探索单期资产套利

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本例探讨单期两国资产投资组合中的基本套利概念。投资组合由债券、多头股票和多头看涨期权组成。

它使用这些符号数学工具箱™函数:

equationsToMatrix把一个线性方程组转换成矩阵。
linsolve解方程组。
符号等价的标准MATLAB®函数，如诊断接头．

本例象征性地推导了单期两态情景下的风险中性概率和看涨价格。

定义投资组合的参数

创建符号变量r表示该期间的无风险利率。假设r是正值。

信谊r积极的

为单个周期的开始定义参数，时间= 0．在这里S0股票价格，和C0是行权看涨期权价格，K．

信谊S0C0K积极的

现在，定义一个周期结束的参数，时间= 1．在这段时期结束时，将两种可能的状态标记为U(这段时期的股价上涨)和D(这段时期的股价下跌)。因此,苏而且SD州和州的股票价格是多少铜是状态u的值，注意了吗 $年代 D < ＝ K < ＝年代 U$ ．

信谊苏SD铜积极的

债券价格为时间= 0是1。注意，这个例子忽略了摩擦成本。

收集价格时间= 0变成一个列向量。

价格= [1 S0 C0]'

价格=
                  
                    $（ \begin{array}{c} 1 \\ {年代}_{0} \\ C_{0} \end{array} ）$

收集投资组合的收益时间= 1到回报矩阵。的列回报对应于状态D和u的支付，这些行对应于债券，股票和看涨期权的支付。债券的回报是1 + r．状态D调用的收益为零，因为它没有被执行(因为 $年代 D < ＝ K$ )．

收益= [(1 + r)， (1 + r);SD,苏;0、铜)

收益=
                  
                    $（ \begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & 苏 \\ 0 & 铜 \end{array} ）$

铜是值得的Su - k将这个值代入回报．

偿付= subs(偿付，CU, SU - K)

收益=
                  
                    $（ \begin{array}{c} r + 1 & r + 1 \\ SD & 苏 \\ 0 & 苏 - K \end{array} ）$

求解风险中性概率

定义达到状态U和D的概率。

信谊聚氨酯pD真正的

根据无套利,Eqns == 0一定要对积极持真聚氨酯而且pD．

eqns =收益*[pD;-价格

命令=
                  
                    $（ \begin{array}{c} pD (r + 1) + 聚氨酯 (r + 1) - 1 \\ SD pD - {年代}_{0} + 苏 聚氨酯 \\ - C_{0} - 聚氨酯 (K - 苏) \end{array} ）$

变换方程来使用风险中性概率。

信谊pDrnpUrn真正的；eqns = subs(eqns， [pD;聚氨酯]、[pDrn;/(1 + r)

命令=
                  
                    $（ \begin{array}{c} pDrn + pUrn - 1 \\ \frac{SD pDrn}{r + 1} - {年代}_{0} + \frac{苏 pUrn}{r + 1} \\ - C_{0} - \frac{pUrn (K - 苏)}{r + 1} \end{array} ）$

未知变量是pDrn，pUrn,C0．用这些未知变量将线性系统转换成矩阵形式。

[A, b] = equationsToMatrix(eqns， [pDrn, pUrn, C0]')

一个=
                  
                    $（ \begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ \frac{SD}{r + 1} & \frac{苏}{r + 1} & 0 \\ 0 & - \frac{K - 苏}{r + 1} & - 1 \end{array} ）$

b =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 1 \\ {年代}_{0} \\ 0 \end{array} ）$

使用linsolve，求风险中性概率和看涨价格的解。

x = linsolve(A, b)

x =
                  
                    $（ \begin{array}{c} \frac{{年代}_{0} - 苏 + {年代}_{0} r}{SD - 苏} \\ - \frac{{年代}_{0} - SD + {年代}_{0} r}{SD - 苏} \\ \frac{(K - 苏) ({年代}_{0} - SD + {年代}_{0} r)}{(SD - 苏) (r + 1)} \end{array} ）$

验证方案

验证在风险中性概率下，x (1:2)，投资组合的预期收益率，E_return等于无风险利率，r．

E_return = diag(价格)\(支付-[价格，价格])*x(1:2);E_return = subs(E_return, C0, x(3)))

E_return =
                  
                    $（ \begin{array}{c} r \\ r \\ r \end{array} ）$

无套利违规测试

作为一个测试无套利违规的例子，使用以下值:R = 5%，S0 = 100,K = 100．为Su < 105，则违反无套利条件，因为pDrn = xSol(1)是负的(Su >= sd)．此外，对于任何呼叫价格以外xSol (3)，存在套利。

xSol =简化(潜艇(x, [r, S0, K], [0.05,100,100]))

xSol =
                  
                    $（ \begin{array}{c} - \frac{苏 - 105}{SD - 苏} \\ \frac{SD - 105}{SD - 苏} \\ \frac{20. (SD - 105) (苏 - One hundred.)}{21 (SD - 苏)} \end{array} ）$

Plot Call Price as a Surface

画出看涨价格，C0 = xSol(3),因为50 <= sd <= 100而且105 <= su <= 150．注意，例如，当标的股票价格的“方差”更高时，看涨期权的价值更高，Sd = 50, su = 150．

fsurf(xSol(3)， [50,100,105,150]) xlabelSDylabel苏标题赎回价格的

图中包含一个轴对象。标题为Call Price的axes对象包含一个functionsurface类型的对象。

参考

高级衍生品，定价和风险管理:理论，工具和编程应用阿尔巴尼斯，C.，坎波列蒂，G.。