一个ndmle
,,,,which return parameter estimates,菲迪斯特
returns the fitted probability distribution object<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/prob.normaldistribution.html">normalDistribution
。这object propertiesmu
一个nd西格玛
存储参数估计。
For an example, see<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normal-distribution.html" class="intrnllnk">适合正态分布对象一个>。
Probability Density Function
这normal probability density function (pdf) is
这X
。
For an example, see<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normal-distribution.html" class="intrnllnk">Compute and Plot the Normal Distribution pdf一个>。
Cumulative Distribution Function
这normal cumulative distribution function (cdf) is
p一世sthe probability that a single observation from a normal distribution with parameters
标准的正常累积分布函数erf
。
where
For an example, see<一个href="//www.tatmou.com/ch/ch/ch/help/stats/normal-distribution.html" class="intrnllnk">Plot Standard Normal Distribution cdf一个>
Examples
适合正态分布对象
加载样本数据并创建一个包含学生考试成绩数据的第一列的向量。
加载eX一个mgrades X=grades(:,1);
Create a normal distribution object by fitting it to the data.
pd=菲迪斯特((X,,,,'普通的' )
pd=normalDistribution Normal distribution mu = 75.0083 [73.4321, 76.5846] sigma = 8.7202 [7.7391, 9.98843]
这一世ntervals next to the parameter estimates are the 95% confidence intervals for the distribution parameters.
Compute and Plot the Normal Distribution pdf
Compute the pdf of a standard normal distribution, with parameters
X=[-3:.1:3]; y = normpdf(x,0,1);
Plot the pdf.
plot(x,y)
Plot Standard Normal Distribution cdf
Create a standard normal distribution object.
PD = Makedist('普通的' )
pd=normalDistribution Normal distribution mu = 0 sigma = 1
specify theX
values and compute the cdf.
X=-3:.1:3; p = cdf(pd,x);
绘制标准正态分布的CDF。
plot(x,p)
Compare Gamma and Normal Distribution pdfs
这gamma distribution has the shape parameter
计算具有参数的伽马分布的PDF一个=100
一个ndb = 5
。
一个=100; b = 5; x = 250:750; y_gam = gampdf(x,a,b);
为了进行比较,计算γ近似的正态分布的平均值,标准偏差和PDF。
mu = a*b
MU = 500
sigma = sqrt(a*b^2)
Sigma = 50
y_norm = normpdf(x,mu,sigma);
Plot the pdfs of the gamma distribution and the normal distribution on the same figure.
plot(x,y_gam,' - ' ,x,y_norm,' - 。' )t一世tle('Gamma and Normal pdfs' )Xlabel(“观察” )ylabel('Probability Density' )legend(“伽马分布” ,,,,'Normal Distribution' )
正态分布的PDF近似于伽马分布的PDF。
正常分布和对数正态分布之间的关系
如果
Create a lognormal distribution object by specifying the parameter values.
PD = Makedist('Lognormal' ,,,,'mu' ,,,,5,'Sigma' ,,,,2)
pd=LognormalDistribution Lognormal distribution mu = 5 sigma = 2
Compute the mean of the lognormal distribution.
mean(pd)
一个ns=1。0966e+03
这mean of the lognormal distribution is not equal to themu
p一个rameter. The mean of the logarithmic values is equal tomu
。Confirm this relationship by generating random numbers.
Generate random numbers from the lognormal distribution and compute their log values.
rng('default' );% For reproducibility X=随机的((pd,,,,10000,,,,1); logx = log(x);
Compute the mean of the logarithmic values.
m = mean(logx)
M = 5.0033
这mean of the log ofX
接近mu
p一个rameter ofX
, 因为X
has a lognormal distribution.
Construct a histogram oflogx
with a normal distribution fit.
histfit((logx)
这plot shows that the log values ofX
一个re normally distributed.
histfit
uses菲迪斯特
to fit a distribution to data. Use菲迪斯特
to obtain parameters used in fitting.
pd_normal = fitdist(logx,'普通的' )
pd_normal =正常分布正常分布MU = 5.00332 [4.96445,5.04219] Sigma = 1.98296 [1.95585,2.01083]
估计正态分布参数close to the lognormal distribution parameters 5 and 2.
Compare Student'st
和正态分布PDF
t
和正态分布PDF这student’s
Compute the pdfs for the Student'snu = 5
一个ndthe Student'snu = 15
。
x = [-5:0.1:5];y1 = tpdf(x,5);y2 = tpdf(x,15);
计算标准正态分布的PDF。
z=normpdf(x,0,1);
Plot the Student's
情节(x,y1,' - 。' ,,,,X,,,,y2,,,,' - ' ,x,z,,' - ' )legend('Student''s t Distribution with \nu=5' ,,,,。。。 'Student''s t Distribution with \nu=15',,,,。。。 'Standard Normal Distribution',,,,'Location' ,,,,'best' )Xlabel(“观察” )ylabel('Probability Density' )t一世tle(“学生”的T和标准正常PDFS )
这st一个nd一个rd normal pdf has shorter tails than the Student's
相关分布
Birnbaum-Saunders Distribution一个>— If
Xhas a Birnbaum-Saunders distribution with parametersβ一个ndγ, 然后 具有标准正态分布。
Logistic Distribution一个>- 逻辑分布用于增长模型和逻辑回归。它具有比正态分布更长的尾巴和更高的峰度。
-
如果X是大小的随机样本n从平均值的正态分布μ, 然后the statistic
where
一世sthe sample mean ands一世sthe sample standard deviation, has the Student'st分配 n-1 degrees of freedom.t位置规模分布一个>— The
t与正态分布相比,位置尺度分布可用于建模具有较重的尾巴(更容易出现离群值)的数据分布。它接近正态分布作为形状参数 ν一个pproaches infinity.
References
[1] Abramowitz, M., and I. A. Stegun.Handbook of Mathematical Functions。new York: Dover, 1964.
[2] Evans,M。,N。Shastings和B. Peacock。统计分布。第二版。新泽西州霍博肯:John Wiley&Sons,Inc.,1993年。
[3] Lawless, J. F.寿命数据的统计模型和方法。Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 1982.
[4] Marsaglia, G., and W. W. Tsang. “A Fast, Easily Implemented Method for Sampling from Decreasing or Symmetric Unimodal Density Functions.”sIAM Journal on Scientific and Statistical Computing。Vol. 5, Number 2, 1984, pp. 349–359.
[5] Meeker, W. Q., and L. A. Escobar.st一个t一世st一世cal Methods for Reliability Data。Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1998.
也可以看看
normalDistribution
|NORMCDF
|normpdf
|诺米夫
|normlike
|normstat
|NORMFIT
|normrnd
|erf