主要内容

探地雷达模型的完全独立条件逼近

完全独立条件(FIC)近似[1]是一种系统地逼近真实GPR核函数的方法，以避免SR近似的预测方差问题同时仍然保持有效的高斯过程。方法指定用于参数估计的FIC方法“FitMethod”、“膜集成电路的调用中的名称-值对参数fitrgp．对于使用FIC的预测，可以使用“PredictMethod”、“膜集成电路的调用中的名称-值对参数fitrgp．

逼近核函数

FIC近似为 k （ x 我 ， x j | θ ） 对于活动集 一个 ⊂ N ＝ ｛ 1 ， 2 ， .．. ， n ｝ 由:

k ＾ F 我 C （ x 我 ， x j | θ ， 一个 ） ＝ k ＾ 年代 R （ x 我 ， x j | θ ， 一个 ） + δ 我 j （ k （ x 我 ， x j | θ ） − k ＾ 年代 R （ x 我 ， x j | θ ， 一个 ） ） ， δ 我 j ＝ ｛ 1 ， 如果 我 ＝ j ， 0 如果 我 ≠ j ．

也就是说，FIC近似等于SR近似 我 ≠ j ．为 我 ＝ j ，软件使用准确的内核值而不是近似值。定义一个n——- - - - - -n对角矩阵 Ω （ X | θ ， 一个 ） 如下:

［ Ω （ X | θ ， 一个 ） ］ 我 j ＝ δ 我 j （ k （ x 我 ， x j | θ ） − k ＾ 年代 R （ x 我 ， x j | θ ， 一个 ） ） ＝ ｛ k （ x 我 ， x j | θ ） − k ＾ 年代 R （ x 我 ， x j | θ ， 一个 ） 如果 我 ＝ j ， 0 如果 我 ≠ j ．

FIC近似为 K （ X ， X | θ ） 然后由:

K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） ＝ K ＾ 年代 R （ X ， X | θ ， 一个 ） + Ω （ X | θ ， 一个 ） ＝ K （ X ， X 一个 | θ ） K （ X 一个 ， X 一个 | θ ） − 1 K （ X 一个 ， X | θ ） + Ω （ X | θ ， 一个 ） ．

参数估计

替换 K （ X ， X | θ ） 通过 K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） 的边缘对数似然函数产生其FIC近似:

日志 P F 我 C （ y | X ， β ， θ ， σ 2 ， 一个 ） ＝ − 1 2 （ y − H β ） T ［ K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 n ］ − 1 （ y − H β ） − N 2 日志 2 π − 1 2 日志 | K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 n | ．

就像确切的方法时，软件通过先计算来估计参数 β ＾ （ θ ， σ 2 ） 的最优估计 β ,鉴于 θ 而且 σ 2 ．然后估计 θ , σ 2 使用 β -剖面边缘对数似然。FIC估计为 β 对于给定 θ , σ 2 是

β ＾ F 我 C （ θ ， σ 2 ， 一个 ） ＝ ［ H T （ K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 N ） − 1 H ︸ ＊ ］ − 1 H T （ K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 N ） − 1 y ︸ ＊ ＊ ，

＊ ＝ H T Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 H − H T Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 K （ X ， X 一个 | θ ） B 一个 − 1 K （ X 一个 ， X | θ ） Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 H ， ＊ ＊ ＝ H T Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 y − H T Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 K （ X ， X 一个 | θ ） B 一个 − 1 K （ X 一个 ， X | θ ） Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 y ， B 一个 ＝ K （ X 一个 ， X 一个 | θ ） + K （ X 一个 ， X | θ ） Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 K （ X ， X 一个 | θ ） ， Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） ＝ Ω （ X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 n ．

使用 β ＾ F 我 C （ θ ， σ 2 ， 一个 ） , β FIC近似的-剖面边际对数似然为:

日志 P F 我 C （ y | X ， β ＾ F 我 C （ θ ， σ 2 ， 一个 ） ， θ ， σ 2 ， 一个 ） ＝ − 1 2 （ y − H β ＾ F 我 C （ θ ， σ 2 ， 一个 ） ） T （ K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 N ） − 1 （ y − H β ＾ F 我 C （ θ ， σ 2 ， 一个 ） ） − N 2 日志 2 π − 1 2 日志 | K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 N | ，

在哪里

（ K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 N ） − 1 ＝ Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 − Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 K （ X ， X 一个 | θ ） B 一个 − 1 K （ X 一个 ， X | θ ） Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 ， 日志 | K ＾ F 我 C （ X ， X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 N | ＝ 日志 | Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） | + 日志 | B 一个 | − 日志 | K （ X 一个 ， X 一个 | θ ） | ．

预测

的分布的FIC近似 y n e w 鉴于 y ， X ， x n e w 是

P （ y n e w | y ， X ， x n e w ） ＝ N （ y n e w | h （ x n e w ） T β + μ F 我 C ， σ n e w 2 + Σ F 我 C ） ，

在哪里 μ F 我 C 而且 Σ F 我 C FIC近似值是 μ 而且 Σ 给出了采用精确探地雷达方法进行预测．在SR案例中， μ F 我 C 而且 Σ F 我 C 是通过将所有真核的出现替换为其FIC近似而得到的。最终的形式 μ F 我 C 而且 Σ F 我 C 分别如下:

μ F 我 C ＝ K （ x n e w T ， X 一个 | θ ） B 一个 − 1 K （ X 一个 ， X | θ ） Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 （ y − H β ） ，

Σ F 我 C ＝ k （ x n e w ， x n e w | θ ） − K （ x n e w T ， X 一个 | θ ） K （ X 一个 ， X 一个 | θ ） − 1 K （ X 一个 ， x n e w T | θ ） + K （ x n e w T ， X 一个 | θ ） B 一个 − 1 K （ X 一个 ， x n e w T | θ ） ，

在哪里

B 一个 ＝ K （ X 一个 ， X 一个 | θ ） + K （ X 一个 ， X | θ ） Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） − 1 K （ X ， X 一个 | θ ） ， Λ （ θ ， σ 2 ， 一个 ） ＝ Ω （ X | θ ， 一个 ） + σ 2 我 n ．

参考文献

坎德拉，j.q。稀疏近似高斯过程回归的统一观点机器学习研究杂志。第6卷，1939-1959页，2005年。

另请参阅

|

相关的话题