构建和操作不确定模型

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这个例子展示了如何使用鲁棒控制工具箱™来构建不确定状态空间模型，并分析具有不确定元素的反馈控制系统的鲁棒性。

我们将展示如何指定不确定的物理参数，并从这些参数创建不确定的状态空间模型。您将看到如何使用函数评估随机和最坏情况参数变化的影响usample和robstab．

两车和弹簧系统

在这个例子中，我们使用下面的系统，由两个由弹簧连接的无摩擦小车组成k：

图1:两车和弹簧系统。

控制输入就是力u1适用于左车。要控制的输出是位置日元正确的车。反馈控制的形式如下:

$u_{1} = C （年代）（ r - y_{1} ）$

此外，我们还使用了三导联补偿器:

$C （年代） = 100 （年代 + 1 ）^{3.} / （ 0 ． 001 年代 + 1 ）^{3.}$

我们使用下面的代码创建这个补偿器:

S = zpk(“年代”）;拉普拉斯s变量C = 100*s ((s+1)/(.001*s+1))^3;

框图模型

两车和弹簧系统由下图所示的方框图建模。

图2:两车弹簧模型框图。

不确定实参数

由于弹簧的值是恒定的，控制小车的问题变得复杂了k车的质量m1, m2只有20%的准确率: $k = 1 ． 0 \pm 20 ％$ ， $米 1 = 1 ． 0 \pm 20 ％$ , $米 2 = 1 ． 0 \pm 20 ％$ ．为了捕获这种可变性，我们将使用尿素的功能:

K =真实的(“k”, 1“百分比”, 20);M1 = ureal“m1”, 1“百分比”, 20);M2 =真实的(“平方米”, 1“百分比”, 20);

不确定的购物车模型

我们可以将购物车模型表示如下:

$G_{1} （年代） = \frac{1}{米_{1} {年代}^{2}} ， G_{2} （年代） = \frac{1}{米_{2} {年代}^{2}}$

给定不确定参数m1和平方米，我们将为G1和G2构建不确定状态空间模型(USS)，如下所示:

G1 = 1/s²/m1;G2 = 1/s²/m2;

闭环系统的不确定模型

首先，我们将构建一个植物模型P对应于上面所示的框图(P将u1映射到y1):

%无弹簧内块F(s)F = [0; g1]*[1;-1] +[1;-1]*[0, g2]

具有2输出，2输入，4状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成:m1:不确定实数，标称值= 1，变异性=[-20,20]%，1次出现m2:不确定实数，标称值= 1，变异性=[-20,20]%，1次出现类型为“F.NominalValue”查看标称值，“F.Uncertainty”与不确定元素交互。

连接弹簧k

P = lft(F,k)

具有1个输出，1个输入，4个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成:k:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现m1:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现m2:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现类型“P.NominalValue”查看标称值，“P.Uncertainty”与不确定元素交互。

反馈控制u1 = C*(r-y1)作用于被控对象P如下图所示:

图3:闭环系统的不确定模型。

我们将使用反馈函数来计算从r到y1的闭环传递。

%不确定开环模型为L = p * c

具有1个输出，1个输入，7个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成:k:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现m1:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现m2:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现类型“L.NominalValue”用于查看标称值，“L.Uncertainty”用于与不确定元素交互。

从r到y1的不确定闭环传递是

T = feedback(L,1)

具有1个输出，1个输入，7个状态的不确定连续时间状态空间模型。模型不确定性由以下模块组成:k:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现m1:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现m2:不确定实数，标称值= 1，可变性=[-20,20]%，1次出现类型“T.NominalValue”查看标称值，“T.Uncertainty”与不确定元素相互作用。

注意，既然G1和G2都是不确定的P和T是不确定的状态空间模型。

标称植物的提取

装置的标称传递函数为

Pnom = zpk(p标称)

Pnom = 1  ------------- s ^ 2 (s ^ 2 + 2)连续时间零/钢管/增益模型。

标称闭环稳定性

接下来，我们计算名义闭环传递函数Tnom，然后检查标称系统的所有极点都有负实部:

Tnom = zpk(t .标称);maxrealpole = max(real(极点(极点)))

Maxrealpole = -0.8232

稳健稳定裕度

对于所有可能的值，反馈回路是否保持稳定k, m1, m2在规定的不确定度范围内?我们可以用robstab函数来严格地回答这个问题。

%显示报表和计算灵敏度opt = robOptions(“显示”，“上”，“敏感”，“上”）;[StabilityMargin,wcu] = robstab(T,opt);

计算峰……完成百分比:100/100系统对于建模的不确定性是非常稳定的。——它可以容忍高达288%的建模不确定性。——存在一个不稳定扰动，占模拟不确定性的289%。这种扰动导致频率为575 rad/秒的不稳定。—对每个不确定元素的敏感性为:k为12%。k增加25%，边际减少3%。m1是47%m1增加25%，利润率降低11.8%。47%是m2。m2增加25%，边际减少11.8%。

该报告指出，闭环可以容忍高达三倍的变化k, m1, m2在变得不稳定之前。它还提供了关于稳定性对每个参数的敏感性的有用信息。的变量wcu包含最小的不稳定参数变化(相对于标称值)。

wcu

wcu =带有字段的结构体:K: 1.5773 m1: 0.4227 m2: 0.4227

最坏情况性能分析

请注意，闭环传输的跨频率峰值增益T表示闭环阶跃响应中的超调水平。增益越接近1，超调越小。我们使用wcgain来计算最坏情况下的增益PeakGain的T超出指定的不确定度范围。

[峰值增益，wcu] = wcgain(T);PeakGain

PeakGain =带有字段的结构体:下限:1.0424上限:1.0731 CriticalFrequency: 4.1606

代入最坏情况下的参数变化wcu成T来计算最坏情况下的闭环转移Twc．

Twc = usubs(T,wcu);%最坏情况闭环转移T

最后，从不确定参数的随机样本中选取相应的闭环传递与最坏情况传递进行比较Twc．

Trand = ussample (T,4);% 4个不确定模型T的随机样本clf subplot(211)， bodemag(Trand)，“b”Twc,“r”, {1000});% plot博德响应次要情节(212),步骤(Trand,“b”Twc,“r”, 0.2);%图阶跃响应

图中包含2个轴对象。具有ylabel Magnitude (dB)的轴对象1包含5个类型为line的对象。这些物体代表了Trand, Twc。轴对象2包含5个类型为line的对象。这些物体代表了Trand, Twc。

图4:波德图和阶跃响应。

在这个分析中，我们看到补偿器C对k,m1,m2上指定的不确定性执行鲁棒性。

另请参阅

尿素的|号航空母舰|robstab|wcgain|usubs