b样条和平滑样条- MATLAB & Simulink - MathWorks Esp金宝appaña - 金宝app,下载188bet金宝搏,金宝搏官方网站

b样条和平滑样条

在这个工具箱中，带有结的b样条的定义<年代p一个nclass="inlineequation">t<年代ub>j、……t_j+k是由

$B_{j ， k} （ x ）＝ B （ x | t_{j} ， .．. ， t_{j + k} ）＝（ t_{j + k} - t_{j} ）［ t_{j} ， .．. ， t_{j + k} ］ {（ x - \cdot ）}_{+}^{k - 1} ．$

这只是b样条的几种合理归一化方法之一。它是这样被选择的

$\sum_{j ＝ 1}^{n} B_{j ， k} （ x ）＝ 1 ， t_{k} \leq x \leq t_{n + 1} ．$

但是，与其试图理解上面的b样条公式，不如看看GUI的参考页面bspliguib样条的一些基本属性，并使用该GUI获得一些关于这个有趣的函数的第一手经验。对于这个工具箱来说，它最重要的属性也是它的名字中有字母B的原因:

给定顺序的(单变量)分段多项式的每一个空间都有一个基由B<年代p一个nclass="emphasis">-样条(因此B样条中的“B”)。

b样条属性

因为B<年代ub>j, k仅在区间()上为非零。t<年代ub>j．．t<年代ub>j₊_k)，该线性系统为b样条系数所要确定的样条，通过插值或最小二乘逼近，甚至作为某种微分方程的近似解<年代p一个nclass="emphasis">带状，使得线性方程组的求解特别简单。例如，要构造一条样条年代的订单k带结序列t₁≤t₂≤···≤t<年代ub>n₊_k这年代（x<年代ub>我) =y<年代ub>我为我= 1,…,n，使用线性系统<一个class="indexterm" name="d124e15761">

$\begin{matrix} \sum_{j ＝ 1}^{n} B_{j ， k} （ x_{我} ） {一个}_{j} ＝ y_{我} & 我＝ 1 ： n \end{matrix}$

为未知的b样条系数一个<年代ub>j其中每个方程最多k非零的条目。

此外，许多关于样条的理论事实最容易用b样条来陈述和/或证明。例如，可以匹配站点上的任意数据<年代p一个nclass="inlineequation"> $x_{1} < \dots < x_{n}$ 只有一条样条的顺序<一个class="indexterm" name="d124e15784">k带结序列<年代p一个nclass="inlineequation">(t<年代ub>1、……t<年代ub>n + k）当且仅当<年代p一个nclass="inlineequation">B<年代ub>j, k(x<年代ub>j)≠0对所有j（<一个class="indexterm" name="d124e15810">Schoenberg-Whitney条件)。b样条的计算是由稳定的<年代p一个nclass="emphasis">递归关系

$B_{j ， k} （ x ）＝ \frac{x - t_{j}}{t_{j + k - 1} - t_{j}} B_{j ， k - 1} （ x ） + \frac{t_{j + k} - x}{t_{j + k} - t_{j + 1}} B_{j + 1 ， k - 1} （ x ）$

哪些也是有帮助的呢<一个class="indexterm" name="d124e15833">从b格式到ppform的转换。的<年代trong class="emphasis bold">双功能<一个class="indexterm" name="d124e15841">

${一个}_{j} （年代）：＝ \sum_{我 < k} {（ - D ）}^{k - 我 - 1} Ψ_{j} （ τ ） D^{我} 年代（ τ ）$

属性的有用表达式j第b样条系数的样条年代根据其值和导数在任意位置τ之间t<年代ub>j而且t<年代ub>j + k，以及<年代p一个nclass="inlineequation">ψ_j（t): = (t<年代ub>j + 1- t)···(t<年代ub>j + k - 1- t) / (k1) !．它可以用来证明这一点一个<年代ub>j（年代)与…密切相关年代在区间[t<年代ub>jt . .<年代ub>j + k]，似乎是最有效的方法从ppform转换到B-form。

变分方法与平滑样条

上面的<年代p一个nclass="emphasis">有建设性的方法<一个class="indexterm" name="d124e15905">不是样条曲线的唯一途径。在<年代p一个nclass="emphasis">变分方法，得到样条为<年代p一个nclass="emphasis">最好interpolant例如，作为最小的函数米在特定位置上与规定函数值相匹配的所有函数中的Th导数。事实证明，在许多这样的样条中，只有那些分段多项式或分段指数被发现有很多用处。特别有实际意义的是<年代trong class="emphasis bold">平滑样条年代＝年代_p对于给定的数据(x<年代ub>我y<年代ub>我),x∊[a . .),所有我，并给予相应的正权重w<年代ub>我，而对于给定<年代trong class="emphasis bold">平滑参数p，<一个class="indexterm" name="d124e15961">最小化

$p \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - f （ x_{我} ） |}^{2} + （ 1 - p ） \int_{一个}^{b} {| D^{米} f （ t ） |}^{2} d t$

对所有函数f与米衍生品。平滑样条年代样条是有序的吗2米每个数据站点都有休息时间。平滑参数，p，是巧妙的选择，以达到适当的平衡，想要<一个class="indexterm" name="d124e15981">误差测量

$E （年代）＝ \sum_{我} w_{我} {| y_{我} - 年代（ x_{我} ） |}^{2}$

又小又想要<一个class="indexterm" name="d124e15990">粗糙度测量

$F （ D^{米} 年代）＝ \int_{一个}^{b} {| D^{米} 年代（ t ） |}^{2} d t$

小。希望是年代包含尽可能多的信息，尽可能少的假设<一个class="indexterm" name="d124e16001">噪声，在数据中尽可能。一种方法(用于<一个href="//www.tatmou.com/es/es/help/curvefit/spaps.html">spaps)就是使F (D<年代up>米f)尽可能小的前提是E (f)不要超过规定的容许量。由于计算原因，spaps使用(等效的)平滑参数<年代p一个nclass="inlineequation">ρ= p / (1 - p)，即最小化<年代p一个nclass="inlineequation">ρE（f) +F（D<年代up>米f）．此外，有时使用更灵活的粗糙度测量是有用的

$F （ D^{米} 年代）＝ \int_{一个}^{b} λ （ t ） {| D^{米} 年代（ t ） |}^{2} d t$

以λ为合适的正权函数。