求解一个方形线性方程组巨磁电阻使用默认设置，然后调整解决过程中使用的公差和迭代次数。

创建一个随机稀疏矩阵一个主对角线上有50%的密度和非零。也可以创建一个随机向量b的右边 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$．

rng默认的A = sprandn(400,400,0.5) + 12*speye(400);B = rand(400,1);

解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$使用巨磁电阻．输出显示包括相对残余误差的值 $\frac{\Vert \mathit{b}-\mathrm{斧头}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$．

x = gmres(A,b);

Gmres在迭代10时停止，没有收敛到期望的公差1e-06，因为达到了最大迭代次数。返回的迭代(编号10)有相对残差0.35。

默认情况下巨磁电阻使用10次迭代，公差为1 e-6，该算法无法在该矩阵的这10次迭代中收敛。由于残差仍然很大，这是一个很好的指标，表明需要更多的迭代(或预处理矩阵)。您还可以使用更大的公差，使算法更容易收敛。

再用一个容差解系统1的军医100次迭代。

Tol = 1e-4;Maxit = 100;x = gmres(A,b，[]，tol,maxit);

Gmres在迭代100处停止，没有收敛到期望的公差0.0001，因为达到了最大迭代次数。返回的迭代(数字100)的相对残差为0.0045。

即使有更宽松的公差和更多的迭代，残余误差的改善也不足以实现收敛。当迭代算法以这种方式停滞时，这是一个很好的迹象，表明需要一个预处理矩阵。然而,巨磁电阻也有一个控制内部迭代次数的输入。通过为内部迭代指定一个值，巨磁电阻每次外部迭代做更多的工作。

再次用a解方程组重新启动值为100和a麦克斯特值为20。与其一次迭代100次，巨磁电阻在重新启动之间执行100次迭代，并重复此操作20次。

重启= 100;Maxit = 20;x = gmres(A,b,restart,tol,maxit);

Gmres(100)在外部迭代2(内部迭代75)收敛到具有相对残差9.3e-05的解。

在本例中，为指定一个较大的重启值巨磁电阻使它在允许的迭代次数内收敛到解决方案。但是，大的重启值可能会消耗大量内存一个也很大。

检查使用非重启的预处理矩阵的效果巨磁电阻解一个线性方程组。

加载west0479，一个真实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479A = west0479;

定义b这才是真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$都是1的向量。

b = sum(A,2);

设置公差和最大迭代次数。

Tol = 1e-12;Maxit = 20;

使用巨磁电阻在要求的公差和迭代次数上找到解决方案。指定五个输出以返回关于解决方案过程的信息:

[x,fl0,rr0,it0,rv0] = gmres(A,b，[]，tol,maxit);fl0

Fl0 = 1

rr0

Rr0 = 0.7603

it0

it0 =1×21 20

fl0是1因为巨磁电阻不收敛到要求的公差1 e-12在请求的20次迭代中。最好的近似解是巨磁电阻返回的是最后一个(由It0 (2) = 20)．MATLAB将残差历史存储在rv0．

为了帮助处理缓慢的收敛，您可以指定一个预处理矩阵。自一个是非对称的，用ilu生成前置条件 $\mathit{米}＝\mathit{l}\mathit{U}$．指定一个落差公差以忽略值小于的非对角线项1 e-6．解预条件方程组 ${\mathit{米}}^{-1}\mathit{一个}\mathit{x}＝{\mathit{米}}^{-1}\mathit{b}$通过指定l而且U作为输入巨磁电阻．请注意，在指定预处理条件时，巨磁电阻为输出计算预条件系统的剩余范数rr1而且rv1．

[L,U] = ilu(A,struct(“类型”，“ilutp”，“droptol”, 1 e-6));(x1, fl1 rr1、it1 rv1] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特,L, U);fl1

Fl1 = 0

rr1

Rr1 = 1.3557e-13

it1

it1 =1×21 - 6

使用ilu预调理剂产生的相对残留小于规定的容差1 e-12在第六次迭代中。第一个余项rv1 (1)是规范(U \ \ b (L)),在那里M = l * u．最后的残余rv1(结束)是规范(U \ (L \ (b * x1)))．

你可以跟随的进度巨磁电阻通过绘制每次迭代的相对残差。用指定公差的一条线绘制每个溶液的残留历史。

semilogy(0:长度(rv0) 1, rv0 /规范(b),“o”)举行在semilogy(0:长度(rv1) 1, rv1 /规范(U \ \ b (L))“o”) yline(托尔,“r——”）;传奇(“没有预调节器”，ILU预处理的，“宽容”，“位置”，“东”)包含(的迭代次数) ylabel (的相对剩余的）

使用重新启动的预调节器巨磁电阻．

加载west0479，一个真实的479 × 479非对称稀疏矩阵。

负载west0479A = west0479;

定义b这才是真正的解 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$都是1的向量。

b = sum(A,2);

构造一个降容为的不完全LU预处理器1 e-6．

[L,U] = ilu(A,struct(“类型”，“ilutp”，“droptol”, 1 e-6));

使用重启的好处巨磁电阻是限制执行方法所需的内存量。没有重启,巨磁电阻需要麦克斯特存储的向量来保留克雷洛夫子空间的基。同时,巨磁电阻必须在每一步都与之前的所有向量正交。重新启动将限制每次外部迭代所使用的工作区数量和完成的工作量。

执行gmr (3)，gmr (4),gmr (5)使用不完全LU因子作为预处理因子。使用的公差1 e-12以及最多20个外部迭代。

Tol = 1e-12;Maxit = 20;[x3, fl3 rr3、it3 rv3] = gmr (A, b, 3,托尔,麦克斯特,L, U);[x4, fl4 rr4、it4 rv4] = gmr (A, b, 4,托尔,麦克斯特,L, U);[x5, fl5 rr5、it5 rv5] = gmr (A, b, 5,托尔,麦克斯特,L, U);fl3

Fl3 = 0

fl4

Fl4 = 0

fl5

Fl5 = 0

fl3，fl4,fl5都是0，因为在每个情况下重新启动巨磁电阻驱动相对残差小于规定的公差1 e-12．

下图显示了每次重启的收敛历史巨磁电阻方法。gmr (3)收敛于外部迭代5，内部迭代3 (It3 = [5,3])，与外部迭代6，内部迭代0相同，因此在最后的刻度上标记6。

semilogy (1:1/3:6 rv3 /规范(U \ \ b (L))“o”）;H1 = gca;h1。XTick = (1:6);标题('gmres(N) for N = 3,4,5 ')包含(“外部迭代数”）;ylabel (的相对剩余的）;持有在semilogy (1:1/4:3 rv4 /规范(U \ \ b (L))“o”）;semilogy (1:1/5:2.8 rv5 /规范(U \ \ b (L))“o”）;yline(托尔,“r——”）;持有从传奇(的巨磁电阻(3)的，“巨磁电阻(4)”，“巨磁电阻(5)”，“宽容”网格)在

一般来说，内部迭代次数越多，工作就越多巨磁电阻每次外部迭代，它收敛得就越快。

检查供给的效果巨磁电阻对解的初步猜测。

创建一个三对角稀疏矩阵。用每一行的和作为右边的向量 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$这就是期望的解 $\mathit{x}$是1的向量。

N = 900;E = ones(n,1);A = spdigs ([e 2*e]，-1:1,n,n);b = sum(A,2);

使用巨磁电阻来解决 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$两次:一次是默认的初始猜测，另一次是正确的初始猜测。对两个解决方案都使用200次迭代和默认容差。金宝搏官方网站将第二个解中的初始猜测指定为所有元素都等于的向量0.99．

Maxit = 200;x1 = gmres(A,b，[]，[]，maxit);

Gmres在迭代27时收敛到相对残差为9.5e-07的解。

X0 = 0.99*e;x2 = gmres(A,b，[]，[]，maxit，[]，[]，x0);

Gmres在迭代7收敛到相对残差为6.7e-07的解。

在这种情况下，提供一个初始猜测是可行的巨磁电阻收敛:更快地收敛

x0 = 0 (size(A,2)，1);Tol = 1e-8;Maxit = 100;为k = 1:4 [x,国旗,relres] = gmr (A, b,[],托尔,麦克斯特,[],[],x0);X(:，k) = X;R(k) = relres;X0 = x;结束

求解一个线性方程组巨磁电阻使用一个函数句柄进行计算* x代替系数矩阵一个．

其中一个威尔金森检验矩阵由画廊是一个21 × 21的三对角矩阵。预览矩阵。

画廊(“wilk”, 21)

一个=21日×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵有一个特殊的结构，所以你可以表示这个运算* x使用函数句柄。当一个乘以一个向量，结果向量中的大部分元素都是零。结果中的非零元素对应于的非零三对角元素一个．而且，只有主对角线有不等于1的非零。

表达式 $\mathrm{斧头}$就变成:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& 5& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3.& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}］［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_1\\ {\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_4\\ {\mathit{x}}_5\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{x}}_{21}\end{array}］＝［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］$．

得到的向量可以写成三个向量的和:

$\mathrm{斧头}＝［\begin{array}{c}0+10{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2\\ {\mathit{x}}_1+9{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_{3.}\\ {\mathit{x}}_2+8{\mathit{x}}_{3.}+{\mathit{x}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{19}+9{\mathit{x}}_{20.}+{\mathit{x}}_{21}\\ {\mathit{x}}_{20.}+10{\mathit{x}}_{21}+0\end{array}］$＝ $［\begin{array}{c}0\\ {\mathit{x}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{20.}\end{array}］+［\begin{array}{c}10{\mathit{x}}_1\\ 9{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{x}}_{21}\end{array}］+［\begin{array}{c}{\mathit{x}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{x}}_{21}\\ 0\end{array}］$．

在MATLAB®中，编写一个函数来创建这些向量并将它们相加，从而给出的值* x：

函数Y = [0];x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束

(该函数在示例末尾保存为本地函数。)

现在求解线性方程组 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$通过提供巨磁电阻使用函数句柄进行计算* x．使用的公差1 e-12， 15个外部迭代，10个内部迭代。

B = ones(21,1);Tol = 1e-12;Maxit = 15;重启= 10;X1 = gmres(@afun,b,restart,tol,maxit)

Gmres(10)在外部迭代5(内部迭代10)收敛到相对残差为5.3e-13的解。

x1 =21日×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000

检查afun (x1)生成一个1的向量。

afun (x1)

ans =21日×11.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000 - 1.0000

函数Y = [0];x (1:20)] +.．.[(10: 1:0) ';(1:10) ']。* x +.．.[x (21);0);结束