加载样例数据。

加载示例数据。这些数据包括对美国329个城市生活质量的9个不同指标的评级。它们是气候、住房、健康、犯罪、交通、教育、艺术、娱乐和经济。对于每个类别，评分越高越好。例如，犯罪率越高意味着犯罪率越低。

显示类别变量。

负载城市类别

分类:气候住房健康犯罪交通教育艺术娱乐经济

总的来说，城市数据集包含三个变量:

图数据。

做一个箱形图来观察评级数据。

图()箱线图(评级,“定位”，“水平”，“标签”、类别)

对艺术和住房的评价比对犯罪和气候的评价变化更大。

检查两两相关。

检查变量之间的两两相关性。

C = corr(收视率，收视率);

部分变量之间的相关系数高达0.85。主成分分析构造了独立的新变量，这些新变量是原始变量的线性组合。

计算主成分。

当所有变量在同一单元时，计算原始数据的主成分是合适的。当变量采用不同的单位或不同列的方差差异很大时(就像在本例中一样)，通常更可取的方法是缩放数据或使用权重。

通过使用评级的反方差作为权重来执行主成分分析。

W = 1./var(评级);[wcoeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(评分，…“VariableWeights”, w);

或者说:

[wcoeff,score,latent,tsquared,explained] = pca(ratings，…“VariableWeights”、“方差”);

的五个输出主成分分析．

分量系数。

第一个输出，wcoeff，包含主成分的系数。

前三个主成分系数向量为:

3 = wcoeff(:，1:3)

C3 = wcoeff(:，1:3) C3 = 1.0e+03 * 0.0249 -0.0263 -0.0834 0.8504 -0.5978 -0.4965 0.4616 0.3004 -0.0073 0.1005 -0.1269 0.0661 0.5096 0.2606 0.2124 0.0883 0.1551 0.0737 2.1496 0.9043 -0.1229 0.2649 -0.3106 -0.0411 0.1469 -0.5111 0.6586

这些系数是加权的，因此系数矩阵不是标准正交的。

变换系数。

变换系数使它们是标准正交的。

Coefforth = inv(diag(std(ratings)))*wcoeff;

注意，如果你使用权重向量，w，同时指挥主成分分析,然后

Coefforth = diag(sqrt(w))*wcoeff;

校验系数是标准正交的。

变换后的系数现在是标准正交的。

I = coefforth'*coefforth;我(1:3,1:3)

Ans = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000

组件的分数。

第二个输出，分数，包含原始数据在主成分定义的新坐标系中的坐标。的分数矩阵与输入数据矩阵的大小相同。您还可以使用标准正交系数和标准化评级获得组件分数，如下所示。

Cscores = zscore(评分)*coefforth;

cscores和分数是相同的矩阵。

绘制组件分数。

的前两列创建一个图分数．

图()图(分数(:1),分数(:,2),“+”)包含(“第一主成分”) ylabel (“第二主成分”）

该图显示了投射到前两个主成分上的居中和缩放评级数据。主成分分析计算分数的平均值为零。

互动探索剧情。

注意图中右半部分的离群点。您可以用图形表示这些点，如下所示。

gname

将光标移到绘图上，在最右边的七个点附近单击一次。这将按行号标记点，如下图所示。

贴标后，按下返回．

提取观测名称。

创建一个索引变量，其中包含您选择的所有城市的行号，并获得城市的名称。

地铁= [43 65 179 213 234 270 314];名(地铁:)

ans =波士顿，MA芝加哥，IL洛杉矶，长滩，CA纽约，NY费城，PA-NJ旧金山，CA华盛顿，DC-MD-VA

这些被标记的城市是美国最大的人口中心，它们看起来比其他数据更极端。

组件差异。

第三个输出，潜在的，是包含由相应主成分解释的方差的向量。的每一列分数样本方差是否等于对应的一行潜在的．

潜在的

潜势= 3.4083 1.2140 1.1415 0.9209 0.7533 0.6306 0.4930 0.3180 0.1204

百分比方差解释。

第五个输出，解释，是包含由相应主成分解释的方差百分比的向量。

解释

说明= 37.8699 13.4886 12.6831 10.2324 8.3698 7.0062 5.4783 3.5338 1.3378

创建屏幕情节。

制作一个由每个主成分解释的百分比变异性的屏幕图。

图()pareto(解释)xlabel(主成分的) ylabel (“方差解释(%)”）

这个屏幕图只显示了解释总方差95%的前7个成分(而不是全部9个成分)。在每个组成部分所占的方差量中，唯一明确的中断是在第一个和第二个组成部分之间。然而，第一个分量本身解释了不到40%的方差，因此可能需要更多的分量。您可以看到，前三个主要成分解释了标准化评级中大约三分之二的总可变性，因此这可能是减少维度的合理方法。

霍特林的t平方统计量。

的最后一个输出主成分分析是tsquared，也就是霍特林的T²每一个观测值到数据集中心的多变量距离的统计度量。这是一种找到数据中最极端点的分析方法。

[st2,index] = sort(t²，“下”）；%按降序排序Extreme = index(1);名称(极端,:)

纽约，纽约州

纽约的排名与美国城市的平均水平相差最大。

可视化结果。

在单个图中可视化每个变量的正交主成分系数和每个观测值的主成分得分。

biplot (coefforth (:, 1:2),“分数”分数(:1:2),“Varlabels”、类别);轴([-。26 0.6 -.51 .51]);

在双图中，所有九个变量都用一个矢量表示，矢量的方向和长度表示每个变量对该图中两个主成分的贡献。例如，在横轴上的第一个主成分对所有九个变量都具有正系数。这就是为什么9个向量都指向图的右半部分。第一主成分中系数最大的是第三和第七元素，对应于变量健康和艺术．

第二个主成分，在纵轴上，对变量有正系数教育，健康，艺术,运输，其余五个变量为负系数。这表明第二个组成部分区分了第一组变量值高而第二组变量值低的城市，以及具有相反值的城市。

这个图中的变量标签有些拥挤。你可以排除VarLabels或使用图形窗口工具栏中的“编辑绘图”工具选择一些标签并将其拖动到更好的位置。

这个二维双坐标图还包括329个观测值中的每个点，坐标表示图中两个主成分的每个观测值的分数。例如，图左边缘附近的点的第一主成分得分最低。这些点是根据最大分值和最大系数长度进行缩放的，因此只能从图中确定它们的相对位置。

您可以通过选择来识别图中的项目工具>数据指针在图形窗口中。通过单击一个变量(向量)，您可以读取每个主成分的变量标签和系数。通过单击一个观测点，您可以读取每个主成分的观测名称和分数。你可以指定“Obslabels”,名字在数据光标显示中显示观测名称而不是观测编号。

创建一个三维双坐标图。

您还可以在三维空间中制作双坐标图。

图()biplot (coefforth (:, 1:3),“分数”分数(:1:3),“Obslabels”、名称);轴([-。26 0.8 -.51 .51 -.61 .81]); view([30 40]);

如果前两个主坐标不能充分解释数据中的方差，则此图很有用。控件，旋转图形，以便从不同角度查看它工具>三维旋转．