拉普拉斯算子的特征值

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这个例子展示了如何求解l形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。

膜的问题

考虑一个固定在边界的膜 $\partial Ω$ 一个地区的 $Ω$ 在平面上。它的位移 $u （ x ， y ）$ 是由特征值问题描述的 $Δ u ＝ λ u$ ,在那里 $Δ u ＝ u_{x x} + u_{y y}$ 是拉普拉斯算子和 $λ$ 是标量参数。边界条件是 $u （ x ， y ）＝ 0$ 对所有 $（ x ， y ） \in \partial Ω$ ．

拉普拉斯算子是自伴随的负定的，也就是说，只有实的负特征值 $λ$ 存在。存在一个最大(负)离散本征值，对应的本征函数 $u$ 叫做基态．在这个例子中， $Ω$ 为l型区域，与该区域相关的基态为l型膜，即MATLAB®标志。

九点有限差分逼近

特征值问题最简单的方法是近似拉普拉斯算子 $Δ u$ 通过有限差分近似(a钢网)在一个由点和距离组成的方格网格上hx在 $x$ 方向和距离沪元在 $y$ 方向。在这个例子中，近似 $Δ u$ 用求和S_h由中点周围的九个常规网格点组成 $（ x ， y ）$ ．未知量是权重 ${一个}_{- 1 - 1} ， .．. ， {一个}_{11}$ ．

信谊u (x, y)每股收益a11a10a1_1a01a00a0_1a_11a_10a_1_1信谊hx沪元积极的S_h = a_11 * u(x - Eps*hx,y + Eps*hy) +.．.a01 * u(x,y + Eps*hy) +.．.a11 * u(x + Eps*hx,y + Eps*hy) +.．.a_10 * u(x - Eps*hx,y) +.．.A00 * u(x,y) +.．.a10 * u(x + Eps*hx,y) +.．.a_1_1* u(x - Eps*hx,y - Eps*hy) +.．.a0_1 * u(x,y - Eps*hy) +.．.a1_1 * u(x + Eps*hx,y - Eps*hy);

使用符号参数每股收益对这个表达式的幂展开进行排序hx而且沪元．知道了权重，你可以通过设置来近似拉普拉斯Eps = 1．

t = taylor(S_h, Eps，“秩序”7);

使用多项式系数函数来提取具有相同幂的项的系数每股收益．每个系数都是包含幂的表达式hx，沪元的导数。u关于 $x$ 而且 $y$ ．自S_h代表 $u_{x x} + u_{y y}$ 的所有其他导数的系数u必须是零。通过替换所有的导数来提取系数u,除了 $u_{x x}$ 而且 $u_{y y}$ ，除以0。取代 $u_{x x}$ 而且 $u_{y y}$ 1。这将泰勒展开简化为您想要计算的系数，并导致以下六个线性方程。

C =公式(coeffs(t, Eps，“所有”));eq0 = subs(C(7)，u(x,y)，1) == 0;eq11 =潜艇(C (6), (diff (u, x) diff (u, y)], [1,0]) = = 0;eq12 =潜艇(C (6), (diff (u, x) diff (u, y)], [0,1]) = = 0;eq21 =潜艇(C (5), (diff (u, x, x) diff (u, x, y), diff (u, y, y)], [1, 0, 0)) = = 1;eq22 =潜艇(C (5), (diff (u, x, x) diff (u, x, y), diff (u, y, y)], [0, 1,0]) = = 0;eq23 =潜艇(C (5), (diff (u, x, x) diff (u, x, y), diff (u, y, y)], [0, 0, 1]) = = 1;

因为有9个未知权重S_h，通过要求的所有三阶导数来添加进一步的方程u都是0。

eq31 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [1, 0, 0, 0) = = 0;eq32 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [0 1 0,0]) = = 0;eq33 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [0, 0, 1, 0]) = = 0;eq34 =潜艇(C (4), (diff (u, x, x, x), diff (u, x, x, y), diff (u, x, y, y) diff (u, y, y, y)], [0, 0, 0, 1]) = = 0;

为9个未知权重解出结果的10个方程。使用ReturnConditions求包含任意参数的所有解。金宝搏官方网站

(a11 a10, a1_1、a01 a00、a0_1, a_11, a_10, a_1_1,参数、条件)=.．.解决([eq0, eq11、eq12 eq21, eq22, eq23, eq31, eq32, eq33, eq34),.．.(a11 a10, a1_1、a01 a00、a0_1, a_11, a_10, a_1_1),.．.“ReturnConditions”,真正的);扩大([a_11 a01, a11;.．.a_10、a00 a01;.．.a1_1、a0_1 a_1_1])

ans =
                  
                    $（ \begin{array}{c} z & \frac{1}{{沪元}^{2}} - 2 z & z \\ \frac{1}{{hx}^{2}} - 2 z & 4 z - \frac{2}{{hx}^{2}} - \frac{2}{{沪元}^{2}} & \frac{1}{{沪元}^{2}} - 2 z \\ z & \frac{1}{{沪元}^{2}} - 2 z & z \end{array} ）$

参数

参数=
                   $z$

使用潜艇函数将权重替换为其计算值。

C =简化(subs(C));

的表情C (7)，C (6),C (4)包含的0阶，一阶，三阶导数u消失。

[c (7)， c (6)， c (4)]

ans =
                   $（ \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array} ）$

表达式C (5)的拉普拉斯式是什么u．

C (5)

ans =
                  
                    $\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u （ x ， y ） + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} u （ x ， y ）$

因此，有了上面计算的权重值，模具S_h使拉普拉斯近似符合顺序hx ^ 2，hy ^ 2对于任意参数的任意值z，条件是z被选择是有秩序的O (1 / hx ^ 2, 1 / hy ^ 2)．

包含四阶和更高阶导数的术语

尽管该解决方案包含一个自由参数z，表达式C (3)的四阶导数u不能由一个合适的选择变成零z．另一种选择是把它变成拉普拉斯算子平方的倍数。

信谊d拉普拉斯= @(u)拉普拉斯(u，[x,y]);扩大(d *拉普拉斯(拉普拉斯(u)))

Ans (x, y) =
                  
                    $d \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} u （ x ， y ） + 2 d \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u （ x ， y ） + d \frac{\partial^{4}}{\partial y^{4}} u （ x ， y ）$

ans =

$\frac{{hx}^{2}}{12} ＝ d$

ans =

{hx}^{2} {沪元}^{2} z ＝ 2 d

ans =

$\frac{{沪元}^{2}}{12} ＝ d$

ans =

$（ \begin{array}{c} \frac{1}{360} & h & h & h & h & \frac{\partial^{6}}{\partial x^{6}} u （ x ， y ） + 5 \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} u （ x ， y ） + 5 \frac{\partial^{4}}{\partial y^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u （ x ， y ） + \frac{\partial^{6}}{\partial y^{6}} u （ x ， y ） \end{array} ）$

Ans (x, y) =

$\frac{\partial^{6}}{\partial x^{6}} u （ x ， y ） + 3. \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{4}}{\partial x^{4}} u （ x ， y ） + 3. \frac{\partial^{4}}{\partial y^{4}} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u （ x ， y ） + \frac{\partial^{6}}{\partial y^{6}} u （ x ， y ）$

U (:，1) = 0;左边界%U (1，:) = 0;%下限u(1:ny,Nx) = 0;%右边界，上半部分u(ny: ny,nx) = 0;%右边界，下半部分u(Ny,1:nx) = 0;%上边界，左边部分u(ny,nx: nx) = 0;%上边界，右边部分

u =

$（ \begin{array}{c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{2 ， 2} & u_{2 ， 3.} & u_{2 ， 4} & u_{2 ， 5} & u_{2 ， 6} & u_{2 ， 7} & u_{2 ， 8} & u_{2 ， 9} & u_{2 ， 10} & 0 \\ 0 & u_{3. ， 2} & u_{3. ， 3.} & u_{3. ， 4} & u_{3. ， 5} & u_{3. ， 6} & u_{3. ， 7} & u_{3. ， 8} & u_{3. ， 9} & u_{3. ， 10} & 0 \\ 0 & u_{4 ， 2} & u_{4 ， 3.} & u_{4 ， 4} & u_{4 ， 5} & u_{4 ， 6} & u_{4 ， 7} & u_{4 ， 8} & u_{4 ， 9} & u_{4 ， 10} & 0 \\ 0 & u_{5 ， 2} & u_{5 ， 3.} & u_{5 ， 4} & u_{5 ， 5} & u_{5 ， 6} & u_{5 ， 7} & u_{5 ， 8} & u_{5 ， 9} & u_{5 ， 10} & 0 \\ 0 & u_{6 ， 2} & u_{6 ， 3.} & u_{6 ， 4} & u_{6 ， 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{7 ， 2} & u_{7 ， 3.} & u_{7 ， 4} & u_{7 ， 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{8 ， 2} & u_{8 ， 3.} & u_{8 ， 4} & u_{8 ， 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{9 ， 2} & u_{9 ， 3.} & u_{9 ， 4} & u_{9 ， 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & u_{10 ， 2} & u_{10 ， 3.} & u_{10 ， 4} & u_{10 ， 5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} ）$

N =长度(vars);Lu = sym(零(n,1));为k=1: i = i (k);j = j (k);陆(k) = 1/6 * u (i + 1, j - 1) + 2/3 * u (i + 1, j) + 1/6 * u (i + 1, j + 1).．.+ 2/3*u(I,j-1) - 10/3*u(I,j) + 2/3*u(I,j+1).．.+1 /6*u(i-1,j-1) + 2/3*u(i-1,j) +1 /6*u(i-1,j+1);结束Lu = Lu/hx^2;

ans =

（ \begin{array}{c} - 9.5214641572625960021345709535953 & - 14.431096242107969492574666743957 & - 18.490392088545609858994660377955 \end{array} ）

μ=

- 18.490392088545609858994660377955

λ=

- 19.796765119155672176257649532142

xmin = 1;Xmax = 1;ymin = 1;Ymax = 1;Nx = 30;Nx = 2* Nx -1;hx = (xmax-xmin)/(Nx-1);Ny = 30;Ny = 2* Ny -1;hy = (ymax-ymin)/(Ny-1); u = ones(Ny,Nx); u(:,1) = 0;左边界%u(1:ny,Nx) = 0;%右边界，上半部分u(ny: ny,nx) = 0;%右边界，下半部分U (1，:) = 0;%下限u(Ny,1:nx) = 0;%上边界，左边部分u(ny,nx: nx) = 0;%上边界，右边部分u(ny + 1: ny,nx + 1: nx) = 0;[I,J] = find(u ~= 0);n = length(I);S_h =稀疏(n,n);为k=1: i = i (k);j = j (k);S_h(k,I== I +1 & J== J +1)= 1/6;S_h(k,I== I +1 & J== J)= 2/3;S_h(k,I== I +1 & J== J -1)= 1/6;S_h(k,I== I & J== J +1)= 2/3;S_h(k,I== I & J== J)=-10/3;S_h(k,I== I & J== J -1)= 2/3;S_h(k,I== I -1 & J== J +1)= 1/6;S_h(k,I== I -1 & J== J)= 2/3; S_h(k,I==i-1 & J==j-1)= 1/6;结束S_h = S_h /hx^2;

拉普拉斯算子的特征值

膜的问题

九点有限差分逼近

包含四阶和更高阶导数的术语

总结

利用符号矩阵求解特征值问题

利用双精度矩阵求解特征值问题