Creación de矩阵

MATLAB tiene múltiples funciones que crean不同tipos de矩阵。Por ejemplo, puede crear una matriz simétrica con entradas basadas en el triángulo de Pascal:

A = pascal(3)

A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6

哦，bien, puede crear unaMatriz del cuadrado mágicoAsimétrica, cuyas filas y column sumen lo mismo:

B =魔术(3)

B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

Otro ejemplo es una matrix矩形de 3 por 2 de números随性肠。我们在一起，我们在一起兰迪描述el rango de最低英勇帕洛皮,y las乙级联赛dos entradas describen la cantidad de斐乐y一列圆柱。

C = randi(10,3,2)

C = 9 10 10 7 2 1

向量列向量矩阵米Por 1, UN向量fila a una matrix de 1 PornY UN escalar as a matriz de 1 por 1。形式上的规则手册，使用束胸枪[]Para indicar el inicio和el final del arreglo。Dentro de los corchetes，用un punto y coma；这是最后的末日。En el caso de un escalar (matriz de 1 por 1)，没有儿子是必要的。Por ejemplo, estas instrucciones producen unvector column, unvector fila y unescalar:

U = [3;1;4] v = [2 0 -1] s = 7

U = 3 1 4 v = 2 0 -1 s = 7

Para obtener más información sobre la creación y el trabajo con matrices, consulteCrear，串联放大矩阵．

Adición y sustracción de矩阵

La adición o La sustracción de矩阵y arreglos se lleva a cabo元素，por元素．Por ejemplo, si se suma一个yB， y luego se sustrae一个结果就是这样B：

X = a + b

X = 9 2 7 4 7 10 5 12 8

Y = x - a

Y = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

Tanto la adición como la sustracción requieren que ambas矩阵tengan dimensions相容。四种尺寸不相容，不会产生误差:

X = a + c

使用+矩阵的错误维数必须一致。

Para obtener más información, consulte运算法则，矩阵运算法则．

产品trasposición矢量

一个向量丝和一个向量列，一个纵向的乘。结果不一样，一起来producto interno， una matriz, conocida comoproducto externo：

U = [3;1;4);V = [2 0 -1];X = v*u

X = 2

X = u*v

X = 6 0 -3 2 0 -1 8 0 -4

在真实矩阵中，la operación detrasposicionintercambia一个_我jy一个_j我．En el卡索de矩阵complejas也se听头decidir si可以喝啊,没有el conjugado维生素德族entradas complejas del arreglo对位formar洛杉矶Trasposición共轭加达完美．MATLAB utility za el operador apóstrofo (＇) para realizar una trasposición共轭加达完成，y el operador punto y apóstrofo (．＇) para trasponer sin conjugación。在这个世界上，有很多单独的现实元素，有很多错误的结果。

La matriz de ejemploA = pascal(3)西文simetricaY por lo tanto一个“Es igual a一个．罪禁运,B =魔术(3)No es simétrica, por lo que los elements deB”Se reflejan a lo largo de la对角原则:

B =魔术(3)

B = 8 1 6 3 5 7 4 9 2

X = b '

X = 8 3 4 1 5 9 6 7 2

En el caso de los vectors, la trasposición convierte un vector fila En un vector column(反之亦然):

X = v' X = 2 0 -1

如果太多x科莫y子向量列，实向量，积向量x * y没有está definido, pero los DOS productos

x ' * y

y

y ' * x

产生错误的结果。它是悬臂，它是利用，它是频率，它是不同的产物interno, productoescalaro productopunto．包括存在una función奉献para产品punto llamada点．

Para obtener un向量o完整矩阵，z， la悬臂达z”没有单独的traspone el vector o la matriz, sino que también convierte cada elemento complejo en su conjugado complejo。我们的决定，我们想象的一部分，我们的基本要素。我爱你，为你的家庭着想

Z = [1+2i 7-3i 3+4i;6-2i 9i 4+7i]

Z = 1.0000 + 2.0000i 7.0000 - 3.0000i 3.0000 + 4.0000i 6.0000 - 2.0000i 0.0000 + 9.0000i 4.0000 + 7.0000i

La trasposición共轭加达完成zes:

z”

Ans = 1.0000 - 2.0000i 6.0000 + 2.0000i 7.0000 + 3.0000i 0.0000 - 9.0000i 3.0000 - 4.0000i 4.0000 - 7.0000i

La trasposición没有结合的完整，想象的部分，中间的秘密z”。：

z”。

Ans = 1.0000 + 2.0000i 6.0000 - 2.0000i 7.0000 - 3.0000i 0.0000 + 9.0000i 3.0000 + 4.0000i 4.0000 + 7.0000i

完全矢量，自动生成x ' * yY el productoescalary ' * x儿子的接合接合sí。El producto escalarx ' * xUN vector complejo consigo mismo es real。

Multiplicación de矩阵

La multiplicación矩阵se定义的形式上的反射composición变换的线性次等和白土的线性representación压缩的线性系统simultáneas。产品材料C＝ABEstá definido cuando la dimensión de column de一个Es igual a la dimensión de fila deB，这是一条通往联合国的大道。如果一个西文米运动pyB西文p运动n， su productoC西文米运动n．En realidad, el producto puede definirse a través de bucles为， notación de结肠(dos puntos) y productos punto de vectors de MATLAB:

A = pascal(3);B =魔术(3);M = 3;N = 3;为I = 1:m为j = 1:n C(i,j) = A(i，:)*B(:，j);结束结束

MATLAB实用za un asterisco para expresar la multiplicación de矩阵，como enC = a * b．La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, comúnmente，A * B没有igual aB *：

X = a * b

X = 15 15 15 26 38 26 41 70 39

Y = b * a

Y = 15 28 47 15 34 60 15 28 43

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

U = [3;1;4);x = A*u

X = 8 17 30

V = [2 0 -1];y = v*B

Y = 12 -7

矩阵矩形乘法，满足条件，相容条件，维度:展望一个Es (3 / 3yCEs de 3 por 2, puede multiplicarlas para obtener UN resultado de 3 por 2 (la dimensión interior común se cancela):

X = a * c

X = 24 17 47 42 79 77

罪恶的禁运，la multiplicación没有功能在el orden反:

Y = c * a

使用*不正确的矩阵乘法维数时出错。检查第一个矩阵中的列数是否与第二个矩阵中的行数匹配。要执行逐元素的乘法，请使用'.*'。

Puede乘数cualquier cosa con un escalar:

S = 10;W = s*y

W = 120 -70 100

宽多的多重空间，埃斯卡拉implícitamente se扩展para adoptar el mismo tamaño que la otra entrada。一个menudo就是一个conoce扩张escalar．

Matriz identidad

La notación matemática接受和利用的一般原则mayúscula我Para nombrar a las矩阵identidad, es decir，矩阵didiversos tamaños con unos en la对角线的本金和ceros en los demás lugares。Estas矩阵tienen la ricedad de que一个我＝一个y我一个＝一个Siempre que las dimensiones Sean兼容机。

La versión原始de MATLAB没有podía usar我Para este fin, ya que no distinguía entre mayúsculas y minúsculas。此外,我Ya servía como subíndice y como la unidad imaginaria。为我的天堂，我的天堂inglés。脂肪酸的

眼睛(m, n)

Devuelve una matriz identidad矩形de米运动n， mientras que眼睛(n)Devuelve una matriz identidad cuadrada den运动n．

逆矩阵

Si una矩阵一个Es cuadrada y no singular(限定词distinto de cero)， entonces, las ecuaciones一个X＝我yX一个＝我Tienen la misma soluciónX．Esta solución se denomina lainversa德一个Y se indica mediante一个^－1．Tanto la función发票Como la expresión^ 1逆矩阵微积分。

A = pascal(3)

A = 1 1 1 1 2 3 1 3 6

X = inv(A)

X = 3.0000 -3.0000 1.0000 -3.0000 5.0000 -2.0000 1.0000 -2.0000 1.0000

* X

Ans = 1.0000 00 0.0000 1.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000

埃尔determinanteCalculado por la función依据国家的媒介因素transformación母系的线性描述。那是决定因素，那是准确的，那是母体单数反之，Y不存在。

d = det(A)

D = 1

阿古纳斯矩阵之子属于接近奇异Y, pese al hecho de que存在逆矩阵，el cálculo es易受影响的转移错误numéricos。脂肪酸的气孔导度它厄尔Número de condición para la inversión，西班牙语，西班牙语precisión西班牙语，西班牙语inversión西班牙语。El número de condición oscila desde1Para una matriz numéricamente estable hasta正Para una matriz单数。

c = cond(A)

C = 61.9839

逆行之必然explícita母体之必然。这是一个解决问题的机构一个x＝b，对你有用erróneamente la función发票．一个解决问题的方法ecuación，一个时间问题的方法ejecución和一个时间问题的方法precisión numérica，一个解决问题的方法x = A\bDe la matriz。Para obtener más información, consultemldivide．

张量de Kronecker的产物

El producto de Kronecker，克隆亚麻(X, Y)， de DOS矩阵，la矩阵，de市长tamaño这是一个可能的元素的乘积的部分XCon los elements deY．Si la矩阵X西文米运动n， y la matrizY西文p运动问,因此,克隆亚麻(X, Y)西文国会议员运动nq．Los elements están关于权利的争论和权利的问题X这是一个多重的矩阵Ycompleta:

[x (1,1)* y x (1,2)* y…]X(1,n)*Y……X(m,1)*Y X(m,2)*Y…X (m, n) * Y]

克罗内克矩阵计算表与重复矩阵对照表pequeñas。Por ejemplo, siX2的矩阵2

X = [1 2 3 4]

eI = eye(2,2)Es la matriz identidad de 2 por 2, entonces:

克隆亚麻(X,我)

Ans = 1 0 2 0 0 1 0 2 3 0 4 0 0 3 0 4

y

克隆亚麻(I (X)

Ans = 1 2 0 0 3 4 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 4

Además de la función克隆亚麻， también sirven para replicar arreglos las funcionesrepmat，repelemyblkdiag．

诺马斯向量y矩阵

拉诺玛-pDe UN矢量x，

Se calcula mediante规范(x, p)．La operación está定义para cualquier valor dep> 1, pero los valores más comunes dep(1,2) e∞。英勇无畏p= 2, que correspondence de a lalongitud euclidianao向量的大小：

V = [2 0 -1];[范数(v,1)范数(v)范数(v,inf)]

Ans = 3.0000 2.2361 2.000

拉诺玛-p母亲一个，

Se puede calcular parap= 1,2, e∞usando规范(A, p)．新生，勇者必亡p= 2:

A = pascal(3);[norm(A,1) norm(A) norm(A,inf)]

Ans = 10.0000 7.8730 10.0000

关于数学的，关于数学的，关于数学的，关于数学的，关于数学的vecnorm：

vecnorm (A)

Ans = 1.7321 3.7417 6.7823

多过程联合功能álgebra直线

MATLAB admite多过程计算变量函数álgebra线性函数numéricas que actúan元素por元素。我们正在进行的活动automáticamente在不同的过程中。Para que una función o expresión se ejecute más rápido en varias CPU, se deben cumplir una serie de condiciones:

Los operadores de multiplicación de矩阵(X * Y)Y矩阵势能(X ^ p)联合国重要的节日，在我们之间的世界precisión在我们的世界tamaño (del orden de diez mil elements)。Las funciones de análisis de矩阵依据，rcond，赫斯yexpmTambién muestran联合国在和平进程中意义的增加precisión伟大的tamaño。

Consideraciones computacionales

问题的统一más重要问题cálculo técnico国家问题solución国家直线系统simultáneas。

En notación material, el problema general se se siguiente manera: dadas dos matrices一个yb，¿existe una matriz únicaxDe manera tal que一个x＝box一个＝b?

结果didáctico考虑un ejemplo de 1 por 1。Por ejemplo, la ecuación

¿tiene una solución única?

自然，la respuesta es sí。La solución única de La ecuación esx= 3。La solución se obtiene fácilmente a través de La división:

La solucion没有Se obtiene comúnmente mediante el cálculo de la inverse de 7, es decir 7^－1= 0.142857……，y陆ego multiplicando 7^－1超过21岁。Este proceso sería más arduo, ysi 7¹联合国代表número结束dígitos, también sería正式通知。Pueden aplicicaciones muy semejantes a los conjuntos de ecuaciones lineales con más de una incógnita。用MATLAB重新求出逆矩阵中的二项式。

unque no es una notación matemática estándar, MATLAB utiza la terminología de la división, común en el caso de escalares, para descriir la solución de un sistema general de ecuaciones simultáneas。Los dos símbolos de división，barra对角， /， ybarra invertida， \，对应一个las DOS funcionesmrdivideymldivideMATLAB。在这方面的操作和利用在这方面的情况下，在这方面的环境下，在这方面的空间，在这方面，在这方面的系数:

体贴的“dividir”ambos lados de la ecuación，斧头＝boxA＝b运动一个．系数矩阵一个Siempre está en el " denominador "。

Las condiciones de compatibilidad de dimensions parax = A\bRequieren que las matrices一个ybTengan la misma cantidad de filas。Entonces, la soluciónxTiene la misma悬臂式柱体bY su dimensión de filas es igual a la dimensión de column de一个．帕拉x = b/A，在形成层间的filas和column的角色。

En la práctica, las ecuaciones lineales del tipo斧头＝bSe Dan con mayor frecuencia que aquellas del tipoxA＝b．连续地，拉巴拉颠倒的美国con mucha市长菲库恩西亚que拉巴拉对角线。El resto de esta sección se concentra en El operador barra invertida;巴拉对角线下的同人之路:

(b/A)' = (A'\b')。

没有必要的系数矩阵一个海cuadrada。如果一个Tiene UN tamaño de米运动n， entonces, existen tres casos:

分割算法。El operadormldivide不同的机制solución对系数矩阵的区别。形式诊断的方法automática中间的公式análisis系数矩阵。Para obtener más información, consulte la sección " Algoritmos " de la página de referencia demldivide．

Solucion一般

La solución厄瓜多尔线性系统总para un sistema de ecuaciones lines斧头＝b描述一下可能的答案。Se puede encontrar la solución一般中音:

Luego, se puede escribir cualquier solución de斧头＝bComo la suma de la solución特别段落斧头＝b，德尔帕索2,más una combinación线性德洛矢量德基德尔帕索1。

En el resto de esta sección, se描述cómo usar MATLAB para buscar una solución特定para斧头＝b， como en el paso 2。

sistema cuadrados

La situación más común包括系数矩阵一个Y UN único向量列bA la derecha。

系数矩阵不是单数。Si la矩阵一个No es单数，entonces la solución，x = A\b， tiene el mismo tamaño queb．比如:

A = pascal(3);U = [3;1;4);x = A\u x = 10 -12

Puede confirmarse que* xEs精确的igual au．

如果一个yb儿子cuadradas y tienen el mismo tamaño，x = A \ bTambién tiene ese tamaño:

B =魔术(3);X = A\b X = 19 -3 -1 -17 4 13 6 0 -6

Puede confirmarse que* xEs精确的igual ab．

Estos do ejemplotienen soluciones exactas y de números enteros。Esto se debe a que se escogió como matrix de系数帕斯卡(3)， que es una matriz de rango completo(没有单数)。

系数矩阵是奇异的。Una matriz cuadrada一个Es奇异si no tiene柱线性独立。如果一个Es单数，la solución para斧头＝b世上无难事única。倒伏线虫，一个\ b， emite una advertencia si一个Es casi singular o si detecta una singularidad exacta。

如果一个Es奇异y斧头＝bTiene solución, se puede encontrar una solución specific que no es única。Para ello, escriba

P = pinv(A)*b

pinv (A)Es una pseudoinversa de一个．如果斧头＝bNo tiene solución exacta, entoncespinv (A)Devuelve una solución de mínimos cuadrados。

比如:

A = [1 3 7 -1 4 4 1 10 18]

是单数，como puede verificar si esbe

rank(A) ans = 2

Debido a que一个没有一个完整的终点，没有一个完整的终点。

Soluciones正序连赢帕拉b = (5; 2; 12)， la ecuación斧头＝bTiene una solución exacta, dada por:

pinv(A)* bans = 0.3850 -0.1103 0.7066

Para comprobar quepinv b (A) *Es una solución精确，escriba

A*pinv(A)* bans = 5.0000 2.0000 12.0000

Soluciones de mínimos cuadrados。罪恶禁运B = [3;6;0]，斧头＝bNo tiene solución exacta。En este caso，pinv b (A) *Devuelve una solución de mínimos cuadrados。如果作旁切

A*pinv(A)* bans = -1.0000 4.0000 2.0000

没有原始的矢量b．

Puede determinar si斧头＝bTiene una solución精确的，自动的，自动的，还原的，自动的，自动的[b]．Para hacerlo en estememplo，介绍

rref([A b]) ans = 1.0000 0 2.2857 00 1.0000 1.5714 0000 0 1.0000

Dado que la fila劣质continene solo ceros, con excepción de la última entrada, la ecuación no tiene solución。En este caso，pinv (A)Devuelve una solución de mínimos cuadrados。

sistema sobredeterminados

Este ejemplo muestra cómo关于实验数据的曲线调整方法。

Una cantidady在时间的变化中t不同的生产方式。Para introduction, los datos, verlos en una, utilice las siguentes, instrucciones。

T = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';Y =[。]82 .72 .63 .60 .55 .50]';B = table(t,y)

B =6×2表T y ___ ____ 0 0.82 0.3 0.72 0.8 0.63 1.1 0.6 1.6 0.55 2.3 0.5

意图模型的数据función指数下降

$y（t）＝c_1+c_2{e}^{-t}$．

La ecuación前indica que el vectorySe debe近中线una combinación直线de otros DOS向量。唯一不变的连续向量，唯一不变的连续向量，唯一不变的连续向量exp (- t)．Los desconocidos系数， $$c_1$$y $$c_2$$， e pueden calculus haciendo UN ajustde mínimos关于模型的计算方法的最小计算方法。存在的seis ecuaciones en dos incógnitas，代表中间的母体6 por 2。

E = [ones(size(t)) exp(-t)]

E =6×21.0000 1.0000 1.0000 0.7408 1.0000 0.4493 1.0000 0.3329 1.0000 0.2019 1.0000 0.1003

使用el operador barra invertida para obtener la solución de mínimos cuadrados。

c = E\y

c =2×10.4760 - 0.3413

天堂之路，天堂之路mínimos天堂之路，天堂之路:

指导指南evalúan增量统一模型t，吕戈代表gráficamente原始资料的结果:

T = (0:0.1:2.5)';Y = [ones(size(T)) exp(-T)]*c;情节(T Y“- - -”、t、y,“o”）

E * c没有精确的标准y，我们的差别podría我们的错误medición我们的原始资料。

乌纳矩阵矩形一个没有线性独立的无烯柱。如果一个Es de rango亏，entonces, no hay una solución única de mínimos cuadrados paraAx = b．一个\ B发出你的声音一个Es de rango deficiency y produce una solución de mínimos cuadrados。喝水可以utilizarlsqminnormPara encontrar la soluciónX我们的生活mínima我们的灵魂。

sistema subdeterminados

在我们的内心深处cómo la solución在我们的内心深处única。Los sistemas lineales subdeterminados包括más incógnitas que ecuaciones。En MATLAB, la operación de división material izquierda encentra una solución de mínimos cuadrados básica que, como máximo, tiene米不同的成分，不同的矩阵系数米运动n．

El siguente es un breve ejemplo al azar:

R = [6 8 7 3;3 5 4 1] rng(0);B = randi(8,2,1)

R = 6 8 7 3 3 5 4 1 b = 7 8

El sistema linearRp = b包括DOS厄瓜多尔瓜切罗incógnitas。连续性肠道系数的矩阵pequeños，是我们的同伴格式Para visualizar la solución en formato racional。La solución特别的se obtiene de La siguiente manera:

格式老鼠p = R\b

P = 0 17/7 0 -29/7

天意合一(2页)， debido a queR (: 2)Es la column deRCon la Norma de mayor tamaño。我的生命中没有任何事物(4页)，雅阙R (: 4)Domina tras la eliminación deR (: 2)．

La solución一般完整的系统次级确定和中间的puede caracterizar La adición depA una combinación空空间矢量的线性任意法función零Con una opción que solicita una base racional。

Z = null(R，“r”）

Z = -1/2 -7/6 -1/2 /2 1 0 0 1

我要确认R * Z这是我生命的一部分R*x - b结果pequeño para cualquier向量x,在哪里

x = p + Z*q

Dado que las columnas deZ零空间矢量和产品之子Z *问Es una combinación线性de dichos向量:

Para ilustrarlo, escoja un问任意解释x．

Q = [-2;1);x = p + Z*q;

calculle la norma del residuo。

格式短范数(R*x - b)

Ans = 2.6645e-15

Cuando hay infinitas soluciones disponbles, la solución con la norma mínima resulta de specialinterés。喝水可以utilizarlsqminnormPara calcular la solución de mínimos cuadrados de Norma mínima。Esta solución可能的英勇之人常模(p)．

p = lsqminnorm(R,b)

P = -207/137 365/137 79/137 -424/137

Resolución变种人的生命

阿尔古诺斯问题解关于拉resolución关于线性系统，关于空间的矩阵的系数一个，不同的lados derechosb．不同的价值bEstán我不知道我们的时间有多短b厄瓜多尔中部地区系统变化的柱体和解决方法联合国único厄瓜多尔中部系统变化的柱体和解决方法:X = A\[b1 b2 b3…]．

没有任何阻碍，没有任何行动，没有任何价值b没有están在时间上的错误，在意义上的问题tendrá在连续形式上的问题的解决方法。中间斜肋斜肋系统(/)反肋斜肋系统(\)，系数矩阵的因式运算一个Y utilitza esta descomposición de矩阵para calcular la solución。禁运罪，罪行的一方，也有同样的罪行b不同的，el operador calculará la misma descomposición de一个， lo cual es UN cálculo冗余。

La solución para este problems es realizar un cálculo previo con La descomposición de一个Y, a continuación，再利用因子对不同值的解析b．罪恶禁运，en la práctica, puede que sea difícil realizar el cálculo previo de la descomposición de esta manera，雅que se debe saber qué descomposición calcular (LU, LDL, Cholesky等)y cómo multiplicar los factor para resolver el问题。Por ejemplo, con la descomposición LU, se debenresolver do sistema lineales para resolver el sistema originalAx = b：

[L,U] = lu(A);x = U \ (L \ b);

在cambio, para resolver sistema lineales con varios derechos连续，lo más建议我们的对象分解．Estos对象的许可，批准，las ventajas, rendimiento, que el cálculo previo de la descomposición de矩阵，pero没有必要的军刀cómo矩阵因子。Puede reemplazla descomposición在前面的路，在前面的路，在前面的路，在前面的路，在前面的路:

dA =分解(A，“陆”）;x = dA\b;

Si no sabe concerteza qué descomposición utility，分解(一)纠正错误función挽回过失一个，算法类似于lo que hace la barra invertida。

Aquí最简单的，朴素的，清醒的，有可能的，文明的，文明的。La prueba resuelve el mismo sistema linear disperso 100 vous usando La barra invertida (\) y La función分解．

N = 1e3;A = sprand(n,n,0.2) + speye(n);B = ones(n,1);%反斜杠解决方案抽搐为k = 1:100 x = A\b;结束toc

运行时间为9.006156秒。

%分解溶液tic dA =分解(A);为k = 1:100 x = dA\b;结束toc

运行时间为0.374347秒。

Para este problem, la solución分解多的地方más rápida反潮汐的地方。罪恶禁令，简单的罪恶。

Metodos iterativos

Si la矩阵系数一个Es grande y分散化，generalmente, los métodos de factorización没有儿子的效率。洛杉矶metodos iterativos近似解的总称。MATLAB ofrece varios métodos迭代对操纵矩阵解熵分布。

Multiproceso computacional

MATLAB admite多过程计算变量函数álgebra线性函数numéricas que actúan元素por元素。我们正在进行的活动automáticamente在不同的过程中。Para que una función o expresión se ejecute más rápido en varias CPU, se deben cumplir una serie de condiciones:

拉斯维加斯一些必要发票，lscov，linsolveymldivide我们的生命之旅precisión我们的生命之旅tamaño(我们的生命之旅más)我们的生命之旅está我们的生命之旅。

Introduccion

矩阵因式分解问题分析方法sección利用矩阵三角， don ' d todos los elements ubicados por encima o por debajo de la diagonal son cero。包含矩阵的线性方程组fácil y rápidamente a través de la sustituciónhacia进来吧ohacia atra．

Factorización de Cholesky

La factorización de Cholesky express a una matriz simétrica como el producto de una matriz triangle y su matriz traspuesta。

在哪里REs una matrix上三角形。

没有todas las矩阵simétricas se pueden factorizar de esta manera。Las矩阵que tienen diccha factorización se califican como definidas positive。关于对角要素的暗示一个对角线上的元素是正确的，没有儿子是伟大的。帕斯卡比例矩阵。A lo largo de este capítulo, la matriz de ejemplo一个哈西多·帕斯卡之母3波3。Por un momento, considere la matriz de 6 Por 6

A = pascal(6) A = 1 1 1 1 1 12 3 4 56 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 15 15 35 35 70 126 1 6 21 56 126 252

Los elements de一个子二项系数。万物之源，万物之美，万物之北。La factorización de Cholesky es La siguiente:

R =胆固醇(A) R = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 0 0 1 3 6 10 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 1

Los elements son, nuevamente，二项式系数。El hecho de que‘* REs igual a一个二项系数的乘积的总和。

La factorización de Cholesky permite que el sistema linear

海上重建

Debido a que el operador barra反演反演三角系统，este sistema puede resolverse fácilmente en el entorno de MATLAB con la siguiente operación:

x = R\(R'\b)

如果一个西文n运动n， la complejidad computacional de胆固醇(A)es O (n^3.)，在所有的问题上都能得到解决，在所有的问题上都能得到解决(n²）.

Factorizacion陆

La factorización LU, o eliminación gaussiana, expresa cualquier matriz cuadrada一个Como el producto de una permutación de una matriz三角劣势y una matriz三角优势:

在哪里lEs una permutación de una matrix三角下con en su对角线yUEs una matrix上三角形。

Las permutacaciones son必要动机tanto teóricos como计算。La matriz

在形成层间SUS DOS filas中没有快速生成矩阵三角形的方法。女姨妈

Se puede expresar como el生产矩阵三角形，cuandoεEs pequeño, los elements de los factors son grandes和amplían los errors。希望有一天，没有必要的安排，就会有方便。万物的轴心，特殊的割据，基本的事物lEstán在我们的生命中有一个重要的要素U没有儿子多más伟大的人一个．

比如:

[L,U] = lu(B) L = 1.0000 00 0.3750 0.5441 1.0000 0.5000 1.0000 0 U = 8.0000 1.0000 6.0000 0 8.5000 -1.0000 00 5.2941

拉factorización吕得一个直系Permite que el sistema linear

A*x = b

Se resuelva rápidamente de la siguiente manera:

x = U\(L\b)

行列式和逆式计算factorización LU con la fórmula

det(A) = det(L)*det(U)

e

inv(A) = inv(U)*inv(L)

También es可能的计算器不确定性condet(A) = prod(diag(U))，决定性的信号podrían反演。

Factorizacion QR

Una matrizortogonal， o矩阵与柱体的垂直，es矩阵的真正的柱体，tienen纵向的统一，垂直的中心sí。如果问正角，钩状

在哪里我是同一的母体。

原始坐标矩阵más二维坐标矩阵:

完整矩阵的研究，término通讯员unitaria．Las矩阵ortogonales y unitarias son方便para el cálculo numérico porque mantienen la longitude, conservan los ángulos y no amplían los errors。

La factorización正角，o QR，表示矩阵矩形，可生成矩阵正角，o单角，矩阵三角形上。También podría incluir una permutación de columnas:

o

在哪里问Es ortogonal o onearia，REs三角形上yPEs una permutación。

存在变型法factorización QR: de tamaño total o parcial, y con permutación de column o sin ella。

有决定的线性系统包括矩形矩阵más圆柱的filas que column, es decir，米运动n反对米>n．La factorización QR de tamaño总产生una matriz cuadrada ortogonal问德米运动米yuna矩阵矩形三角形上R德米运动n：

C=gallery('uniformdata'，[5 4]， 0);[Q,R] = qr(C) Q = 0.6191 0.1406 -0.1899 -0.5058 - 0.5522 0.1506 - 0.4084 - 0.5034 - 0.5974 - 0.4475 0.3954 -0.5564 - 0.6869 -0.1478 -0.2008 0.3167 0.6676 0.1351 -0.1729 -0.6370 0.5808 -0.2410 -0.4695 0.5792 -0.2207 R = 1.5346 1.0663 1.2010 1.4036 0 0.7245 0.3474 -0.0126 00 0.9320 0.6596 00 00 0.6648 00 00 00

En muchos casos, las últimasM - n一列圆柱德问没有必要的儿子，你是我生命的一部分R．Por lo tanto, la factorización QR de tamaño parcial产生una matrix矩形问德米运动nCon column ortonormale y una matriz cuadrada三角形优越R德n运动n．对位el比如de 5为4,el ahorro没有es tan significativo,佩罗帕拉是马斯矩阵y altamente矩形,el ahorro太多de tiempo科莫德记忆测试ser bastante重要:

[Q,R] = qr(C,0) Q = 0.6191 0.1406 -0.1899 -0.5058 0.1506 - 0.4084 0.5034 0.5974 0.3954 -0.5564 0.6869 -0.1478 0.3167 0.6676 0.1351 -0.1729 0.5808 -0.2410 -0.4695 0.5792 R = 1.5346 1.0663 1.2010 1.4036 0 0.7245 0.3474 -0.0126 0 0 0.9320 0.6596 0 0 0 0 0.6648

对比la factorización LU, la factorización没有需要透视的东西。罪恶的封锁，我们的行为permutación可选的柱体，我们的行为，我们的行为，我们的行为，我们的行为，我们的行为。En cada paso de la factorización, se usa como base la column con la norma más grande de la matriz restante sin factorizar。对角线的元素R阿帕雷森，奥斯顿，后代，和，cualquier，依赖，直系中心，柱状体，和，观察，元素。Para el pequeño ejemplo que se muestra aquí， la segunda column deCTiene una Norma más一个大的原始世界，一个大的形成层柱:

[Q,R,P] = qr(C) Q = -0.3522 0.8398 -0.4131 -0.7044 -0.5285 -0.4739 -0.6163 0.1241 0.7777 R = -11.3578 -8.2762 0 7.2460 0 0 P = 0 11 0

结合的问题tamaño柱体排列的特殊问题，柱体向量的简单问题permutación，没有矩阵的问题permutación:

[Q,R,p] = qr(C,0) Q = -0.3522 0.8398 -0.7044 -0.5285 -0.6163 0.1241 R = -11.3578 -8.2762 0 7.2460 p = 2

La factorización QR变换系统线性确定系统三角等价。La表达式的值

范数(A*x - b)

Es igual a

范数(Q*R*x - b)

La multiplicación欧几里得规范的原始矩阵，de manera que esta expresión también es igual a

范数(R*x - y)

在哪里y = Q'*b．Dado que las últimas filas米-n德RSon cero, esta expresión se divide en DOS partes:

范数(R(1:n,1:n)*x - y(1:n))

y

规范(y (n + 1: m))

Cuando一个完全完成，可能成功x海鬣蜥，海鬣蜥。Entonces, la segunda expresión devuelve la norma del residuo。Cuando一个没有完美的距离，没有三角形的结构RPermite hallar una solución básica para el problem de mínimos cuadrados。

Uso de multiprocesos para factorización

El software de MATLAB admite multiprocesos计算变量函数álgebra线性函数numéricas que actúan元素元素。我们正在进行的活动automáticamente在不同的过程中。Para que una función o expresión se ejecute más rápido en varias CPU, se deben cumplir una serie de condiciones:

拉斯维加斯一些必要陆yqr联合国重要的增量的世界的速度与秩序的precisión多的多的tamaño (del orden de diez mil elements)。

Descomposición祝你平安

联合国英勇自动y联合国向量自动De una matriz cuadrada一个孩子，尊敬的，联合国escalarλY, UN，矢量积分υ是satisfacen

在母体对角线上的正义对角线Λ在母体对角线上的正义对角线上的正义向量V， se tiene que

如果V没有单数，esta expresión se convierte en la descomposición en valores丙

n buen ejemplo es la矩阵系数ecuación微分dx/dt＝一个x：

A = 0 -6 -16 2 -16 -5 20 -10

La solución a esta ecuación se expresa en términos de La指数矩阵x（t) =e^t一个x（0)．La instruccion

lambda = eig(A)

生成连续性丙量矢量列一个．祝你幸福美满，幸福美满:

Lambda = -3.0710 -2.4645+17.6008i -2.4645-17.6008i

这部分是真实的，失败的，失败的，失败的，失败的e^λt天是金色的t．想象的部分，没有不做的事，没有不做的事，没有不做的事ω，摆动部件，sin(ωt)， a la solución de la ecuación差别化。

论与论，eig对角线上的丙向量和丙矩阵上的值的微积分:

[V,D] = eig(A)

V = -0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i -0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i -0.4248 -0.6930 -0.6930 D = -3.0710 00 0 -2.4645+17.6008i 00 0 -2.4645-17.6008i

El引物向量propio es real y otros dos向量子共轭完全入口sí。三向量están归一化的欧式几何，规范(v, 2)， es igual a uno。

La matrizV * D *发票(V)，关于形式的描述más很好V * D / V一致，一致一个Dentro del error de redondeo。Por su parte，发票(V) * * V阿,V \ * V一致，一致DDentro del error de redondeo。

上帝保佑múltiples

阿尔古纳斯矩阵没有tienen descomposición在丙的价值。Estas矩阵没有对角化。比如:

A = [1 -2 1 0 1 4 0 0 3]

矩阵段

[V,D] = eig(A)

生产

V = 1.0000 1.0000 -0.5571 0 0.0000 0.7428 00 0.3714 d = 1 000 1 000 3

祝你好运λ= 1。La primera和La seunda columnV儿子达到。在矩阵之间，不存在完全的线性向量。

Descomposición德舒尔

cálculos一切都不需要你的帮助。En su lugar, están basados En la descomposición de Schur

在哪里U是矩阵或多边形y年代在对角线上，是矩阵三角形的上块，是1 / 1 y / 2 / 2。万物之间，万物之间，万物之间，对角线年代， mientras que las columns deU比例，una, base, ortogonal, conededades, numéricas，多美，多美，联合国，和谐，吉祥。

我的天哪，比较我的勇气和我的精神和我的精神:

A = [6 12 19 -9 -20 -33 4 9 15];[V,D] = eig(A)

V = -0.4741 + 0.0000i -0.4082 - 0.0000i -0.4082 + 0.0000i 0.8127 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i -0.3386 + 0.0000i -0.4082 + 0.0000i -0.4082 - 0.0000i D = -1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.00000 i

[U,S] = schur(A)

U = -0.4741 0.6648 0.5774 0.8127 0.0782 0.5774 -0.3386 -0.7430 0.5774 s = -1.0000 20.7846 -44.6948 0 1.0000 -0.6096 0 0.0000 1.0000

La matriz一个有缺陷的，没有联系的联合国完整的线性关系的向量(第一个和第三个柱体，deV儿子达到)。这是我的人生VSon linealmente independente, tiene UN número de condición grande de proximadamente ~1 e8．罪禁运,舒尔不同基底向量的普德计算U．展望未来Ues ortogonal,cond(U) = 1．

La matriz年代在对角线上，在对角线上，在对角上，在对角上，在对角上，在对角上，在对角上，在对角上，在对角上，在对角上，在对角上。在2号码头上祈求和平también在2号码头上祈求和平一个：

eig (S (2:3, 2:3))

Ans = 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i

Cálculo SVD por lotes

我无法理解recopilación错误的矩阵tamaño，无法理解我无法理解的结果圣言会．在公式中，串联矩阵的多维应用pagesvdPara efectutuesesiciiciones valores奇异点在最后páginas与唯一的羊驼在一起función。

Por ejemplo，考虑una recopilación de tres矩阵de 2 Por 2。连接的las矩阵在un arreglo de 2p2p3con la función猫．

A = [0 -1;1 0];B = [-1 0;0 1];C = [0 1;1 0];X = cat(3,A,B,C);

Ahora, utilicepagesvd真难以想象。

[U,S,V] = page (X);

Para cada página deX， hay páginas记者en las salidasU，年代yV．Por ejemplo, la matriz一个Se encuentra en la primera página deX， y su descomposición se da porU (:: 1) * S (:,: 1) * V(:,: 1)”．

近似SVD德兰戈巴霍

Para matrices分散式大，no siempre es práctico utilitzar圣言会帕拉calcular待办事项y向量奇点。求求，求求，求求，求奇异值más大，求奇异值，求矩阵分散，求奇异值，求5000，求5000。

这是唯一的问题，这是唯一的问题，这是唯一的问题，这是唯一的问题圣言会ysvdsketchEn vez de圣言会．

Por ejemplo，考虑的母体散布的aleatoria de 1000 Por 1000 con densidad de proximadamente 30%。

N = 1000;A = sprand(n,n,0.3);

Los seis valores singares más grandes son

S = svds(A) S = 130.2184 16.4358 16.4119 16.3688 16.3242 16.2838

Además, los valores singularity más pequeños son

S = svds(A,6，' minimal ') S = 0.0740 0.0574 0.0388 0.0282 0.0131 0.0066

Para矩阵más pequeñas que pueden caber en la memoria en su versión completa，完整的(一个)， el uso de圣言(全(A))Puede ser todavía más rápido que圣言会osvdsketch．没有任何问题，没有任何问题需要解决圣言会osvdsketch．