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柔性梁的振动控制

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这个例子展示了如何调整控制器以减少柔性梁的振动。

柔性梁模型

图1描述了柔性梁的主动振动控制系统。

图1:柔性梁主动控制

在此设置中，执行器传递力你美元与速度传感器进行了配置。我们可以从控制输入建立传递函数的模型你美元相对于速度y美元采用有限元分析。只保留前六种模式，我们就得到了该形式的植物模型

$ $ G (s) = \ sum_ {i = 1} ^ 6 \压裂{\ alpha_i ^ 2 s} {^ 2 + 2 \ xi w_i年代+ w_i ^ 2} $ $

使用以下参数值。

%的参数α= (0.09877,-0.309,-0.891,0.5878,0.7071,-0.8091);W = [1,4,9,16,25,36];

得到的梁模型G (s)美元是由

%梁模型G = tf((1)²*[1,0]，[1,2 *xi*w(1)， w(1)²])+.．.Tf((2)²*[1,0]，[1,2 *xi*w(2)， w(2)²])+.．.Tf((3)²*[1,0]，[1,2 *xi*w(3)， w(3)²])+.．.Tf((4)²*[1,0]，[1,2 *xi*w(4)， w(4)²])+.．.Tf((5)²*[1,0]，[1,2 *xi*w(5)， w(5)²])+.．.Tf ((6)^2*[1,0]，[1,2 *xi*w(6)， w(6)^2]);G.InputName =uG的；G.OutputName =“y”；

通过这种传感器/执行器配置，光束是一个被动系统:

isPassive (G)
Ans =逻辑1

的Nyquist图证实了这一点G美元是正实数。

尼奎斯特(G)

LQG控制器

LQG控制是振动主动控制的天然配方。LQG控制设置如图2所示。的信号$ d $而且n美元分别是过程噪声和测量噪声。

图2:LQG控制结构

第一次使用lqg为目标计算最优LQG控制器

$ $ J = \ lim_ E {T \ rightarrow \ infty} \离开(\ int_0 ^ T (y ^ 2 (T) + 0.001 & # xA; u ^ 2 (T) dt \右)$ $

带噪声方差:

$$ E(d²(t)) = 1，\quad E(n²(t)) = 0.01。$ $

[a,b,c,d] = ssdata(G);M = [c d; 0 (1,12) 1];% [y;u] = M * [x;u]QWV = blkdiag(b*b'，1e-2);QXU = M'*diag([1 1e-3])*M;CLQG = lqg(ss(G)，QXU,QWV);

lqg最优控制器CLQG是复杂的，有12个状态和几个零。

大小(CLQG)
具有1个输出、1个输入和12个状态的状态空间模型。
bode(G,CLQG，{1e-2,1e3})，网格，图例(‘G’，“CLQG”）

使用通用调优器systune试着简化这个控制器。与systune，您不局限于全阶控制器，可以调优任意阶的控制器。例如，让我们调优一个二阶状态空间控制器。

C = ltiblock.ss(“C”、2、1、1);

构建图2中框图的闭环模型。

C.InputName =“yn”；C.OutputName =“u”；S1 = sumblk('yn = y + n'）;S2 = sumblk('uG = u + d'）;CL0 = connect(G,C,S1,S2，{' d '，“n”}, {“y”，“u”}, {“yn”，“u”})；

使用LQG准则$ J $以上是唯一的调优目标。LQG调优目标允许您直接指定性能权重和噪声协方差。

R1 = TuningGoal。LQG ({' d '，“n”}, {“y”，“u”},诊断接头([1,1依照]),诊断接头([1 1 e - 3]));

现在调优控制器C使LQG目标最小化$ J $．

[CL1,J1] = systune(CL0,R1);
最终:软= 0.478，硬= -Inf，迭代= 40

优化器找到一个二阶控制器J = 0.478美元．与最优的比较$ J $值CLQG：

[~，Jopt] = evalGoal(R1,replaceBlock(CL0，“C”, CLQG))
Jopt = 0.4673

性能下降小于5%，并将控制器复杂度从12个状态降低到2个状态。进一步比较脉冲响应$ d $来y美元对于两个控制器。这两种反应几乎完全相同。因此，您可以通过简单的二阶控制器获得接近最优的振动衰减。

T0 =反馈(G,CLQG，+1);T1 = getIOTransfer(CL1，' d '，“y”）;冲动(T0, T1, 5)标题(“对脉冲干扰的反应d”)传说(“LQG最优”，“二阶LQG”）

无源LQG控制器

我们用一个近似的光束模型来设计这两个控制器。先验地，不能保证这些控制器将在真实的光束上表现良好。然而，我们知道光束是一个被动物理系统，并且被动系统的负反馈互连总是稳定的。因此,如果- c (s)美元是被动的，我们可以确信闭环系统将是稳定的。

最优LQG控制器不是被动的。事实上，它的相对被动指数是无穷大的，因为1-CLQG美元甚至不是最小相。

getPassiveIndex (-CLQG)
ans = Inf

奈奎斯特的情节证实了这一点。

尼奎斯特(-CLQG)

使用systune，您可以重新调优二阶控制器的附加要求- c (s)美元应该是被动的。为此，为开环传递函数创建一个被动调优目标yn来u(这是C (s)美元)．使用“WeightedPassivity”目标来解释负号。

R2 = TuningGoal。WeightedPassivity ({“yn”}, {“u”} 1 1);R2。机会=“u”；

现在重新调优闭环模型CL1使LQG目标最小化$ J $受- c (s)美元是被动的。注意被动式目标R2现在指定为硬约束。

[CL2,J2,g] = systune(CL1,R1,R2);
最终:软= 0.478，硬= 1，迭代= 51

调谐器实现了同样的效果$ J $值，同时强制被动(硬约束小于1)。验证- c (s)美元是被动的。

C2 = getBlockValue(CL2，“C”）;passiveplot (c2)

对lqg -最优控制器的改进在Nyquist图中最为明显。

尼奎斯特(-CLQG c2)传说(“LQG最优”，二阶无源LQG）

最后，比较脉冲响应$ d $来y美元．

T2 = getIOTransfer(CL2，' d '，“y”）;冲动(T0, T2, 5)标题(“对脉冲干扰的反应d”)传说(“LQG最优”，二阶无源LQG）

使用systune，你设计了一个二阶无源控制器，具有接近最优的LQG性能。

另请参阅

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