分化

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这个例子展示了如何使用符号数学工具箱™分析地查找和计算导数。在本例中，您将找到f(x)的一阶导数和二阶导数，并使用这些导数来找到局部极大值、最小值和拐点。

一阶导数:寻找局部极小值和极大值

计算表达式的一阶导数可以帮助您找到该表达式的局部极小值和极大值。在创建符号表达式之前，声明符号变量:

信谊x

默认情况下，结果中会包含金宝搏官方网站包含假想组件的解。这里，只考虑的实际值x通过设定假设x是真实的:

假设(x,“真实”的)

例如，创建一个有理表达式(即，分子和分母都是多项式表达式的分数)。

F = (3*x³+ 17*x²+ 6*x + 1)/(2*x³- x + 3)

f =
                  
                    $\frac{3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1}{2 x^{3.} - x + 3.}$

绘制该表达式可以看出，该表达式具有水平渐近线和垂直渐近线，在-1和0之间有一个局部最小值，在1和2之间有一个局部最大值:

fplot (f)网格

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个functionline类型的对象。

求水平渐近线，求极限f为x接近正无穷和负无穷。水平渐近线是Y = 3/2：

Lim_left = limit(f, x， -inf)

lim_left =
                  
                    $\frac{3.}{2}$

Lim_right = limit(f, x, inf)

lim_right =
                  
                    $\frac{3.}{2}$

将这条水平渐近线添加到图中:

持有在Plot (xlim， [lim_right lim_right]，“线型”，“-”。，“颜色”， [0.25 0.25 0.25])

图中包含一个轴对象。axis对象包含2个函数类型为line, line的对象。

求的垂线f，求的极点f：

Pole_pos =极点(f, x)

pole_pos =
                  
                    $- \frac{1}{6 {(\frac{3.}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3.}} - {(\frac{3.}{4} - \frac{\sqrt{241} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3.}$

用数值方法近似求出精确解双功能:

双(pole_pos)

Ans = -1.2896

的局部最小值和最大值f。如果一个点是局部极值(最小值或最大值)，则表达式在该点处的一阶导数等于零。求导数f使用diff：

G = diff(f, x)

g =
                  
                    $\frac{9 x^{2} + 34 x + 6}{2 x^{3.} - x + 3.} - \frac{(6 x^{2} - 1) (3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1)}{{(2 x^{3.} - x + 3.)}^{2}}$

的局部极值f，解方程G == 0：

G0 = solve(g, x)

g0 =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6}} - σ_{1} - \frac{15}{68} \\ \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6}} + σ_{1} - \frac{15}{68} \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{\sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{3.}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{2}}}{578} - 9 {σ_{3.}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{2}} - \frac{361 \sqrt{σ_{2}}}{289}}}{6 {σ_{3.}}^{1 / 6} {σ_{2}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ \frac{2841 {σ_{3.}}^{1 / 3.}}{1156} + 9 {σ_{3.}}^{2 / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{3.} ＝ \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

用数值方法近似求出精确解双功能:

双(g0)

ans =2×1-0.1892 - 1.2860

表达式f有局部最大值在X = 1.286还有一个局部极小值X = -0.189。得到这些点上的函数值潜艇：

F0 = subs(f,x,g0)

f0 =
                  
                    $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{3. σ_{2} - 17 {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{2} - σ_{4} + σ_{1} + \frac{11}{34}}{σ_{6} + 2 σ_{2} - σ_{5} - \frac{219}{68}} \\ - \frac{σ_{4} + 17 {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{2} + 3. σ_{3.} + σ_{1} - \frac{11}{34}}{σ_{6} - 2 σ_{3.} + σ_{5} - \frac{219}{68}} \end{array}) \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{σ_{7}}{{σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ {(σ_{5} - σ_{6} + \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{3.} ＝ {(σ_{6} + σ_{5} - \frac{15}{68})}^{3.} \\ σ_{4} ＝ \frac{\sqrt{σ_{8}}}{{σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{5} ＝ \frac{σ_{7}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6} {σ_{8}}^{1 / 4}} \\ σ_{6} ＝ \frac{\sqrt{σ_{8}}}{6 {σ_{9}}^{1 / 6}} \\ σ_{7} ＝ \sqrt{\frac{337491 \sqrt{6} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{9}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{8}}}{578} - 9 {σ_{9}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{8}} - \frac{361 \sqrt{σ_{8}}}{289}} \\ σ_{8} ＝ \frac{2841 {σ_{9}}^{1 / 3.}}{1156} + 9 {σ_{9}}^{2 / 3.} + \frac{361}{289} \\ σ_{9} ＝ \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

用数值方法近似求出精确解双关于变量的函数f0：

双(f0)

ans =2×10.1427 - 7.2410

在图的极值处添加点标记:

情节(g0 f0,“好吧”)

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个函数类型为line, line的对象。

二阶导数:寻找拐点

计算二阶导数可以让你找到表达式的拐点。计算二阶或更高阶导数最有效的方法是使用指定导数阶的参数:

H = diff(f, x, 2)

h =
                  
                    $\begin{array}{l} \frac{18 x + 34}{σ_{1}} - \frac{2 (6 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 34 x + 6)}{{σ_{1}}^{2}} - \frac{12 x σ_{2}}{{σ_{1}}^{2}} + \frac{2 {(6 x^{2} - 1)}^{2} σ_{2}}{{σ_{1}}^{3.}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 2 x^{3.} - x + 3. \\ σ_{2} ＝ 3. x^{3.} + 17 x^{2} + 6 x + 1 \end{array}$

现在简化结果:

H =简化(H)

h =
                  
                    $\frac{2 (68 x^{6} + 90 x^{5} + 18 x^{4} - 699 x^{3.} - 249 x^{2} + 63 x + 172)}{{(2 x^{3.} - x + 3.)}^{3.}}$

找到的拐点f，解方程H = 0。这里，使用数值求解器vpasolve要计算解的浮点近似:金宝搏官方网站

H0 = vpasolve(h, x)

h0 =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 - 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 + 1.8180342567480118987898749770461 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 + 0.47672261854520359440077796751805 我 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 - 0.47672261854520359440077796751805 我 \end{array})$

表达式f有两个拐点:X = 1.865而且X = 0.579。请注意,vpasolve还返回复解。金宝搏官方网站丢弃那些:

H0 (imag(H0)~=0) = []

h0 =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \end{array})$

在图中添加显示拐点的标记:

情节(h0潜艇(f, x, h0),‘* k”)举行从

图中包含一个轴对象。axis对象包含4个函数类型为line, line的对象。