通过单独的过程和测量噪声描述来识别状态空间模型-MATLAB和SIMULINK -MATHWORKS瑞士金宝app

通过单独的过程和测量噪声描述识别状态空间模型

通用模型结构

确定的线性模型用于模拟和预测给定输入和噪声信号的系统输出。在噪声信号仅通过其统计平均值和方差知道噪声信号时测量输入信号。这一般形式通常与卡尔曼过滤相关的状态空间模型是这样的模型的一个示例，被定义为：

\begin{matrix} X （（ t + 1 ） = 一个 （（ θ ） X （（ t ） + b （（ θ ） 你 （（ t ） + w （（ t ） \\ y （（ t ） = C （（ θ ） X （（ t ） + d （（ θ ） 你 （（ t ） + v （（ t ） ，，，， \end{matrix}

（1）

在哪里，时间t：

X（（t）是模型状态的向量。
你（（t）是测量的输入数据。
y（（t）是测量的输出数据。
w（（t）是过程噪声。
v（（t）是测量噪声。

噪声干扰是零均值和协方差的独立随机变量：

$\begin{matrix} e [[w （（ t ） w^{⊺} （（ t ）这是给予的 = r_{1} （（ θ ） \\ e [[v （（ t ） v^{⊺} （（ t ）这是给予的 = r_{2} （（ θ ） \\ e [[w （（ t ） v^{⊺} （（ t ）这是给予的 = r_{12} （（ θ ） \end{matrix}$

向量θ参数化模型，包括系统矩阵的系数和噪声协方差。但是，模型的所有元素不一定是免费的。如果您对系统状态和噪声源有物理洞察力，则该模型可以具有特定的结构，其中矢量中的参数很少θ。

创新形式和一步的预测指标

给定值θ，您想预测最佳估计X（（t）和y（（t）在任何干扰的情况下。所需预测模型方程源自卡尔曼过滤技术：

\begin{matrix} \hat{X} （（ t + 1 ，，，， θ ） = 一个 （（ θ ） X （（ t ） + b （（ θ ） 你 （（ t ） + k （（ θ ） [[y （（ t ） - C （（ θ ） \hat{X} （（ t ，，，， θ ） - d （（ θ ） 你 （（ t ） 这是给予的 \\ \hat{y} （（ t ，，，， θ ） = C （（ θ ） \hat{X} （（ t ） + d （（ θ ） 你 （（ t ） ，，，， \end{matrix}

（2）

在哪里 $\hat{X} （（ t ，，，， θ ）$ 是国家向量的预测值X（（t）瞬间t，和 $\hat{y} （（ t ，，，， θ ）$ 是输出的预测值y（（t）。变量你（（t）和y（（t）在上述方程式中表示时间的测量输入和输出值t。这卡尔曼获得了矩阵，k（（θ），源自系统矩阵和噪声协方差，如下：

$k （（ θ ） = [[一个（（ θ ） γ （（ θ ） C^{⊺} （（ θ ） + r_{12} （（ θ ）这是给予的 {[[C （（ θ ） γ （（ θ ） C^{⊺} （（ θ ） + r_{2} （（ θ ）这是给予的}^{- 1} ，，，，$

在哪里 $γ （（ θ ）$ 是国家估计错误的协方差：

$γ （（ θ ） = \overset{}{e} [[[[X （（ t ） - \hat{X} （（ t ，，，， θ ）这是给予的 {[[X （（ t ） - \hat{X} （（ t ，，，， θ ）这是给予的}^{⊺} 这是给予的。$

$γ （（ θ ）$ 是代数riccati方程的解。有关更多信息，请参阅敢（控制系统工具箱）和[1]

将输出预测错误表示为 $e （（ t ） = y （（ t ） - \hat{y} （（ t ，，，， θ ）$ ，您可以以更简单的形式编写通用状态空间模型：

\begin{matrix} X （（ t + 1 ，，，， θ ） = 一个 （（ θ ） X （（ t ） + b （（ θ ） 你 （（ t ） + k （（ θ ） e （（ t ） \\ y （（ t ） = C （（ θ ） X （（ t ） + d （（ θ ） 你 （（ t ） + e （（ t ） 。 \end{matrix}

（3）

这个简单的表示是创新形式国家空间模型的属性，只有一个独特的干扰源，e（（t）。此表格对应于选择r₂=我，，，，r₁₂=k，和r₁=KK^t用于通用模型结构。系统标识Toolbox™软件使用创新形式作为状态空间模型的主要表示。

模型的一般和创新形式都导致相同的预测变量模型，如图所示等式2。使用预测命令计算预测的模型响应并生成此预测器系统。

模型标识

标识任务是使用输入和输出测量数据来确定参数化向量，θ。采用方法取决于有关系统和噪声干扰的先前信息的数量。

黑匣子标识

当仅提供输入输出数据测量，并且您对噪声结构一无所知，您只能在创新形式中估算模型。为此，我们使用一步前进的预测误差最小化方法（PEM）来计算最佳输出预测指标。对于这种方法，矩阵k独立于其他系统矩阵的参数化，并且没有考虑有关系统状态或输出协方差的先前信息进行估计。估计的模型可以以许多非唯一方式归还到通用模型结构中，其中之一就是假设r₂=我，，，，r₁₂=k，和r₁=KK^t。创新形式是预测变量的系统表示e（（t）不一定代表实际测量噪声。

使用创新形式的估算状态空间模型N4SID，，，，SST，和ssregest命令。系统矩阵一个，，，，b，，，，C，，，，d，和k独立化参数化，识别将预测误差的加权规范最小化，e（（t）。有关更多信息，请参阅使用SST，SSREGEST和N4SID估算状态空间模型以及估计示例SST。

笔记

在这种情况下，估计算法任意选择模型状态。结果，很难想象对国家的身体有意义的描述以及影响它们的干扰的来源。

结构化识别

在某些情况下，除了输入输出数据外，您还对状态和测量干扰有所了解。为了使国家干扰的概念有意义，必须有明确定义的状态，例如机械集体质量系统中的位置和速度。定义明确的状态和已知噪声源导致结构化的状态空间模型，然后您可以使用该模型使用该模型的一般模型结构等式1。

要识别此类模型，请使用灰色框建模方法，该方法使您可以使用有关系统参数和噪声协方差的任何先验知识。例如，您可能只知道r₁是非零的，或所有的违约项r₂为零。使用Grey-Box建模时，为参数化向量提供初始猜测值，θ。如果模型状态在物理上有意义，则应确定参数的初始估计值θ。

估计具有参数化干扰的灰色盒模型：

创建一个MATLAB^®函数，称为ode文件，：
- 计算参数化状态空间矩阵，一个，，，，b，，，，C，和d，使用参数向量θ，作为输入参数提供。
- 计算噪声协方差矩阵r₁，，，，r₂，和r₁₂。这些矩阵中的每一个都可以完全或部分未知。任何未知的矩阵元素都是根据参数定义的θ。
- 使用系统矩阵一个和C，以及与卡尔曼（控制系统工具箱）命令找到卡尔曼获得矩阵，k。
  [〜，k] = kalman（ss（a，eye（nx），c，zeros（ny，nx），ts），r1，r2，r12）;
  这里，nx是模型状态的数量，纽约是模型输出的数量，并且TS是样本时间。这卡尔曼命令需要控制系统工具箱™软件。
- 返回一个，，，，b，，，，C，，，，d，和k作为输出参数。
创建一个艾德格里使用ode函数的模型和参数向量的初始猜测值，θ。
使用格雷斯蒂翁命令。
估计θ使用灰色命令。