主要内容

协整与误差修正分析

积分和协整

一个单变量时间序列yt是集成如果它能通过差异而趋于平稳。达到平稳性所需的差异数称为积分阶．顺序时间序列d是表示我（d)．表示平稳级数我(0)。

一个n-维时间序列yt是共合体如果某个线性组合β1y1t+…+βnynt分量变量中的一个是平稳的。这个组合叫做a协整关系，和系数β= (β1，…，βn)’协整向量．协整通常与我(1)变量，因为任何我(0)变量与其他变量使用系数为1的向量进行平凡的协整我(0)分量，其他分量上的系数为0。协整的思想可以推广到高阶变量的系统，如果一个线性组合减少了他们的共同积分阶。

协整与传统的经济均衡不同，在传统的经济均衡中，力量的平衡在变量中产生稳定的长期水平。协整变量通常在其水平上是不稳定的，但表现出均值回归的“扩散”(由协整关系推广)，迫使变量围绕共同的随机趋势移动。协整也与正协方差的短期同步性有所区别，正协方差仅度量在每个时间步向一起移动的趋势。修改VAR模型以包括协整变量，以平衡系统的短期动态与长期趋势。

协整与误差修正

协整变量回归常见随机趋势的趋势用表示纠错．如果yt是一个n-维时间序列和β是协整向量，那么这个组合呢β”yt−1测量当时数据中的“误差”(偏离平稳均值)t−1。级数从不平衡中“正确”的比率用一个矢量表示α的调整速度，并将其纳入VAR模型中t通过乘法运算纠错的术语αβ”yt−1．

一般情况下，中变量之间可能存在多个协整关系yt在这种情况下，向量α而且β成为矩阵一个而且B，每列为B表示特定关系的。纠错项变成AB”yt−1＝Cyt−1．将误差修正项添加到差异VAR模型中会产生向量纠错（VEC）模型：

Δ y t ＝ C y t − 1 + ∑ 我 ＝ 1 问 B 我 Δ y t − 我 + ε t ．

如果变量yt都是我(1)，涉及差异的项是平稳的，只留下误差修正项引入长期随机趋势。的军衔影响矩阵C决定长期动态。如果C有完整的等级，系统吗yt在水平上是静止的。如果C秩为0时，纠错项消失，系统在差分中平稳。这两个极端对应于单变量建模中的标准选择。然而，在多元情况下，有中间选择，对应于降低排名在0和n．如果C仅限于降级r,然后C因素(非唯一)n——- - - - - -r矩阵一个而且B与C＝AB’，确实有r变量之间的独立协整关系yt．

通过收集差异，VEC(问)模型可转换为VAR(p)模型的级别，与p＝问+ 1:

y t ＝ 一个 1 y t − 1 + .．. + 一个 p y t − p + ε t ．

VEC之间的转换(问)及VAR(p)的表示n-维系统都是由函数实现的vec2var而且var2vec使用公式:

一个 1 ＝ C + 我 n + B 1 一个 我 ＝ B 我 − B 我 − 1 ， 我 ＝ 2 ， .．. ， 问 一个 p ＝ − B 问 ｝ VEC ( 问 )转至VAR( p ＝ 问 + 1 ） (使用 v e c 2 v 一个 r ）

C ＝ ∑ 我 ＝ 1 p 一个 我 − 我 n B 我 ＝ − ∑ j ＝ 我 + 1 p 一个 j ｝ VAR ( p )至VEC( 问 ＝ p − 1 )(使用 v 一个 r 2 v e c ）

由于两种表示的等价性，具有降秩误差修正系数的VEC模型通常被称为协整VAR模型．特别是，协整VAR模型可以使用标准VAR技术进行模拟和预测。

确定性术语的作用

协整VAR模型通常使用外生项进行扩充Dx：

Δ y t ＝ 一个 B ” y t − 1 + ∑ 我 ＝ 1 问 B 我 Δ y t − 我 + D x + ε t ．

变量x可包括季节性或介入性假数据，或表示数据水平的确定性趋势的术语。由于模型用差异∆表示yt，中的常数项x表示的水平的确定性线性趋势yt线性项代表确定的二次趋势。相比之下，协整级数中的常数项和线性项通常被解释为截距和线性趋势，尽管仅限于由协整关系形成的平稳变量。约翰森[110]考虑AB´的五种情况yt−1+Dx涵盖了宏观经济系统中大多数观察到的行为:

价值 形式的Cyt−1+DX
“氢气”

AB´yt−1．协整序列中没有截点或趋势，数据水平中也没有确定的趋势。
“H1 *”

一个（B´yt−1+c0)．协整序列中存在截点，数据水平中没有确定性趋势。
“标题”

一个（B´yt−1+c0) +c1．协整序列中存在截点，数据水平中存在确定性线性趋势。这是默认值。
“H *” 一个（B´yt−1+c0+d0t) +c1．在协整序列中存在截距和线性趋势，在数据的水平中存在确定性线性趋势。
“H” 一个（B´yt−1+c0+d0t) +c1+d1t．在协整序列中存在截距和线性趋势，在数据的水平中存在确定性的二次趋势。

在计量经济学工具箱™，协整系列之外的确定性术语，c1而且d1的正交补上分别投影常数和线性回归系数来识别一个．

协整建模

整和协整都提供了将变量转化为平稳性的机会。由单位根和平稳性检验识别的积分变量可区别于平稳性。通过协整检验确定的协整变量可以组合成新的平稳变量。在实践中，必须确定这种转换是否会导致更可靠的模型，其中的变量保留了经济解释。

从单变量情况进行概括可能会产生误导。在标准的Box-Jenkins中[23]在单变量ARMA建模方法中，平稳性是一个基本假设。没有它，底层的分布理论和估计技术就会失效。在相应的多元情况下，VAR模型是不受限制的，没有协整，选择就不那么直接了。如果VAR分析的目标是确定原始变量之间的关系，那么差分就会丢失信息。在此背景下，西姆斯，斯托克和华生[183]建议不要求微分，即使是在有单位根的情况下。但是，如果目标是模拟底层数据生成过程，那么集成级别数据可能会导致许多问题。模型规格测试由于估计参数数量的增加而失去动力。其他检验，如格兰杰因果关系的检验，不再具有标准分布，因此无效。最后，由于不会衰减的脉冲响应，长期范围内的预测会受到不一致估计的影响。恩德斯[64]讨论建模策略。

在存在协整的情况下，简单的差分是一种模型错误规范，因为长期信息出现在水平中。幸运的是，协整VAR模型通过将它们与协整关系混合在一起，在差异和水平之间提供了中间选项。由于协整VAR模型的所有项都是平稳的，因此消除了单位根的问题。

协整模型通常由经济理论独立提出。通常用协整VAR模型描述的变量示例包括:

  • 货币存量、利率、收入和价格(货币需求的常用模型)

  • 投资、收入和消费(生产率的常用模型)

  • 消费与长期收入预期(永久收入假说)

  • 国内外市场的汇率和价格(购买力平价)

  • 即期和远期货币汇率及利率(涵盖利率平价)

  • 不同期限利率(期限结构预期假设)

  • 利率与通货膨胀(费雪方程)

由于这些理论描述了变量之间的长期平衡，因此协整模型的准确估计可能需要大量低频(年度、季度、月度)宏观经济数据。因此，这些模型必须考虑样本期间底层数据生成过程中结构变化的可能性。

相比之下，财务数据通常以较高的频率(小时、分钟、微秒)提供。协整金融系列的均值回归价差可以被建模和检验，以寻找套利机会。例如，一价定律(Law of One Price)建议在以下几组变量之间进行协整:

  • 现金流相同的资产价格

  • 资产和股息的价格

  • 现货、期货和远期价格

  • 买入价和卖出价

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