寿命数据的特殊性质

生命周期数据的一些特征区别于其他类型的数据。首先，生命周期总是正值，通常代表时间。第二，有些生命周期可能不能被精确地观察到，因此人们只知道它们大于某些值。第三，通常使用的分布和分析技术是针对生命周期数据的

让我们模拟测试100个节流阀直到失败的结果。如果大多数节流器都有相当长的生命周期，但有一小部分很早就失败了，我们将生成可能观察到的数据。

rng (2“旋风”）;一生= [wblrnd (15000, 90, 1);wblrnd(1500、3、10,1)];

在本例中，假设我们在压力条件下测试节气门，因此每小时的测试相当于100小时的现场实际使用。出于实用的原因，可靠性测试通常在一段固定的时间后停止。对于本例，我们将使用140小时，相当于实际服务的总时间为14,000小时。有些项目在测试中失败了，而另一些项目则存活了整个140小时。在实际测试中，后者的时间记录为14000，我们在模拟数据中模拟了这一点。对故障时间进行排序也是一种常见的做法。

T = 14000;obstime = sort(min(T, lifetime));

我们知道任何通过测试的节流阀最终都会失败，但测试时间不够长，无法观察到它们失败的实际时间。它们的寿命仅已知超过14000小时。据说这些价值观受到了审查。这张图显示，大约40%的数据在14000处被审查。

失败= obstime (obstime < T);nfailed =长度(失败);幸存= obstime (obstime = = T);nsurvived =长度(存活);censored = (obstime >= T);情节([0(大小(obstime)), obstime]”,repmat(1:长度(obstime), 2, - 1),．..“颜色”，“b”，“线型”，“- - -”) line([T;3e4]， repmat(nfailed+(1: n幸存)，2,1)，“颜色”，“b”，“线型”，“:”）;线([T, T], [0; nfailed + nsurvived],“颜色”，“k”，“线型”，“- - -”)文本(T, 30岁,'<-未知的生存时间过去这里')包含(的生存时间）;ylabel (“观察数量”）

查看发行版的方法

在我们研究数据的分布之前，让我们考虑一下观察概率分布的不同方法。

下面是这四种图形类型的示例，使用Weibull分布进行说明。Weibull是建模生命周期数据的一种常见分布。

x = linspace (30000);次要情节(2 2 1);情节(x, wblpdf (x, 14000, 2), x, wblpdf (x, 18000, 2), x, wblpdf (1.1 x 14000))标题(的概率。密度Fcn”次要情节(2,2,2);情节(x, 1-wblcdf (x, 14000, 2), x, 1-wblcdf (x, 18000, 2), x, 1-wblcdf (1.1 x 14000))标题(“幸存者Fcn”)次要情节(2、2、3);wblhaz = @ (x, a, b) (wblpdf (x, a、b)。/ (1-wblcdf (x, a, b)));情节(x, wblhaz (x, 14000, 2), x, wblhaz (x, 18000, 2), x, wblhaz (1.1 x 14000))标题(“风险率Fcn”)次要情节(2、2、4);probplot (“威布尔”wblrnd(14000 2, 40岁,1))标题(“概率图”）

拟合威布尔分布

威布尔分布是指数分布的推广。如果寿命遵循指数分布，那么它们的危险率是恒定的。这意味着它们不会变老，从某种意义上说，在一个区间内观察到失败的概率，在区间开始时的存活时间，并不取决于区间开始的位置。威布尔分布有可能增加或减少的危险率。

用于建模寿命数据的其他分布包括对数正态分布、伽马分布和Birnbaum-Saunders分布。

我们将绘制我们的数据的经验累积分布函数，显示在每个可能的生存时间内失败的比例。点曲线给出了这些概率的95%置信区间。

次要情节(1 1 1);[empF x, empFlo, empFup] = ecdf (obstime,“审查”、审查);楼梯(x, empF);持有在；楼梯(x, empFlo,“:”）;楼梯(x, empFup,“:”）;持有从包含(“时间”）;ylabel (“比例”失败）;标题(“经验提供”）

例如，这张图显示，在时间4000时失败的比例约为12%，而此时失败概率的95%置信范围在6%到18%之间。请注意，因为我们的测试只运行了14000小时，所以经验CDF只允许我们计算出超出该限制的失败概率。几乎一半的数据在1.4万份时被审查，因此实证的CDF只上升到0.53左右，而不是1.0。

威布尔分布通常是设备故障的一个很好的模型。这个函数wblfit将威布尔分布拟合到数据中，包括有截尾的数据。在计算参数估计后，我们将使用这些估计来评估拟合Weibull模型的CDF。因为CDF值是基于估计参数的，我们将计算它们的置信范围。

paramEsts = wblfit (obstime,“审查”、审查);[nlogl, paramCov] = wbllike (paramEsts obstime,审查);xx = linspace(1、2 * 500 (T));[wblF, wblFlo wblFup] = wblcdf (xx, paramEsts (1) paramEsts (2), paramCov);

我们可以将经验CDF和拟合CDF的图进行叠加，以判断威布尔分布模型对节流阀可靠性数据的影响。

楼梯(x, empF);持有在处理=情节(xx, wblF的r -xx wblFlo,“:”xx wblFup,“:”）;持有从包含(“时间”）;ylabel (“安装失败概率”）;标题(“威布尔模型与实证”）

请注意，Weibull模型允许我们预测并计算测试结束后的失败概率。然而，似乎拟合曲线与我们的数据不太匹配。与威布尔模型所预测的相比，我们在时间2000之前有太多的早期失败，因此，在7000到13000次之间的失败次数太少了。这并不奇怪——回想一下，我们就是用这种行为生成数据的。

添加一个光滑的非参数估计

Statistics和Machine Learning Toolbox™提供的预定义函数不包括任何类似这样的早期故障过多的发行版。相反，我们可能想用这个函数，通过经验CDF绘制一条平滑的非参数曲线ksdensity．我们将移除Weibull CDF的置信带，并添加两条曲线，一条带有默认的平滑参数，另一条带有默认值1/3的平滑参数。平滑参数越小，曲线与数据的关系越紧密。

delete(handles(2:end)) [npF,ignore,u] = ksdensity(obstime,xx，)“岑”审查,“函数”，“提供”）;线(npF xx,“颜色”，‘g’）;npF3 = ksdensity (obstime, xx,“岑”审查,“函数”，“提供”，“宽度”u / 3);线(xx, npF3“颜色”，“米”）;xlim (1.3 * T[0])标题(“威布尔和非参数模型与经验模型”)传说(“经验”，“符合威布尔”，“非参数,默认”，“非参数,1/3违约”，．..“位置”，“西北”）;

采用较小平滑参数的非参数估计与数据吻合较好。然而，就像经验CDF一样，不可能在测试结束后外推非参数模型——估计的CDF水平高于最后的观察。

让我们计算这个非参数拟合的风险率，并在数据范围内绘制它。

hazrate = ksdensity (obstime, xx,“岑”审查,“宽度”u / 3) / (1-npF3);情节(xx, hazrate)标题(“非参数模型的危险率”) xlim ([0, T])

这条曲线有点“浴缸”的形状，危险率在接近2000时很高，然后下降到较低的值，然后再次上升。对于在生命早期(婴儿死亡率)和生命后期(老化)更容易发生故障的组件来说，这是典型的危险率。

还需要注意的是，在非参数模型的最大未删减观测值之上无法估计危险率，图值降至零。

替代模型

对于我们在本例中使用的模拟数据，我们发现Weibull分布并不适合。我们能够用非参数拟合很好地拟合数据，但该模型仅在数据范围内有用。

另一种选择是使用不同的参数分布。统计和机器学习工具箱包括用于其他常见寿命分布的函数，如对数正态分布、伽马和Birnbaum-Saunders，以及许多在寿命模型中不常用的其他分布。您还可以定义自定义参数模型并使其适合于生命周期数据，如在拟合自定义分布时避免数值问题的例子。

另一种选择是混合使用两种参数分布——一种表示早期失败，另一种表示其余分布。混合分布的拟合描述在符合自定义分布的例子。