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pchip

分段立方Hermite插值多项式（PCHIP）

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句法

p = pchip（x，y，xq）
页= pchip (x, y)

描述

例子

P.= pchip (X那y那xq的）返回一个包含插值值的向量P.对应的查询点xq．的值P.是由保持形状的分段三次插值的X和y．

例子

页= pchip (X那y的）返回分段多项式结构以供使用ppval和样条效用unmkpp．

例子

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比较产生的插值结果花键那pchip， 和mak对于两个不同的数据集。这些功能都执行不同形式的分段立方Hermite插值。当底层数据具有平坦的区域或起伏时，每个功能都与其计算间隔的斜率的不同之处。

将插值结果与连接平面区域连接的样本数据进行比较。创建向量X这些点上的函数值y、查询点xq．使用查询点计算插值花键那pchip， 和mak．在查询点绘制内插函数值以进行比较。

x =三3;Y = [-1 -1 - 0 1 1 1];xq1 = 3: .01:3;p = pchip (x, y, xq1);s =花键(x, y, xq1);m = makima (x, y, xq1);绘图（x，y，“o”，xq1，p，' - '，xq1，s，' - 。'，xq1，m，' - ')传说('样本点'那“pchip”那样条的那“makima”那'地点'那'东南'的）

图中包含一个轴对象。轴对象包含4个类型为line的对象。这些对象代表样本点，pchip，样条，makima。

在这种情况下,pchip和mak具有类似的行为，因为它们避免过冲，可以准确地连接平面区域。

使用振荡样本功能执行第二个比较。

x = 0:15;y = besselj (1, x);xq2 = 0:0.01:15;p = pchip (x, y, xq2);s =花键(x, y, xq2);m = makima (x, y, xq2);绘图（x，y，“o”，xq2，p，' - '，xq2，s，' - 。'，xq2，m，' - ')传说('样本点'那“pchip”那样条的那“makima”的）

图中包含一个轴对象。轴对象包含4个类型为line的对象。这些对象代表样本点，pchip，样条，makima。

当基础函数是振荡的，花键和mak捕捉点之间的移动比pchip，这在局部极值附近积极平坦化。

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创建向量X值和函数值y，然后使用pchip构造一个分段多项式结构。

x = 5;Y = [1 1 1 1 0 0 1 2 2 2];p = pchip (x, y);

使用结构ppval评估几个查询点的插值。绘制结果。

XQ = -5：0.2：5;pp = ppval（p，xq）;绘图（x，y，“o”xq, pp、' - 。') ylim ([-0.2 - 2.2])

图中包含一个轴对象。轴对象包含2个类型的物体。

输入参数

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采样点，指定为向量。向量X指定数据的点y给出。元素X必须是唯一的。

数据类型:单|双

采样点上的函数值，指定为数字向量、矩阵或数组。X和y长度必须相同。

如果y是一个矩阵或数组，那么最后一个维度中的值，y(::,…,j)，作为要匹配的值X．在这种情况下，最后一系列y必须与X．

数据类型:单|双

查询点，指定为标量，矢量，矩阵或数组。指定的点xq是X- 用于内插函数值的控制yq计算pchip．

数据类型:单|双

输出参数

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查询点上的插值值，以标量、向量、矩阵或数组的形式返回。的大小P.与大小有关y和xq：

  • 如果y是一个矢量，然后P.有相同的尺寸xq．

  • 如果y数组是否有大小纽约=大小(y)，则适用以下条件:

    • 如果xq是标量或矢量，然后尺寸（p）回报纽约(1:end-1)长度(xq)]．

    • 如果xq是一个数组吗尺寸（p）回报[ny（1：end-1）尺寸（xq）．

分段多项式，作为结构返回。使用这种结构ppval函数对一个或多个查询点的插值多项式求值。结构有这些字段。

场地 描述
形式

'pp'为了分段多项式
休息时间

长度矢量L + 1严格增加元素，代表每个的开始和结束L.间隔
COEFS.

L.——- - - - - -K.每一行的矩阵系数(我,:)含有一阶局部系数的K.多项式的一世间隔，[休息(我),优惠(i + 1)
块

件数，L.
命令

多项式的顺序
暗淡

维度的目标

由于多项式系数COEFS.是每个区间的局部系数，你必须减去对应的结区间的下端点才能使用传统多项式方程中的系数。换句话说，对于系数[A B C D]在间隔上(x1, x2)，相应的多项式是

F （ X 的） = 一种 （ X − X 1 的） 3. + B. （ X − X 1 的） 2 + C （ X − X 1 的） + D. ．

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保持形状的分段三次插值

pchip使用分段三次多项式进行插值 P. （ X 的） 有这些属性：

  • 在每个子宫内 X K. ≤ X ≤ X K. + 1 的多项式 P. （ X 的） 是一个立方Hermite插值多项式，用于在插值点处具有指定衍生物（斜坡）的给定数据点。

  • P. （ X 的） 篡改y,也就是说, P. （ X j 的） = y j ，和一阶导数 D. P. D. X 是连续的。二阶导数 D. 2 P. D. X 2 大概不是连续的，所以跳在 X j 是可能的。

  • 立方interpolant P. （ X 的） 是形状保存。斜坡 X j 被选中这样 P. （ X 的） 保留数据的形状并尊重单调性。因此，在数据单调的间隔内，所以是 P. （ X 的） ，在数据有局部极值的点上也有 P. （ X 的） ．

笔记

如果y是一个矩阵， P. （ X 的） 满足每一行的这些性质y．

提示

  • 花键构造 S. （ X 的） 以几乎相同的方式pchip构造 P. （ X 的） ．然而，花键选择斜率在 X j 不同的是，就是扯平 S. “ （ X 的） 连续。这种差异有几个效果：

    • 花键产生更平滑的结果，这样 S. “ （ X 的） 是连续的。

    • 花键如果数据包含平滑函数的值，则产生更准确的结果。

    • pchip如果数据不顺畅，则没有过冲和振荡较少。

    • pchip更便宜的设置。

    • 这两种方法的计算成本是相同的。

参考文献

F. N.弗里奇和R. E.卡尔森。单调分段三次插值。暹罗杂志论数值分析．卷。1980年，第238-246页。

[2] Kahaner，David，Clever Moler，Stephen Nash。数值方法与软件．上部马鞍河，NJ：Prentice Hall，1988年。

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