线性混合效应模型的参数估计- MATLAB & Simulink - MathWorks瑞士金宝app

线性混合效应模型的参数估计

线性混合效应模型的形式

$y ＝ \underset{f 我 x e d}{\underset{︸}{X β}} + \underset{r 一个 n d o 米}{\underset{︸}{Z b}} + \underset{e r r o r}{\underset{︸}{ε}} ，$

在哪里

y是n-by-1响应向量n为观察次数。
X是一个n——- - - - - -p固定后果设计矩阵。
β是一个p1固定后果向量。
Z是一个n——- - - - - -问随机设计矩阵。
b是一个问1随机向量。
ε是n-1的观测误差向量。

随机向量,b，误差向量，ε，假设具有以下独立的先验分布:

$\begin{array}{l} b ～ N （ 0 ， σ^{2} D （ θ ））， \\ ε ～ N （ 0 ， σ {}^{2}我）， \end{array}$

在哪里D一个对称的正半定矩阵，由方差分量向量参数化吗θ，我是一个n——- - - - - -n单位矩阵,σ²为误差方差。

在这个模型中，估计的参数是固定效应系数β，以及方差分量θ和σ²．线性混合效应模型中最常用的两种参数估计方法是最大似然法和限制最大似然法。

最大似然(ML)

最大似然估计同时包含回归系数和方差分量，即似然函数中的固定效应项和随机效应项。

对于上面定义的线性混合效应模型，响应变量的条件响应y鉴于β，b，θ,σ²是

$y | b ， β ， θ ， σ^{2} ～ N （ X β + Z b ， σ^{2} 我_{n} ）．$

的可能性y鉴于β，θ,σ²是

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ） P （ b | θ ， σ^{2} ） d b ，$

在哪里

$\begin{array}{l} P （ b | θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{问}{2}}} \frac{1}{{| D （ θ ） |}^{\frac{1}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} b^{T} D^{- 1} b ｝和 \\ P （ y | b ， β ， θ ， σ^{2} ）＝ \frac{1}{{（ 2 π σ^{2} ）}^{\frac{n}{2}}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ）｝． \end{array}$

假设Λ(θ)为下三角乔尔斯基因子D（θ)和Δ(θ)是Λ(θ)．然后,

$D {（ θ ）}^{- 1} ＝ Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ）．$

定义

$r^{2} （ β ， b ， θ ）＝ b^{T} Δ {（ θ ）}^{T} Δ （ θ ） b + {（ y - X β - Z b ）}^{T} （ y - X β - Z b ），$

假设b^＊的价值b满足

${\frac{\partial r^{2} （ β ， b ， θ ）}{\partial b} |}_{b^{＊}} ＝ 0$

对于给定β和θ．则似然函数为

$P （ y | β ， θ ， σ^{2} ）＝ {（ 2 π σ^{2} ）}^{- \frac{n}{2}} {| D （ θ ） |}^{- \frac{1}{2}} 经验值｛ - \frac{1}{2 σ^{2}} r^{2} （ β ， b^{＊} （ β ）， θ ）｝ \frac{1}{{| Δ^{T} Δ + Z^{T} Z |}^{\frac{1}{2}}} ．$

P (y |β，θ,σ²)首先是最大的关于β和σ²对于一个给定的θ．因此，优化的解决方案金宝搏官方网站 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 和 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ 的函数是θ．将这些解代入似然函数得到金宝搏官方网站 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ ．这个表达式被称为profile likelihoodβ和σ²已经被写出来了。 $P （ y | \overset{＾}{β} （ θ ）， θ ， {\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ））$ 是θ，然后算法对其进行优化θ．一旦它找到最优估计θ的估计β和σ²是由 $\overset{＾}{β} （ θ ）$ 和 ${\overset{＾}{σ}}^{2} （ θ ）$ ．

ML方法处理β在估计方差分量时为固定的未知数，但不考虑估计固定效应所损失的自由度。这导致ML估计偏差较小。然而，ML相对于REML的一个优势是，可以从固定和随机效应的角度对两个模型进行比较。另一方面，如果您使用REML来估计参数，则只能使用相同的固定效果设计来比较嵌套在随机效果术语中的两个模型。

限制最大似然

限制性极大似然估计只包括方差分量，即线性混合效应模型中参数化随机效应项的参数。β是在第二步估计的。假设有一致反常的先验分布β并积分概率P(y|β，θ,σ²关于β得到限制性似然P(y|θ,σ²)．也就是说,

$P （ y | θ ， σ^{2} ）＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2} ） P （ β ） d β ＝ \int P （ y | β ， θ ， σ^{2} ） d β ．$

算法首先剖析 ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ 最大化剩下的目标函数θ找到 ${\overset{＾}{θ}}_{R}$ ．然后，限制似然就σ而言是最大的²找到 ${\overset{＾}{σ}}_{R}^{2}$ ．然后,它估计β通过求其相对于后验分布的期望值

$P （ β | y ， {\overset{＾}{θ}}_{R} ， {\overset{＾}{σ}}_{R}^{2} ）．$

REML解释了估计固定效应所损失的自由度，并对随机效应方差作出了更少的偏置估计。的估计θ和σ²的值不变吗β与ML估计值相比，对数据中的异常值更不敏感。然而，如果您使用REML来估计参数，那么您只能比较两个具有相同的固定效应设计矩阵并嵌套在它们的随机效应术语中的模型。

参考文献

Pinherio J. C.和D. M. Bates。S和S- plus的混合效应模型．统计与计算系列，施普林格，2004。

Hariharan, S.和J. H. Rogers。等级线性模型的估计程序教育数据的多级建模(康奈尔、麦教练编)。信息时代出版公司，2008。

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斯尼杰斯和博斯克。多层次分析．加利福尼亚州千橡市:Sage出版社，1999年。

McCulloch, c.e.， r.s. Shayle, J. M. Neuhaus。广义、线性和混合模型．威利,2008年。

另请参阅

LinearMixedModel|fitlme|fitlmematrix