利用迭代求解器平衡具有较大条件数的矩阵，提高线性系统求解的效率和稳定性巨磁电阻．

加载west0479矩阵，这是一个实值479 × 479的稀疏矩阵。使用气孔导度计算矩阵的估计条件数。

负载west0479A = west0479;c = condest(A)

C1 = 1.4244e+12

试着解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用巨磁电阻迭代450次，公差为1 e-11．指定五个输出，以便巨磁电阻在每次迭代中返回解决方案的剩余规范(使用～抑制不需要的输出)。在半对数图中绘制剩余规范。图表显示巨磁电阻是否能够达到合理的残差范数，因此计算解为 $\mathit{x}$不可靠。

b = ones(size(A,1)，1);Tol = 1e-11;Maxit = 450;[x,flx，~，~，rvx] = gmres(A,b，[]，tol,maxit);semilogy (rvx)标题(“每次迭代的剩余范数”）

使用平衡调整排列和重新调整一个．创建一个新矩阵B = r * p * a * c，它有更好的条件数，对角线项只有1和-1。

[P,R,C] =平衡(A);B = r * p * a * c;c2 = condest(B)

C2 = 5.1036e+04

使用返回的输出平衡，你可以重新阐述这个问题 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$成 $\mathrm{通过}＝\mathit{d}$,在那里 $\mathit{B}＝\mathrm{RPAC}$而且 $\mathit{d}＝\mathrm{反应器}$．在这种形式下，您可以将解决方案恢复到原始系统 $\mathit{x}＝\mathrm{Cy}$．然而，恢复的解决方案可能没有原始系统所需的残余误差。看到求解线性系统的尺度变换获取详细信息。

使用巨磁电阻来解决 $\mathrm{通过}＝\mathit{d}$为 $\mathit{y}$，然后在每次迭代中重新绘制剩余范数。该图表明，平衡矩阵提高了问题的稳定性，与巨磁电阻收敛到的期望公差1 e-11在不到200次迭代中。

d = R*P*b;[y,fly，~，~，rvy] = gmres(B,d，[]，tol,maxit);持有在semilogy (rvy)传说(“原始”，“均衡”，“位置”，“东南”)标题(“相对残差规范(无前置条件)”)举行从

semilogy (rvy)在[L1,U1] = ilu(B,struct(“类型”，“ilutp”，“droptol”1 e 1,“打”, 0));[yp1 flyp1, ~, ~, rvyp1] = gmr (B, d,[],托尔,麦克斯特,L1, U1);semilogy(rvyp1) [L2,U2] = ilu(B,struct(“类型”，“ilutp”，“droptol”1飞行,“打”, 0));[yp2 flyp2, ~, ~, rvyp2] = gmr (B, d,[],托尔,麦克斯特,L2, U2);semilogy (rvyp2)传说(“没有预调节器”，“ILUTP (1 e 1)”，“ILUTP(1依照)”)标题(ILU预处理的相对残差范数(平衡))举行从

创建一个6乘6的魔法方阵，然后使用平衡对矩阵进行因式分解。默认情况下,平衡以矩阵形式返回排列因子和比例因子。

A =魔术(6)

一个=6×635 16 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11

[P,R,C] =平衡(A)

P =6×60 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

R =6×60.1852 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1749 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1909 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1588 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1793 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1966

C =6×60.1799 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1588 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1588 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2422 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2066 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2035

构造平衡矩阵Bmatrix使用矩阵因子P，R,C．

Bmatrix = R*P*A*C

Bmatrix =6×61.0000 0.1471 1.0000 0.5385 0.5358 0.6031 0.1259 1.0000 0.8056 0.5509 0.6506 0.3916 0.2747 0.8485 1.0000 0.7859 0.3943 0.5825 1.0000 0.0252 0.1513 1.0000 0.6233 0.7754 1.0000 0.2562 0.0569 0.9553 1.0000 0.7295 0.1061 0.9988 0.2185 1.0000 0.9341 1.0000

现在，指定“向量”选项以矢量形式返回输出。对于较大的输入矩阵，将输出作为向量返回可以节省内存并提高效率。

[p,r,c] =平衡(A，“向量”）

p =6×15 6 4 1 3 2

r =6×10.1852 0.1749 0.1909 0.1588 0.1793 0.1966

c =6×10.1799 0.1588 0.1588 0.2422 0.2066 0.2035

构造平衡矩阵Bvector使用矢量输出p，r,c．

Bvector = r.*A(p，:).*c'

Bvector =6×61.0000 0.1471 1.0000 0.5385 0.5358 0.6031 0.1259 1.0000 0.8056 0.5509 0.6506 0.3916 0.2747 0.8485 1.0000 0.7859 0.3943 0.5825 1.0000 0.0252 0.1513 1.0000 0.6233 0.7754 1.0000 0.2562 0.0569 0.9553 1.0000 0.7295 0.1061 0.9988 0.2185 1.0000 0.9341 1.0000

比较Bvector而且Bmatrix．结果表明两者相等。

范数(Bmatrix - Bvector)

Ans = 0