描述系统演化的方程

考虑一个2输入2输出不稳定的设备。描述系统演化的方程。 $$x(T)$$是

哪里 $$U(T)$$是输入（控制）信号。系统的输出为

矩阵 $$\mathrm{A.}$$, $$B$$, $$C$$是

A=[-0.50；0-210；01-2]；B=[10；-22；01]；C=[10；01]；

优化目标

假设控制信号 $$U(T)$$是否与输出成正比 $$Y(T)$$:

对于某些矩阵 $$K$$.

这意味着系统的进化 $$x(T)$$是：

优化的目标是设计 $$K$$要具有以下两个属性：

1.特征值的实部 $$(\mathrm{A.}+BKC)$$小于[-5，-3，-1]。(在控制文献中，这被称为极点配置。)

2.abs( $$K$$) <= 4(每个元素 $$K$$介于-4和4之间）

为了解决优化问题，首先设定多目标目标：

[-5， -3， -1];

将权重设置为与目标相等，以确保目标实现率相同。

体重=绝对值（目标）；

初始化输出反馈控制器

K0=[-1-1；-1-1]；

设置控制器的上限和下限

lb=repmat（-4，尺寸（K0））

磅=2×24 -4 -4 -4

ub=repmat（4，尺寸（K0））

乌兰巴托=2×24 4 4 4

设置优化显示参数以在每次迭代时给出输出：

选择= optimoptions (“fgoalattain”,“显示”,“国际热核实验堆”）;

创建一个向量值函数eigfun，返回闭环系统的特征值。此函数需要附加参数（即矩阵 $$\mathrm{A.}$$, $$B$$, $$C$$）;最方便的传递方式是通过匿名函数:

eigfun = @(K) sort(eig(A+B*K*C));

调用优化求解器

开始我们称之为fgoalattain:

[K，~，可达因子]=...fgoalattain（eigfun，K0，目标，重量，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，磅，ub，[]，选项）；

达到最大线搜索方向Iter F计数因子约束步长导数程序0 6 0 1.88521 1 13 1.031 0.02998 1 0.745 2 20 0.3525 0.06863 1-0.613 3 3 27-0.1706 0.1071-0.223 Hessian修改4 34-0.2236 0.06654 1-0.234 Hessian修改两次5 41-0.3568 0.007894 1-0.0812 6 48-0.3645 0.000145 1-0.164 Hessian修改d 7 55-0.3645 0 1-0.00515 Hessian修改8 62-0.3675 0.0001548 1-0.00812 Hessian修改两次9 69-0.3889 0.008327 1-0.00751 Hessian修改10 76-0.3862 0 1 0.00568 11 83-0.3863 4.926e-13 1-0.998 Hessian修改两次局部最小值。满足约束条件。由于当前搜索方向的大小，fgoalattain停止小于步长公差值的两倍，且满足的约束在约束公差值范围内。

求解时的控制参数值为:

K

K =2×2-4.0000 -0.2564

闭环系统的特征值在eigfun(K)中如下(它们也在输出fval中)

艾格芬（K）

ans=3×1-6.9313 -4.1588 -1.4099

实现因素表示目标实现的水平。消极的成就因素表示成就过大，积极的成就不足。我们在这次运行中获得的价值获取因素表明，目标已经超出了近40%:

attainfactor

attainfactor = -0.3863

通过解到ODE的系统演化

系统是这样的 $$x(T)$$使用计算出的反馈矩阵，从时间0演变为时间4 $$K$$，从点x（0）=[1；1；1]开始。

首先解微分方程:

[*, xvals] =数值(@ (u, x) ((A + B * K * C) * x), [0, 4], [1; 1; 1]);

然后绘制结果：

绘图（时间、xVAL）图例(‘x_1（t）’,‘x_2（t）’,“x_3 (t)”,“位置”,“最好的”)包含(“不”); 伊拉贝尔(‘x（t）’）;

设定要准确实现的目标

假设我们现在要求特征值尽可能接近目标值[-5，-3，-1]。集options.EqualityGoalCount目标的数量应尽可能接近目标(即，不要试图超过目标):

这三个目标都应该尽可能接近目标。

options.EqualityGoalCount=3；

调用优化求解器

我们准备调用优化求解器:

[K，fval，可达因子，exitflag，输出，λ]=...fgoalattain（eigfun，K0，目标，重量，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，[]，磅，ub，[]，选项）；

达到最大线搜索定向Iter F-count因素约束steplength导数过程0 6 0 1.88521 1 13 20 0.3525 0.06863 - 1 -0.613 1.031 0.745 0.02998 - 1 2 3 27 -0.22 0.1528 -0.009105 1黑森修改4 34 -0.166 0.02684 0.03722 1黑森修改5 41 0 9.646 4.237 0.005702 1 -0.116黑森修改6 48 e-19 e-06 e-17 1 3.654.797e-11 1 -2.24e-14 Hessian修改的局部最小可能。约束满足。Fgoalattain停止是因为当前搜索方向的大小小于步长公差值的两倍，并且约束条件满足到约束公差值之内。

此解决方案中的控制参数值为：

K

K =2×2-1.5954 1.2040 -0.4201 -2.9046

此时闭环系统的特征值也在输出fval中，如下所示:

艾格芬（K）

ans=3×1-5.0000 -3.0000 -1.0000

成就因子是目标成就的水平。负成就因子表示成就过高，正成就因子表示成就不足。获得的低成就因子表示特征值几乎完全满足目标：

attainfactor

attainfactor = -1.5813 e-21

通过求解ODE的新系统演化

系统是这样的 $$x(T)$$使用新计算的反馈矩阵，从时间0发展到时间4 $$K$$，从点x（0）=[1；1；1]开始。

首先解微分方程:

[*, xvals] =数值(@ (u, x) ((A + B * K * C) * x), [0, 4], [1; 1; 1]);

然后绘制结果：

绘图（时间、xVAL）图例(‘x_1（t）’,‘x_2（t）’,“x_3 (t)”,“位置”,“最好的”)包含(“不”); 伊拉贝尔(‘x（t）’）;