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fsolve

求解非线性方程组

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语法

x0, x = fsolve(有趣)
x = fsolve(有趣,x0,选项)
x=F解决（问题）
[x, fval] = fsolve (＿＿＿）
[x, fval exitflag,输出]= fsolve (＿＿＿）
雅可比矩阵[x, fval exitflag、输出]= fsolve (＿＿＿）

描述

非线性系统解算器

解决指定的问题

F（x) = 0

对于x,在那里F（x)是一个返回向量值的函数。

x是向量或矩阵；看见矩阵参数．

例子

x= fsolve (享乐，x0）开始于x0试着解方程有趣的(x) =0，一个零数组。

请注意

传递额外的参数说明如何向向量函数传递额外参数乐趣（x），如有需要。看见求解参数化方程．

例子

x= fsolve (享乐，x0，选项）用中指定的优化选项求解方程选项．使用optimoptions设置这些选项。

例子

x= fsolve (问题）解决了问题，中描述的结构问题．

例子

［x，未来值) = fsolve (＿＿＿），对于任何语法，返回目标函数的值享乐在解决方案x．

例子

［x，未来值，exitflag，输出) = fsolve (＿＿＿）另外返回一个值exitflag的退出条件fsolve，以及一个结构输出关于优化过程的信息。

［x，未来值，exitflag，输出，雅可比) = fsolve (＿＿＿）返回的雅可比矩阵享乐在解决方案x．

例子

全部崩溃

打开脚本

这个例子展示了如何在两个变量中求解两个非线性方程。方程是

c数组$ $ \开始{}{}& # xA; {e ^ {- {e ^ {({x_1} + {x_2 })}}}} = { 左(x_2} \ {1 + x_1 ^ 2} \) \ \ & # xA; {x_1} \因为\离开({{x_2}} \右)+ {x_2} \罪\离开({{x_1}} \右)= \压裂{1}{2}# xA;公司\{数组}$ $

把方程转换成这种形式$F（x）=\bf{0}$．

$$\begin{array}{c} ；{e^{-{e^{-（{x_1}+{x_2}}}}-{x_2}\左（{1+x_1^2}\右）=0\\ ；{x_1}\cos\left（{x_2}\right）+{x_2}\sin\left（{x_1}\right） ；-\分形{1}{2}=0\结束{array}$$

写一个函数来计算这两个方程的左边。

函数F=root2d（x）F（1）=exp（-exp（-（x（1）+x（2）））-x（2）*（1+x（1）^2）；2（x）（x）x（x）x（x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x（x）x）x（x）x）x（x）x）x（x）；

将此代码保存为一个名为root2d.m在您的MATLAB®路径上。

从点开始解方程组[0,0]．

有趣= @root2d;x0 = (0,0);x0, x = fsolve(有趣)
方程解决。Fsolve完成了，因为函数值的向量接近零(通过函数容差值测量)，并且问题出现了规则(通过梯度测量)。X = 0.3532 0.6061
打开脚本

考察一个非线性系统的解过程。

设置选项为不显示，并设置显示一阶最优性的plot函数，该函数在算法迭代时应收敛为0。

选择= optimoptions (“fsolve”，“显示”，“没有”，“PlotFcn”, @optimplotfirstorderopt);

非线性方程组的方程为

c数组$ $ \开始{}{}& # xA; {e ^ {- {e ^ {({x_1} + {x_2 })}}}} = { 左(x_2} \ {1 + x_1 ^ 2} \) \ \ & # xA; {x_1} \因为\离开({{x_2}} \右)+ {x_2} \罪\离开({{x_1}} \右)= \压裂{1}{2}# xA;公司\{数组}$ $

把方程转换成这种形式$F（x）=\bf{0}$．

$$\begin{array}{c} ；{e^{-{e^{-（{x_1}+{x_2}}}}-{x_2}\左（{1+x_1^2}\右）=0\\ ；{x_1}\cos\left（{x_2}\right）+{x_2}\sin\left（{x_1}\right） ；-\分形{1}{2}=0\结束{array}$$

写一个函数来计算这两个方程的左边。

函数F=root2d（x）F（1）=exp（-exp（-（x（1）+x（2）））-x（2）*（1+x（1）^2）；2（x）（x）x（x）x（x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x（x）x）x（x）x）x（x）x）x（x）；

将此代码保存为一个名为root2d.m在您的MATLAB®路径上。

从这一点开始求解非线性方程组[0,0]并观察解决过程。

有趣= @root2d;x0 = (0,0);x = fsolve(有趣,x0,选项)
X = 0.3532 0.6061

打开实时脚本

您可以按照主题中描述的方式对方程进行参数化传递额外的参数. 例如paramfun辅助函数在这个例子到此结束创建以下由参数化的方程式系统 c ：

2 x 1 + x 2 ＝ 经验值 （ c x 1 ） - x 1 + 2 x 2 ＝ 经验值 （ c x 2 ） ．

在这种情况下，要解决系统的特定值 c ＝ - 1 ,设置 c 并在中创建匿名函数x从paramfun．

c = 1;有趣= @ (x) paramfun (x, c);

从根本上解决系统问题X0 = [0 1]．

x0=[01]；x=F解（乐趣，x0）
方程解决。Fsolve完成了，因为函数值的向量接近零(通过函数容差值测量)，并且问题出现了规则(通过梯度测量)。
x=1×20.1976 0.4255

求解的不同值 c ,输入 c ，并创建享乐函数，所以它有新的 c 价值。

c = 2;有趣= @ (x) paramfun (x, c);% fun现在有了新的c值x0, x = fsolve(有趣)
方程解决。Fsolve完成了，因为函数值的向量接近零(通过函数容差值测量)，并且问题出现了规则(通过梯度测量)。
x=1×20.1788 - 0.3418

Helper函数

此代码创建paramfunhelper函数。

函数F=paramfun（x，c）F=[2*x（1）+x（2）-exp（c*x（1））-x（1）+2*x（2）-exp（c*x（2））]；结束
打开脚本

创建一个问题结构fsolve解决问题。

解决相同的问题带有非默认选项的解决方案，而是用问题结构来表述问题。

设置不显示问题的选项和显示一阶最优性的绘图函数，该函数应在算法迭代时收敛为0。

problem.options=options(“fsolve”，“显示”，“没有”，“PlotFcn”, @optimplotfirstorderopt);

非线性方程组的方程为

c数组$ $ \开始{}{}& # xA; {e ^ {- {e ^ {({x_1} + {x_2 })}}}} = { 左(x_2} \ {1 + x_1 ^ 2} \) \ \ & # xA; {x_1} \因为\离开({{x_2}} \右)+ {x_2} \罪\离开({{x_1}} \右)= \压裂{1}{2}# xA;公司\{数组}$ $

把方程转换成这种形式$F（x）=\bf{0}$．

$$\begin{array}{c} ；{e^{-{e^{-（{x_1}+{x_2}}}}-{x_2}\左（{1+x_1^2}\右）=0\\ ；{x_1}\cos\left（{x_2}\right）+{x_2}\sin\left（{x_1}\right） ；-\分形{1}{2}=0\结束{array}$$

写一个函数来计算这两个方程的左边。

函数F=root2d（x）F（1）=exp（-exp（-（x（1）+x（2）））-x（2）*（1+x（1）^2）；2（x）（x）x（x）x（x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x）x（x）x（x）x（x）x）x（x）x）x（x）x）x（x）；

将此代码保存为一个名为root2d.m在您的MATLAB®路径上。

在问题结构中创建其余字段。

problem.objective=@root2d；problem.x0=[0,0]；problem.solver=“fsolve”；

解决这个问题。

x=F解决（问题）
X = 0.3532 0.6061

打开实时脚本

此示例返回迭代显示，显示两个方程和两个未知数组成的系统的求解过程

2 x 1 - x 2 ＝ e - x 1 - x 1 + 2 x 2 ＝ e - x 2 ．

将方程式改写为 F （ x ） ＝ 0 ：

2 x 1 - x 2 - e - x 1 ＝ 0 - x 1 + 2 x 2 - e - x 2 ＝ 0 ．

从以下位置开始搜索解决方案：X0 = [-5 -5]．

首先，编写一个计算函数F，在x．

F = @(x) [2*x(1) -x(2) - exp(-x(1));-x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];

创建初始点x0．

x0 = (5; 5);

设置选项以返回迭代显示。

选择= optimoptions (“fsolve”，“显示”，“通路”）;

解的方程。

[x，fval]=fsolve（F，x0，选项）
一阶规范信赖域迭代Func-count f (x)最优步半径0 3 47071.2 - 2.29 e + 04年1 1 6 12003.4 - 1 5.75 e + 03年1 2 9 3147.02 1.47 e + 03 1 3 12 239.527 854.452 1 388 1 4 15 1 107 1 5 18 67.0412 30.8 1 6 21 16.7042 9.05 1 7 24 0.032658 2.42788 2.26 1 8 27 e-06 0.111927 0.00294 2.5 7.03149 0.759511 0.206 2.5 9 30 10 332.5方程已解。Fsolve完成了，因为函数值的向量接近零(通过函数容差值测量)，并且问题出现了规则(通过梯度测量)。
x=2×10.5671 0.5671
fval =2×110-6× -0.4059 -0.4059

迭代显示显示f (x)，即函数范数的平方F（x）. 随着迭代的进行，该值减小到接近零。随着迭代的进行，一阶最优性度量同样会减少到接近零。这些条目显示迭代收敛到解决方案。有关其他条目的含义，请参见迭代显示．

的未来值输出给出函数值F（x），它在一个解(到功能公差公差)。

打开实时脚本

找到一个矩阵 X 满足

X ＊ X ＊ X ＝ ［ 1 2 3. 4 ］ ，

从点开始x0=[1,1；1,1].创建一个匿名函数，用于计算矩阵方程并创建点x0．

乐趣=@（x）x*x*x-[1,2；3,4]；x0=一（2）；

将选项设置为没有显示。

选择= optimoptions (“fsolve”，“显示”，“关闭”）;

检查fsolve输出以查看解决方案的质量和过程。

[x, fval exitflag、输出]= fsolve(有趣,x0,选项)
x=2×20.1291 0.8602 1.2903 1.1612
fval =2×210-9× -0.1618 0.0778 0.1160 -0.0474
exitflag=1
输出=结构体字段:firstderopt: 2.4095e-10 message: '…'

exit标志值为1表示该解决方案是可靠的。为了手动验证这一点，计算残差(fval的平方和)，看看它离零有多近。

sum (sum (fval。* fval))
ans=4.7957e-20

这个小的残差证实了这一点x这是一个解决办法。

你可以在地图上看到输出构造多少次迭代和函数求值fsolve执行以找到解决方案。

输入参数

全部崩溃

要解的非线性方程，指定为函数句柄或函数名。享乐是一个接受向量的函数吗x返回一个向量F时，非线性方程在x．要解的方程是F= 0的所有组件F．这个函数享乐可以指定为一个文件的函数句柄

x = fsolve (x0 @myfun)

在哪里我的乐趣MATLAB是一种®等功能

函数F = myfun(x．．.%计算函数在x处的值

享乐也可以是匿名函数的函数句柄。

x = fsolve (@ (x) sin (x) * x), x0);

fsolve通行证x以目标函数的形式x0论点。例如,如果x0是5乘3的数组吗fsolve通行证x到享乐作为一个5乘3的数组。

如果还可以计算雅可比矩阵和的“SpecificyObjectiveGradient”选择是符合事实的设定的,

选择= optimoptions (“fsolve”，“SpecificyObjectiveGradient”，对）

这个函数享乐必须在第二个输出参数中返回雅可比矩阵值J，矩阵，atx．

如果享乐返回的向量(矩阵)米组件和x长度n,在那里n为长度x0雅可比矩阵J是一个米——- - - - - -n矩阵在哪里J (i, J)的偏导数是什么F（i）关于x (j)．(雅可比矩阵J是梯度的转置F．）

例子:有趣= @ (x) x * * x - [1, 2, 3, 4)

数据类型:字符|function_handle|字符串

初始点，指定为实向量或实数组。fsolve使用中的元素数量和大小x0要确定享乐接受。

例子:x0 =(1、2、3、4)

数据类型:双

优化选项，指定为optimoptions或者一个结构优化集的回报。

有些选项适用于所有算法，而另一些则与特定算法相关。看见优化选择参考有关详细信息。

控件中缺少一些选项optimoptions陈列下表中以斜体显示这些选项。有关详细信息，请参阅查看选项．

所有的算法
算法

之间做出选择“trust-region-dogleg”(默认),“信任区”和“levenberg-marquardt”．

的算法选项指定要使用的算法的首选项。这只是一种偏好，因为对于信任域算法，非线性方程组不能欠定;即方程的个数(元素的个数)F返回的享乐)的长度必须至少与x．同样地，对于信任区域狗腿算法，方程的数量必须与长度相等x．fsolve当所选算法不可用时，使用Levenberg-Marquardt算法。有关选择算法的更多信息，请参见选择算法．

使用来设置一些算法选项优化集而不是optimoptions：

  • 算法-将算法设置为“trust-region-reflective”而不是“信任区”．

  • InitDamping—设置初始Levenberg-Marquardt参数λ通过设置算法到单元格数组，例如{levenberg-marquardt, .005}．
CheckGradients

将用户提供的导数（目标或约束的梯度）与有限差分导数进行比较。选择是符合事实的还是默认值错误的．

对于优化集，名字是DerivativeCheck这些值是“上”或“关闭”．看到当前和遗留选项名称．
诊断学

显示有关要最小化或解决的功能的诊断信息。选项如下“上”还是默认值“关闭”．
DiffMaxChange

有限差分梯度(正标量)变量的最大变化量。默认值是正．
DiffMinChange

有限差分梯度（正标量）变量的最小变化。默认值为0．
陈列

显示水平(见迭代显示):

  • “关闭”或“没有”显示没有输出。

  • “通路”在每次迭代时显示输出，并给出默认退出消息。

  • “iter-detailed”显示每次迭代的输出，并给出技术退出消息。

  • “决赛”（默认）仅显示最终输出，并给出默认退出消息。

  • 最后详细的仅显示最终输出，并给出技术退出消息。
FiniteDifferenceStepSize

有限差分的标量或向量步长因子。当您设置FiniteDifferenceStepSize一个向量v前向有限差分法希腊字母表的第4个字母是

δ= v *标志的(x) *马克斯(abs (x)、TypicalX);

在哪里符号“(x) =符号(x)除了标志' (0)= 1．中心有限差分是

delta=v.*max（绝对值x，典型值x）；

标量FiniteDifferenceStepSize展开为向量。默认值是sqrt（每股收益）对于正向有限差分，以及eps ^ (1/3)对于中心有限差分。

对于优化集，名字是FinDiffRelStep．看到当前和遗留选项名称．
FiniteDifferenceType

用于估计梯度的有限差分是“前进”(默认),或“中央”（居中）。“中央”需要两倍的函数求值，但应该更精确。

当估计这两种类型的有限差分时，该算法小心地遵守边界。因此，举例来说，它可能需要一个向后的差异，而不是向前的差异，以避免在边界之外的点上求值。

对于优化集，名字是FinDiffType．看到当前和遗留选项名称．
功能公差

函数值的终止容限，一个正标量。默认值是1e-6．看到公差和停止标准．

对于优化集，名字是托尔芬．看到当前和遗留选项名称．
FunValCheck

检查目标函数值是否有效。“上”当目标函数返回的值为复杂的，正或南. 默认情况下，“关闭”，则不显示任何错误。
MaxFunctionEvaluations

允许的最大函数求值数，为正整数。默认值为100 * numberOfVariables．看到公差和停止标准和迭代和功能计数．

对于优化集，名字是MaxFunEvals．看到当前和遗留选项名称．
MaxIterations

允许的最大迭代次数，一个正整数。默认值是400．看到公差和停止标准和迭代和功能计数．

对于优化集，名字是麦克斯特．看到当前和遗留选项名称．
最佳耐受性

一阶最优性的终止容限(正标量)。默认值是1e-6．看到一阶最优性测量．

在内部,“levenberg-marquardt”算法采用最优容差(停止准则)1e-4次功能公差而且不使用最佳耐受性．
OutputFcn

指定优化函数在每次迭代时调用的一个或多个用户定义函数。传递一个函数句柄或函数句柄的单元格数组。默认为none (［］)．看到输出函数和绘图函数语法．
PlotFcn

绘制算法执行时的各种进度度量;从预定义的情节中选择或编写您自己的。传递内置绘图函数名、函数句柄或内置绘图函数名或函数句柄的单元格数组。对于定制的绘图函数，传递函数句柄。默认为none (［］):

  • “optimplotx”绘制当前点。

  • “optimplotfunccount”绘制函数计数。

  • “optimplotfval”绘制函数值。

  • “最佳步长”绘制步长。

  • “optimplotfirstorderopt”绘制一阶最优测度。

自定义绘图函数使用与输出函数相同的语法。看到优化工具箱的输出函数™和输出函数和绘图函数语法．

对于优化集，名字是PlotFcns．看到当前和遗留选项名称．
SpecifyObjectiveGradient

如果符合事实的，fsolve使用用户定义的雅可比矩阵（在中定义）享乐)，或雅可比矩阵信息(当使用JacobianMultiplyFcn)，用于目标函数。如果错误的(默认),fsolve用有限差分近似雅可比矩阵。

对于优化集，名字是雅可比这些值是“上”或“关闭”．看到当前和遗留选项名称．
StepTolerance

端接公差x，一个正标量。默认值是1e-6．看到公差和停止标准．

对于优化集，名字是收费．看到当前和遗留选项名称．
典型的

典型的x值。中的元素数典型的等于元素的个数x0，起点。默认值为的(numberofvariables, 1)．fsolve使用典型的为梯度估计缩放有限差分。

的trust-region-dogleg算法使用典型的作为缩放矩阵的对角项。
使用并行

当符合事实的，fsolve并行地估计梯度。通过设置为默认值禁用，错误的．看到并行计算．
信赖域算法
JacobianMultiplyFcn

雅可比乘函数，指定为函数句柄。对于大规模的结构化问题，这个函数计算雅可比矩阵乘积J * Y，J ' * Y或J”* (J * Y)没有真正形成J．功能在于形式

W = jmfun(动力系统,Y,标志)

在哪里动力系统包含用于计算的矩阵J * Y(或J ' * Y或J”* (J * Y))．第一个参数动力系统必须与目标函数返回的第二个参数相同吗享乐，例如

(F,动力系统)(x) =乐趣

Y是一个矩阵，其行数与问题中的维度数相同。旗帜确定要计算的产品:

  • 如果标志==0，W = J ' * (J * Y)．

  • 如果国旗> 0，W = J * Y．

  • 如果国旗< 0，W=J'*Y．

在每种情况下，J不是明确形成的。fsolve使用动力系统计算前置条件。看到传递额外的参数有关如何为任何其他参数提供值的信息jmfun的需求。

请注意

“SpecificyObjectiveGradient”必须设置为符合事实的对于fsolve通过动力系统从享乐到jmfun．

看到稠密结构Hessian的最小化，线性等式举一个类似的例子。

对于优化集，名字是JacobMult．看到当前和遗留选项名称．
JacobPattern

有限差分雅可比矩阵的稀疏模式。设置JacobPattern (i, j) = 1当乐趣（一）取决于x (j)．否则,设置JacobPattern (i, j) = 0．换句话说,JacobPattern (i, j) = 1你什么时候可以∂乐趣（一）/∂x (j)≠0。

使用JacobPattern当计算雅可比矩阵不方便时J在里面享乐，尽管你可以确定(比如通过检查)何时乐趣（一）取决于x (j)．fsolve可以近似J通过稀疏有限差分，当你给出JacobPattern．

在最坏的情况下，如果结构未知，则不要设置JacobPattern．默认的行为是JacobPattern是1的密集矩阵。然后fsolve在每次迭代中计算完全有限差分近似值。对于大型问题，这可能非常昂贵，因此通常最好确定稀疏结构。
MaxPCGIter

PCG（预处理共轭梯度）迭代的最大次数，正标量。默认值是马克斯(1楼(numberOfVariables / 2))．有关更多信息，请参见方程求解算法．
预带宽

PCG预处理器的上限带宽，一个非负整数。默认值预带宽是正，这意味着使用直接因子分解（Cholesky）而不是共轭梯度（CG）。直接因式分解在计算上比CG更昂贵，但能产生更高质量的求解步骤。设置预带宽到0对于对角线预处理（上限带宽为0）。对于某些问题，中间带宽可以减少PCG迭代次数。
子问题算法

确定如何计算迭代步骤。默认的,“因式分解”，比“重心”．看到信赖域算法．
TolPCG

PCG迭代上的终止公差，正标量。默认值是0．1．
Levenberg-Marquardt算法
InitDamping

Levenberg-Marquardt参数的初值，一个正标量。默认是1e-2．有关详细信息,请参见Levenberg-Marquardt方法．
ScaleProblem

的雅可比矩阵有时可以提高一个规模不大的问题的收敛性。默认值是“没有”．

例子:options=optimoptions（'fsolve'，'FiniteDifferenceType'，'central'）

问题结构，指定为具有以下字段的结构:

字段名 条目

客观的

 目标函数

x0

 初始点x

解算器

 “fsolve”

选项

 选择创建optimoptions

数据类型:结构体

输出参数

全部崩溃

解，返回实向量或实数组。的大小x和尺寸一样吗x0．通常情况下,x什么时候能解决局部问题exitflag这是积极的。有关解决方案质量的信息，请参阅当求解成功时．

目标函数在解处的值，作为实向量返回。一般来说,未来值＝乐趣（x）．

原因fsolve已停止，返回为整数。

1

方程解决。一阶最优性很小。

2

方程解决。的变化x小于指定公差或雅可比矩阵的x是未定义的。

3.

方程解决。残余变化小于规定的公差。

4

方程解决。搜索方向小于指定公差的幅度。

0

超过迭代次数options.MaxIterations或超过函数求值次数选项。MaxFunctionEvaluations．

-1

输出函数或绘图函数停止算法。

-2

方程没有解决。退出消息可以包含更多信息。

-3

方程没有解决。信任区域半径变小(trust-region-dogleg算法）。

关于优化过程的信息，作为带有字段的结构返回:

迭代

迭代次数
funcCount

函数计算次数
算法

使用的优化算法
CG迭代

PCG迭代总次数(“信任区”算法只)
步长

最终位移x(不是“trust-region-dogleg”）
firstorderopt

一阶最优性的度量
消息

退出消息

解的雅可比矩阵，返回实矩阵。雅可比（i，j）的偏导数是什么乐趣（一）关于x (j)在解决方案x．

限制

  • 要求解的函数必须是连续的。

  • 一旦成功,fsolve只给出一个根。

  • 默认的信赖域折线法只能在方程组为正方形时使用，即方程组的数量等于未知数的数量。对于Levenberg-Marquardt方法，方程组不必是平方的。

提示

  • 对于大的问题，意味着那些有数千个或更多的变量，通过设置算法选项“信任区”和子问题算法选项“重心”．

算法

Levenberg-Marquardt方法和信赖域方法基于非线性最小二乘算法，也用于解非线性最小二乘问题．如果系统可能没有零，请使用其中一种方法。算法仍然返回一个残差很小的点。然而，如果系统的雅可比矩阵是奇异的，算法可能会收敛到一个点，而这个点不是方程组的解限制)．

  • 默认情况下fsolve选择信任区域的狗腿算法。该算法是Powell狗腿法的一种变体[8]. 它在本质上类似于在中实现的算法[7]．看到Trust-Region-Dogleg算法．

  • 信赖域算法是一种子空间信赖域方法，基于中描述的内部反射牛顿法［1］和［2］．每次迭代都涉及到使用预条件共轭梯度(PCG)方法求解一个大线性系统的近似解。看到信赖域算法．

  • 参考文献中描述了Levenberg-Marquardt方法［4］，［5］和［6］．看到Levenberg-Marquardt方法．

选择功能

应用程序

的优化活动编辑器任务为fsolve．

参考文献

[1] Coleman, T.F.和Y. Li，“有界非线性极小化的内部信赖域方法”，SIAM优化学报， 1996年第6卷，第418-445页。

[2] Coleman，T.F.和Y.Li，“关于有界的大规模非线性极小化的反射牛顿方法的收敛性，”数学规划，第67卷，第2号，第189-224页，1994年。

[3]丹尼斯，J. E. Jr.，《非线性最小二乘》数值分析的最新进展， D.雅各布斯，学术出版社，269-312页。

[4] Levenberg，《求解最小二乘某些问题的方法》，应用数学季刊2，页164-168,1944。

《非线性参数的最小二乘估计算法》，作者:Marquardt, D。暹罗应用数学杂志，第11卷，第431-4411963页。

[6] Moré， J. J.， " Levenberg-Marquardt算法:实现和理论"数值分析，ed.G.A.Watson，《数学课堂讲稿630》，斯普林格·维拉格，第105-116页，1977年。

[7] Moré， J. J.， B. S. Garbow, K. E. Hillstrom，MINPACK 1用户指南，阿贡国家实验室，报告。ANL-80-741980年。

[8] Powell, M. J. D.，“求解非线性代数方程组的Fortran子程序”，非线性代数方程的数值方法， P. Rabinowitz，编，ch7, 1970。

扩展能力

另请参阅

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主题

在R2006a之前引入

优化工具箱的文档

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