物理计算单元gydF4y2Ba

这个例子展示了如何在物理计算中使用单位。计算一个降落伞兵的终极速度在国际和英制单位。解空降兵的运动，考虑重力和阻力。gydF4y2Ba

介绍gydF4y2Ba

想象一个伞兵从飞机上跳下来。假设只有两种力作用在伞兵身上:重力和来自降落伞的反作用力。阻力与伞兵速度的平方成正比。gydF4y2Ba

作用在伞兵上的净力可以表示为gydF4y2Ba

$质量gydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba 加速度gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 拖gydF4y2Ba 力gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 引力gydF4y2Ba 力gydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba$ ，gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba$ 伞兵的质量是多少gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba为重力加速度gydF4y2Ba
$vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 是空降兵的速度吗gydF4y2Ba
${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 为阻力常数gydF4y2Ba

定义和解运动方程gydF4y2Ba

定义描述运动方程的微分方程。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaggydF4y2Ba米gydF4y2Ba重金属镉gydF4y2Ba信谊gydF4y2Bav (t)gydF4y2Bam*diff(v(t)，t) + m*g == c_d*v(t)^2gydF4y2Ba

情商=gydF4y2Ba
                 
                   $米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba {cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$

假设降落伞在gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 所以这个方程gydF4y2Ba情商gydF4y2Ba是否对所有的值有效gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba \geqgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ ．用。解析解微分方程gydF4y2BadsolvegydF4y2Ba在初始条件下gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ）gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ ．解表示空降兵的速度随时间的函数。gydF4y2Ba

速度=简化(dsolve(eq, v(0) == 0))gydF4y2Ba

速度=gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba \frac{\sqrt{ggydF4y2Ba} \sqrt{米gydF4y2Ba} 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba \frac{\sqrt{{cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}} \sqrt{ggydF4y2Ba} tgydF4y2Ba}{\sqrt{米gydF4y2Ba}} ）gydF4y2Ba}{\sqrt{{cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}}}$

求阻力常数单位gydF4y2Ba

求阻力常数的单位制单位gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ ．gydF4y2Ba

国际单位制的力单位是牛顿gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba NgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ ．用基底单位来表示，牛顿是gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}} ）gydF4y2Ba$ ．因为它们是等价的，所以它们的单位转换系数是1。gydF4y2Ba

u = symunit;unitConversionFactor (u。N, u.kg * u.m /美国^ 2)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba
                  $1gydF4y2Ba$

拖曳力gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba （gydF4y2Ba tgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$ 必须有相同的单位gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba NgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba$ 就像重力gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba$ ．运用量纲分析，求出单位为gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ ．gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Badrag_units_SIgydF4y2Ba解出drag_units_SI * (u.m / u.s.)^2 == u.NgydF4y2Ba

drag_units_SI =gydF4y2Ba
                 
                   $1gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}$

估计终端速度gydF4y2Ba

定义下列值来描述伞兵的动作。gydF4y2Ba

伞兵的质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 70gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba$
重力加速度gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba ＝gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba ．gydF4y2Ba 81gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba /gydF4y2Ba {年代gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$
阻力系数gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} ＝gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba$

将这些值代入速度方程并简化结果。gydF4y2Ba

vel_SI =潜艇(速度,[g、m、重金属镉],[9.81 * u.m / u。s ^ 2, 70 * u。公斤，40*drag_units_SI])

vel_SI =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba \frac{双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba \frac{tgydF4y2Ba \sqrt{40gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}} \sqrt{\frac{981gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}}}{\sqrt{70gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}} ）gydF4y2Ba \sqrt{70gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba} \sqrt{\frac{981gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}}}{\sqrt{40gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba 千克——质量的物理单位。gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}}}$

vel_SI =简化(vel_SI)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba \frac{3.gydF4y2Ba \sqrt{763gydF4y2Ba} 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba \frac{3.gydF4y2Ba \sqrt{763gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba}{35gydF4y2Ba} \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba}{20.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

计算速度到3位有效数字的数值近似值。gydF4y2Ba

vel_SI = vpa(vel_SI)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba tgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

当重力与阻力平衡时，伞兵接近一个恒定速度。这就是所谓的终极速度，它发生在降落伞的阻力抵消了重力(没有进一步的加速度)的时候。求极限，求终速度gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba ⟶gydF4y2Ba \inftygydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

vel_term_SI = limit(vel_SI, t, Inf)gydF4y2Ba

vel_term_SI =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

将速度转换为英制单位gydF4y2Ba

最后，将速度函数由国际单位制转换为英制单位。gydF4y2Ba

vel_Imperial =重写(vel_SI u.ft)gydF4y2Ba

vel_Imperial =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba tgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba} ）gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba 英尺——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

转换终端速度。gydF4y2Ba

vel_term_Imperial =重写(vel_term_SI u.ft)gydF4y2Ba

vel_term_Imperial =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba 英尺——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

绘图速度随时间变化gydF4y2Ba

把速度作为时间的函数画出来，表示时间gydF4y2BatgydF4y2Ba在几秒内替换gydF4y2BatgydF4y2Ba通过gydF4y2BaTgydF4y2Ba年代,gydF4y2BaTgydF4y2Ba是一个无量纲的符号变量。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaTgydF4y2Bavel_SI = subs(vel_SI, t, t *美国)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba 米——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

vel_Imperial = rewrite(vel_SI, u.ft)gydF4y2Ba

vel_Imperial =gydF4y2Ba
                 
                   $-gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba （gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba TgydF4y2Ba ）gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba 英尺——长度的物理单位。gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba 秒——时间的物理单位。gydF4y2Ba}$

使用命令将表达式与单位分离gydF4y2BaseparateUnitsgydF4y2Ba．用以下方法绘制表达式gydF4y2BafplotgydF4y2Ba．使用。将单元转换为字符串，以用作绘图标签gydF4y2Basymunit2strgydF4y2Ba．gydF4y2Ba

[data_SI, units_SI] = separateUnits(vel_SI);[data_Imperial, units_Imperial] = separateUnits(vel_Imperial);gydF4y2Ba

当空降兵的速度接近稳态时gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba >gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ ．通过在范围内绘制速度图来说明速度是如何接近最终速度的gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba TgydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba$ ．gydF4y2Ba

subplot(1,2,1) fplot(data_SI，[0 2]) title(gydF4y2Ba“国际单位制速度”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba在年代”gydF4y2Ba) ylabel ([gydF4y2Ba“速度”gydF4y2Basymunit2str(units_SI)]) subplot(1,2,2) fplot(data_Imperial，[0 2]) title(gydF4y2Ba“英制单位的速度”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba在年代”gydF4y2Ba) ylabel ([gydF4y2Ba“速度”gydF4y2Basymunit2str (units_Imperial)))gydF4y2Ba

图中包含2个轴对象。标题为“SI单位速度”的轴对象1包含一个类型为functionline的对象。以帝制单位速度为标题的轴对象2包含一个函数线类型的对象。gydF4y2Ba