简化高阶植物模型
这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™通过更简单的低阶模型来近似高阶对象模型。
介绍
强大的控制工具箱提供处理大型型号的工具，例如：
高阶植物:详细的第一性原理或有限元模型的工厂往往有高阶。通常我们想要简化这类模型以进行模拟或控制设计。
高阶控制器：鲁棒控制技术通常产生高阶控制器。例如，当我们使用频率加权函数塑造开环响应时，这是常见的。我们希望简化此类控制器的实现。
为了控制目的，通常足以在交叉频率附近具有准确的模型。对于模拟，足以捕获激励信号的频率范围内的基本动态。这意味着通常可以找到高阶模型的低位近似值。强大的控制工具箱提供各种型号减少算法，以最适合您的要求和模型特性。
模型约简过程
模型简化任务通常包括以下步骤：
分析模型的重要特性，从其时域或频域响应得到
步或预兆例如通过绘制原始模型的Hankel奇异值来确定适当的降阶(
Hankelsv.）为了确定可以丢弃哪些模式（状态）而不牺牲关键特征。选择一个约简算法。工具箱中可用的一些还原方法有:
平衡，bstmr，舒尔姆，hankelmr和中心
我们可以通过顶级接口轻松访问这些算法降低．该方法采用了原始和减少模型之间的“亲近”的不同措施。选择是依赖的应用。让我们尝试每个人来调查他们的相对优点。
验证：我们通过将减少模型的动态与原件进行比较来验证我们的结果。如果结果不令人满意，我们可能需要调整我们的减少参数（选择式顺序，算法，误差等）的选择。
示例：建筑物刚体运动的模型
在这个例子中，我们将减少方法应用于洛杉矶大学医院建设的模型。该模型采用了2002-2的Slicot工作说明，“用于模型减少线性时间不变动态系统的基准示例的集合，”由Y.Chahlaoui和P.V。门。它有八层，每个楼层有三个自由 - 两个位移和一个旋转。我们使用48状态模型代表这些位移中的任何一个的输入 - 输出关系，其中每个状态表示位移或其变化率（速度）。
让我们为示例加载数据:
加载buildingdata.mat
检查植物动态
让我们从分析模型的频率响应开始:
博德（G）网格在…上
图1:波德图分析频率响应
从模型的频率响应观察到，系统的基本动态位于3至50弧度/秒的频率范围内。幅度在非常低和高频范围内下降。我们的目标是找到一个低阶模型，可以将该频率范围内的信息内容保留到可接受的精度水平。
计算Hankel奇异值
要理解模型的哪些状态可以安全丢弃，请查看模型的Hankel奇异值：
hsv_add=汉克尔斯夫（G）；酒吧（hsv_add）标题(“汉克尔模型奇异值(G)”）;包含('州数量')伊拉贝尔(“奇异值(\ sigma_i)”)行（[10.5 10.5]，[0 1.5e-3]，“颜色”，“r”，“线型”，' - '，“线宽”1)文本(6日,1.6 e - 3,“10占主导地位的国家。”）
图2:模型的Hankel奇异值（G）。
汉克尔奇异值图表明，该系统存在四种主导模态。然而，其余模式的贡献仍然是显著的。我们将在10个状态处画一条线，并丢弃剩下的状态，以找到一个10阶简化模型GR.这最接近于原始系统G．
使用附加误差界执行模型缩减
功能降低是工具箱中可用的所有模型减少例程的网关。我们将使用默认的方形余额截断（'balancmr'）选项降低作为第一步，该方法使用“加法”误差界进行缩减，这意味着它试图在频率范围内保持绝对近似误差均匀较小。
%计算10阶简化模型(reduce默认使用balancmr方法)[Gr_add, info_add] =减少(G, 10);%现在将原始模型G与简化模型Gr_add进行比较博德（G，“b”，gr_add，“r”)网格在…上标题（“将原始模型（G）与简化模型（Gr\\ U add）进行比较”)传说('g - 48-state原始'，“Gr\\ U添加-10状态减少”，'地点'，“东北”）
图3：将原始模型（G）与简化模型（Gr_-add）进行比较
使用乘法误差界进行模型约简
如图3所示，缩小模型较好地捕获到30 rad / s以下的共振，但低频区域（<2 rad / s）中的匹配差。此外，减少的模型不会完全捕获30-50 RAD / S频率范围内的动态。低频下大误差的可能解释是这些频率的模型的相对较低的增益。因此，甚至在这些频率下的大错误甚至对整体误差有没有贡献。
为了解决这个问题，我们可以尝试一种乘法错误方法，例如bstmr．该算法强调相对误差而不是绝对误差。因为相对比较在增益接近零时不起作用，所以我们需要添加最小增益阈值，例如通过添加馈通增益D到我们原来的模型。假设我们不担心在100 dB以下的收益时误差，我们可以将馈通设置为1E-5。
GG = G;GG.D = 1 e-5;
现在，让我们看看乘法(相对)错误的奇异值(使用的'mult'选项)Hankelsv.）
hsv_mult=hankelsv（GG，“乘”）;酒吧（HSV_Mult）标题（“模型（G）的乘性误差奇异值”）;包含('州数量')伊拉贝尔(“奇异值(\ sigma_i)”）
图4:模型乘法误差奇异值(G)
26阶模型看起来很有希望，但为了与之前的结果进行比较，我们还是坚持减少10阶。
%使用bstmr算法选项进行模型简化[Gr_mult，info_mult]=reduce（GG，10，“算法”，'BST'）;％现在将原始型号G与减少模型Gr_Mult进行比较波德(G, Gr_add Gr_mult,{1飞行,1 e4}),网格在…上标题（'将原始（g）与减少的模型（gr \ _add和gr \ _mult）'比较)传说('g - 48-state原始'，“Gr\\u添加（平衡MR）”，“Gr\_mult（bstmr）”一词，'地点'，“东北”）
图5：比较原始(G)与简化模型(Gr_add和Gr_mult)
使用乘法误差法，原始模型和简化模型之间的拟合要好得多，即使在低频率下。我们可以通过比较阶跃响应来证实这一点:
步骤（g，gr_add，gr_mult，15）%步进响应直到15秒传奇（“G:48州原文”，“Gr\\添加：10个州（balancmr）”，'Gr\\ mult:10状态（bstmr）'）
图6：三种模型的阶跃响应
验证结果
所有算法都提供了近似误差的界限平衡，近似误差由错误模型的峰值（最大）增益来测量G-Greduced在所有频率。这个峰值增益也被称为误差模型的h -∞范数。加法误差算法的误差边界如下:
其中，和等于G（参赛作品11到48高铁加).我们可以通过比较此不等式的两侧来验证此界是否满足：
标准（G-Gr_添加，inf）%实际误差
ans = 6.0251 e-04
％理论界限（存储在“info”的“errownound”字段中％结构返回|减少|）info_add.errorbound.
ans=0.0047
对于乘法错误方法，例如bstmr，近似误差由相对误差模型跨频率的峰值增益来测量G \ (G-Greduced)．错误界限是这样的
总和在丢弃的地方乘法汉克尔奇异值计算汉克尔斯夫（G，'mult'）．同样，我们可以比较简化模型的这些边界Gr_mult
标准（GG\（GG-Gr_mult），inf）%实际误差
ans=0.5949
%的理论束缚信息多个错误绑定
ans = 546.1730
绘制相对误差以进行确认
bodemag (GG \ (GG-Gr_mult){1飞行,1 e3})网格在…上文本(0.1,-50,'峰值增益：17.2 rad / s'的峰值增益：-4.6 dB（59％）)头衔(“原始模型（G）和简化模型（Gr\\\ mult）之间的相对误差”）
图7：原始模型（G）和简化模型（Gr_mult）之间的相对误差
从上面的相对误差图来看，17.2 rad/s的相对误差高达59%，这可能超过了我们愿意接受的范围。
选择与期望的精度水平兼容的最低顺序
提高准确度Gr_mult，我们需要增加阶数。为了达到至少5%的相对精度，我们能得到的最低阶数是多少？函数降低可以自动选择符合我们所需精度水平的最低阶模型。
%指定最大5%的近似误差[Gred，info]=reduce（GG，“ErrorType”，“乘”，'maxerror'，0.05）；尺寸（灰色）
状态空间模型，包含1个输出，1个输入和35个状态。
该算法选择了一个34状态的简化模型磨碎．将实际误差与理论界限进行比较:
标准（GG\（GG Gred），inf）
ans = 0.0068
信息。Err或Bound
ans = 0.0342.
看看相对误差大小作为频率的函数。更高的精度是以更大的模型顺序为代价的(从10到34)。注意，实际的最大误差是0.6%，远远低于5%的目标。这种差异是函数的结果bstmr使用错误界限而不是实际错误来选择订单。
bodemag（GG\（GG Gred），{1,1e3}）网格在…上文本(-75,峰值增益:在73.8 rad/s时为-43.3 dB (0.6%))头衔(“原始模型（G）和简化模型（Gred）之间的相对误差”）
图8：原始模型（G）和简化模型（Gred）之间的相对误差
比较博德的响应
bode（G，Gred，{1e-2,1e4}）格在…上传奇（“G - 48州原创”，“Gred-34州减少”）
图9：48态原始模型的Bode图和34状态减少模型
最后，比较原始模型和简化模型的阶跃响应，它们几乎无法区分。
步骤（G），“b”，磨削，'r--'15）%步进响应直到15秒传奇（“G:48州原文”，'格雷德：34州（bstmr）'）文本（5，-4E-4，“最大相对误差<0.05”）
图10：48状态原始模型和34状态简化模型的阶跃响应图
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