求多元函数的极值及其逼近

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这个例子展示了如何找到一个多元函数的极值，以及它在极值点附近的逼近。本例使用符号矩阵变量表示多元函数及其导数。符号矩阵变量从R2021a开始可用。

考虑多元函数 $f （ x ）＝罪（ x^{T} 一个 x ）$ ,在那里 $x$ 2 × 1向量和 $一个$ 是一个2 × 2矩阵。求这个函数的局部极值，求的导数的根 $f （ x ）$ ．也就是说，求导数的解 $\nabla f （ x_{0} ）＝ 0$ ．

创建函数并求其导数

创建矢量 $x$ 这个矩阵 $一个$ 作为符号矩阵变量。定义函数 $f （ x ）＝罪（ x^{T} 一个 x ）$ ．

信谊x(2 - 1)矩阵信谊一个(2 - 2)矩阵f = sin(x.'*A*x)

f =
                   $罪 （ x^{T} 一个 x ）$

计算导数D函数的 $f （ x ）$ 对这个向量 $x$ ．导数D是用紧凑矩阵表示的 $x$ 而且 $一个$ ．

D = diff(f,x)

D =
                   $因为 （ x^{T} 一个 x ） (x^{T} 一个 + x^{T} {一个}^{T})$

转换`symmatrix`对象`信谊`对象

符号矩阵变量x，一个，f,D是symmatrix对象。这些对象用紧凑矩阵表示法表示矩阵、向量和标量。若要显示这些变量的分量，请转换symmatrix对象信谊对象的使用symmatrix2sym．

sym = symmatrix2sym(x)

xsym =
                  
                    $（ \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array} ）$

symmatrix2sym(A)

Asym =
                  
                    $（ \begin{array}{c} {一个}_{1 ， 1} & {一个}_{1 ， 2} \\ {一个}_{2 ， 1} & {一个}_{2 ， 2} \end{array} ）$

Fsym = symmatrix2sym(f)

fsym =
                   $罪 （ x_{1} ({一个}_{1 ， 1} x_{1} + {一个}_{1 ， 2} x_{2}) + x_{2} ({一个}_{2 ， 1} x_{1} + {一个}_{2 ， 2} x_{2}) ）$

Dsym = symmatrix2sym(D)

Dsym =
                   $（ \begin{array}{c} 因为 （ x_{1} ({一个}_{1 ， 1} x_{1} + {一个}_{1 ， 2} x_{2}) + x_{2} ({一个}_{2 ， 1} x_{1} + {一个}_{2 ， 2} x_{2}) ） (2 {一个}_{1 ， 1} x_{1} + {一个}_{1 ， 2} x_{2} + {一个}_{2 ， 1} x_{2}) & 因为 （ x_{1} ({一个}_{1 ， 1} x_{1} + {一个}_{1 ， 2} x_{2}) + x_{2} ({一个}_{2 ， 1} x_{1} + {一个}_{2 ， 2} x_{2}) ） ({一个}_{1 ， 2} x_{1} + {一个}_{2 ， 1} x_{1} + 2 {一个}_{2 ， 2} x_{2}) \end{array} ）$

替换数值并找到最小值

假设你对的值感兴趣 $一个$ 是[2 1;0 3]．将这个值代入函数fsym．

fsym = subs(fsym,Asym，[2 -1;0 3])

fsym =
                   $罪 （ 3. {x_{2}}^{2} + x_{1} (2 x_{1} - x_{2}) ）$

代入 $一个$ 代入导数Dsym

Dsym = subs(Dsym,Asym，[2 -1;0 3])

Dsym =
                   $（ \begin{array}{c} 因为 （ 3. {x_{2}}^{2} + x_{1} (2 x_{1} - x_{2}) ） (4 x_{1} - x_{2}) & - 因为 （ 3. {x_{2}}^{2} + x_{1} (2 x_{1} - x_{2}) ） (x_{1} - 6 x_{2}) \end{array} ）$

然后，应用符号函数解决求导数的根。

[xmin,ymin] = solve(Dsym,xsym，“PrincipalValue”,真正的);X0 = [xmin;ymin]

x0 =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} ）$

绘制函数图 $f （ x ）$ 和极值解一起 $x_{0}$ ．将绘图间隔设置为 $- 1 < x_{1} < 1$ 而且 $- 1 < x_{2} < 1$ 的第二个论点fsurf．使用fplot3画出极值解的坐标。

Fsurf (fsym，[-1 1 -1 1])等待在ymin fplot3 (xmin,潜艇(fsym xsym, x0),“罗”view([-68 13])

图中包含一个轴对象。axis对象包含两个类型为functionsurface, parameterizedfunctionline的对象。

接近最小值的近似函数

你可以在一点附近近似多元函数 $x_{0}$ 用泰勒展开得到多项式。

$f （ x ） \approx f （ x_{0} ） + \nabla f （ x_{0} ） \cdot （ x - x_{0} ） + \frac{1}{2} （ x - x_{0} ）^{T} H （ f （ x_{0} ））（ x - x_{0} ）$

这里，这个项 $\nabla f （ x_{0} ）$ 梯度向量，和 $H （ f （ x_{0} ））$ 是多元函数的黑森矩阵 $f （ x ）$ 计算在 $x_{0}$ ．

找到黑森矩阵，并将结果作为一个符号矩阵变量返回。

H = diff(f,x,x.')

H =
                   $- 罪 （ x^{T} 一个 x ） ({一个}^{T} x + 一个 x) (x^{T} 一个 + x^{T} {一个}^{T}) + 因为 （ x^{T} 一个 x ） ({一个}^{T} + 一个)$

转换黑森矩阵 $H （ f （ x_{0} ））$ 到信谊数据类型，它以组件形式表示矩阵。使用潜艇来计算黑森矩阵 $一个$ = [2 -1;0 3]在最小值处 $x_{0}$ ．

Hsym = symmatrix2sym(H);Hsym = subs(Hsym,Asym，[2 -1;0 3]);H0 = subs(Hsym,xsym,x0)

H0 =
                  
                    $（ \begin{array}{c} 4 & - 1 \\ - 1 & 6 \end{array} ）$

计算梯度向量 $\nabla f （ x_{0} ）$ 在 $x_{0}$ ．

D0 = subs(Dsym,xsym,x0)

D0 =
                   $（ \begin{array}{c} 0 & 0 \end{array} ）$

计算函数在其最小值附近的泰勒近似。

fapprox =潜艇(fsym xsym x0) + D0 * (xsym-x0) + 1/2 * (xsym-x0)。* H0 * (xsym-x0)

fapprox =
                  
                    $x_{1} (2 x_{1} - \frac{x_{2}}{2}) - x_{2} (\frac{x_{1}}{2} - 3. x_{2})$

在同一张图上画出函数近似值 $f （ x ）$ 而且 $x_{0}$ ．

持有在Fsurf (fapprox，[-1 1 1 1 1]) zlim([-1 3])

图中包含一个轴对象。axis对象包含3个类型为functionsurface, parameterizedfunctionline的对象。

求多元函数的极值及其逼近

创建函数并求其导数

转换symmatrix对象信谊对象

替换数值并找到最小值

接近最小值的近似函数

转换`symmatrix`对象`信谊`对象