问题定义

考虑建一个马戏团帐篷覆盖一个广场。这个帐篷有五根柱子，上面用一种很重的弹性材料覆盖着。问题是找到帐篷的自然形状。模型的形状作为高度x（p)的位置p．

重物质提升到高度时的势能x是残雪，为常数c这与材料的重量成正比。对于这个问题，选择c= 1/3000。

一块材料的弹性势能 $$E_{\mathrm{年代}tretch}$$近似正比于材料高度的二阶导数，乘以高度。你可以用5点有限差分近似来近似二阶导数(假设有限差分步长为1) $$\Delta x$$表示在第一个坐标方向上的位移为1 $$\Delta y$$表示在第二个坐标方向上移位1。

帐篷的自然形状使总势能最小化。通过离散化这个问题，你会发现要最小化的总势能是所有位置的和p的 $$E_{\mathrm{年代}tretch}（p）$$+残雪（p)．

这个势能是变量的二次表达式x．

指定边界条件，即帐篷在边缘的高度为零。帐篷杆的横截面为1 × 1单元，帐篷的总尺寸为33 × 33单元。指定每个杆的高度和位置。标出方形地块区域和帐篷杆。

身高= 0 (33);高度(者者)= 0.3;高度(二六27,二六27)= 0.3;高度(者,二六27)= 0.3;高度(二六27,者)= 0.3;高度(16:17,16:17)= 0.5;colormap(灰色);surfl(高度)轴紧视图([-20,30]);标题(“帐篷杆和需要覆盖的地区”）

创建边界条件

的高度矩阵定义了解的下界x．为使解在边界处为零，设上界乌兰巴托在边界上为零。

边界= false(大小(高度));边界([1,33]:)= true;边界(:,(1,33))= true;乌兰巴托=正(大小(边界));%在大多数区域上没有上限乌兰巴托(边界)= 0;

创建目标函数矩阵

的quadprog问题的公式化就是最小化

$$\frac{1}{2}{x}^{T}Hx+f^{T}x$$．

在这个例子中，是线性项 $$f^{T}x$$对应于物料高度的势能。因此,指定f=每部分的1/3000x．

f =(大小(高度))/ 3000;

建立有限差分矩阵表示 $$E_{\mathrm{年代}tretch}$$通过使用delsq函数。的delsq函数返回一个稀疏矩阵，其项为4和-1，对应于公式中的项为4和-1 $$E_{\mathrm{年代}tretch}（p）$$．将返回的矩阵乘以2得到quadprog用给出的能量函数求解二次规划 $$E_{\mathrm{年代}tretch}$$．

H = delsq (numgrid (“年代”, 33 + 2) * 2;

查看矩阵的结构H．矩阵作用于x (:)，意思是矩阵x通过线性索引转换为向量。

间谍(H);标题(“Hessian矩阵的稀疏性结构”)；

运行优化解算器

通过打电话来解决问题quadprog．

x = quadprog (H f ,[],[],[],[], 高度,乌兰巴托);

找到满足约束条件的最小值。优化完成是因为目标函数在可行方向上不减小到最优性公差的值内，约束条件满足到约束公差的值内。

策划解决方案

改造解决方案x一个矩阵年代．然后画出解。

S =重塑(x,大小(高度));surfl(年代);轴紧；视图([-20,30]);