好的。第一个视频的想法是告诉你的到来,给一种轮廓的合理的学习常微分方程。和系列的很大一部分将视频在二阶方程一阶方程和视频。这些都是你看到的大多数应用程序。这些是你能理解并解决,当你幸运。
所以第一阶方程意味着衍生品进入方程。这是一个不错的方程,我们会解决,我们会花很多时间。的导数是——的变化率y y -未知的变化,随着时间的推移发展在一定程度上取决于解决方案本身。一个微分方程的概念,它连接的变化函数y。
然后输入名为q t,产生自己的变化。他们进入系统。他们成为y的一部分。他们成长,腐烂,摆动,无论y (t)。这是一个线性方程右边,有一个输入,强迫项。
这是一个非线性方程。y的导数。斜率取决于y。所以这是一个微分方程。但f (y y²/ y立方或y的正弦或y的指数。这可能不是线性的。线性意味着我们看到y本身。在这里,我们不会。我们会非常接近得到一个解决方案,因为它是一个一阶方程。最一般的一阶方程,将取决于t、y的函数,输入将改变随着时间的推移。这里,输入只取决于y的当前值。
我可能认为y的钱在银行,增加,衰减振荡。或者我可能认为y是在一个春天的距离。很多的应用程序。
好的。这是一阶方程。和二阶二阶导数。二阶导数是加速度。它告诉你关于曲线的弯曲。
如果我有一个图,我们所知道的一阶导数给出了图的斜率。上升吗?是向下吗?这是最大的吗?
二阶导数告诉你图的弯曲。它是如何消失从一条直线。所以这是加速度。所以牛顿定律,物理学我们都住在一起,会加速一些力量。和有力量,依靠,线性——这是一个关键字在y, y的一次方。
这是更通用方程。在牛顿定律,质量乘以加速度。这包括一个物理常数,质量。
然后会有一些阻尼。如果我有运动,可能会有摩擦放缓下来。这取决于一阶导数,速度。
然后可能有同样的强迫项取决于y本身。可能有一些外力,一些人或机器创造运动。外部强迫项。
这是一个很大的方程。我只是说,在这一点上,我们让事情是非线性的。和我们有一个很好的机会。如果我们得到这些非线性二阶的机会减少。和我们进一步去,我们越需要线性,甚至常系数。m b k。这是真的,我们可以解决的问题当我们变好是一个线性方程,二阶假设——常系数。但几乎把我们能做的明确和真正理解的解决方案,因为线性常系数。再说一遍。这是良好的方程。
我想从两方面的解决方案。金宝搏官方网站如果我有一个很好的像一个指数函数。微分方程的指数是伟大的功能,本系列的巨大功能。你会看到他们一遍又一遍。指数。说f (t = - e t。或e的ωt。e iωt。我是- 1的平方根。
在这些情况下,我们会得到一个类似功能的解决方案。这些是最好的。我们得到了一个函数,我们知道像指数。我们知道我们得到解决方金宝搏官方网站案。
第二个最佳选择是我们特别不知道我们得到了一些功能。在这种情况下,解决方案可能涉及不可或缺的f, f或两个积分。我们有一个公式。这个公式包括一个集成,我们必须做的,查一下或数值。
然后当我们得到完全非线性函数,或者我们有不同的系数,然后我们会数值。所以,宽,宽主题最终数字解决方案的一部分。金宝搏官方网站但是你有一大堆视频功能和很好的解决方案。金宝搏官方网站
好的。这是一阶和二阶。现在有更多的,因为一个系统通常不会只包含一个电阻器或一个春天。在现实中,我们有许多方程。我们需要处理这些。
所以现在y是一个向量。y1, y2, yn。n不同的未知数。n不同的方程。这是n方程。这是一个n×n矩阵。这是一阶。常系数。所以我们能够得到的地方。但这是一个n耦合方程组。
所以这是一个二阶导数。解决方案的二阶导数。但是,yn日元。通常,我们有一个矩阵,对称矩阵,我们希望,乘以y。
所以,线性的。常系数。但几个方程。这将引入特征值和特征向量的概念。特征值和特征向量是线性代数的一个关键一点,使得这些问题很简单,因为它这个耦合问题转化为n非耦合问题。n一阶方程,我们可以单独解决。或者n二阶方程,我们可以单独解决。这是矩阵的目标是分开他们。
好的。然后真正的大现实这个问题是,发现数值和非常有效的解决方案。金宝搏官方网站还有很多东西要学,很多东西要学。和MATLAB数值解是一个一流的包,给你很多的选择。金宝搏官方网站
其中一个选项可能是最喜欢的。ODE常微分方程4 5。这是数字4、5。嗯,克里夫硅藻土,谁写的软件包MATLAB,将创建一系列的并行视频解释对数值解的步骤。
这些步骤开始从一个非常简单的方法。也许我会放下创建者的名字。欧拉。所以你可以知道因为欧拉是几百年前,他没有一台电脑。但他有一个简单的近似的方法。所以欧拉可能颂歌1。现在我们留下欧拉。欧拉是不错,但是不够准确。
ODE 45岁,4和5表明更高的精度,更大的灵活性在这个包中。所以从欧拉,克里夫硅藻土将解释几个步骤,达到真正的包。
这是一个平行的系列,你会看到代码。这将是一个粉笔和黑板系列,我会找到解决方案以指数形式。金宝搏官方网站如果我可以,我想结束这个系列通过偏微分方程。
所以我在这里写一些偏微分方程,所以你明白他们的意思。这就是我希望达到的目标。
所以一个偏微分方程是du / dt,偏导数,二阶导数。所以我现在有两个变量。我总是有时间。这是x方向的空间。这就叫做热方程。这是一个非常重要的常系数,偏微分方程。
所以PDE,有别于颂歌。所以我写下一个。u的二阶导数是相同的右边二阶导数在x方向上。这将是波动方程。
这就像是一阶方程。它就像一个大系统。事实上,就像一个无限大小方程组。一阶。或二阶。热方程。波动方程。
我想还包括拉普拉斯方程。如果我们到达那里。这是系列的最后的目标,超越常微分方程的一些课程。但这里的主要目的是给你的标准明确的基本微分方程,我们可以解决和理解。
好吧,我希望它顺利。谢谢。
