Padé延时输入的近似

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这个例子展示了如何在控制系统理论中使用Padé近似来模拟一阶系统响应中的时间延迟。时间延迟出现在化学和运输过程等系统中，其中输入和系统响应之间存在延迟。当对这些输入建模时，它们被称为死时输入。

本例使用符号数学工具箱™求解一阶系统的传递函数，并使用Padé近似值找到系统对死时间步长输入的响应。本例以符号方式执行计算以获得分析结果。

简介

阶的Padé近似(m, n)近似函数f (x)周围 $x ＝ x_{0}$ 作为

$\frac{{一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + {一个}_{米} （ x - x_{0} ）^{米}}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + b_{n} （ x - x_{0} ）^{n}} ．$

Padé近似值是由两个幂级数的比值构成的有理函数。因为它是一个有理函数，在用极点逼近函数时，它比泰勒级数更精确。Padé近似值由Symbolic Math Toolbox™函数表示pade．

当一个极点或零存在于膨胀点时 $x ＝ x_{0}$ 时，Padé近似的精度降低。为了提高精度，使用Padé近似的另一种形式

$\frac{（ x - x_{0} ）^{p} （ {一个}_{0} + {一个}_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + {一个}_{米} （ x - x_{0} ）^{米} ）}{1 + b_{1} （ x - x_{0} ） + \dots + b_{n} （ x - x_{0} ）^{n}} ．$

的pade函数返回Padé近似值的替代形式OrderMode输入参数相对．

求一阶系统的传递函数

一阶系统的行为用这个微分方程来描述

$τ \frac{d y （ t ）}{d t} + y （ t ）＝一个 x （ t ）．$

输入MATLAB®中的微分方程。

信谊τ一个x (t)y (t)xS (s)y (s)H(年代)tmpF = tau*diff(y)+y = a*x;

求的拉普拉斯变换F使用拉普拉斯．

F =拉普拉斯(F,t,s)

F =
                   $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） - τ (y （ 0 ） - 年代 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ）) ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

假设系统的响应为T = 0是0．使用潜艇代替Y (0) = 0．

F = s(F,y(0)，0)

F =
                   $拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） + 年代 τ 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

要收集常用术语，请使用简化．

F =简化(F)

F =
                   $(年代 τ + 1) 拉普拉斯 （ y （ t ） ， t ， 年代 ） ＝ 一个 拉普拉斯 （ x （ t ） ， t ， 年代 ）$

为了便于阅读，替换的拉普拉斯变换x (t)而且y (t)与xS (s)而且y (s)．

F =潜艇(F,[拉普拉斯(x (t), t, s)拉普拉斯(y (t), t, s)], [x (s) y (s)))

F =
                   $y （ 年代 ） (年代 τ + 1) ＝ 一个 xS （ 年代 ）$

传递函数的拉普拉斯变换是y (s) / xS (s)．方程两边除以xS (s)并使用sub来替换y (s) / xS (s)与H(年代)．

F = F/xS(s);F = subs(F,yS(s)/xS(s)，H(s))

F =
                   $H （ 年代 ） (年代 τ + 1) ＝ 一个$

解的方程H(年代)．代替H(年代)有一个虚拟变量，用solve求解该虚拟变量，并将解赋给Hsol (s)．

F = subs(F,H(s)，tmp);Hsol(s) = solve(F,tmp)

Hsol =
                  
                    $\frac{一个}{年代 τ + 1}$

求系统对时滞步进输入的响应

一阶系统的输入是时滞阶跃输入。要表示一个步进输入，使用亥维赛．将输入延迟三个时间单位。求拉普拉斯变换拉普拉斯．

Step = heaviside(t - 3);Step =拉普拉斯(步)

一步=
                  
                    $\frac{e^{- 3. 年代}}{年代}$

求系统的响应，也就是传递函数和输入的乘积。

y = Hsol(s)*step

y =
                  
                    $\frac{一个 e^{- 3. 年代}}{年代 (年代 τ + 1)}$

要允许绘制响应，请设置参数一个而且τ到特定的值。为一个而且τ，选择值1而且3.,分别。

Y = subs(Y，[a tau]，[1 3]);Y = ilaplace(Y,s);

使用Padé近似值查找系统响应

求阶的Padé近似(2 - 2)使用Order input参数的步进输入pade．

stepPade22 = pade(step，“秩序”(2 - 2))

stepPade22 =
                  
                    $\frac{3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2}{2 年代 (年代 + 1)}$

通过将传递函数与输入的Padé近似值相乘，找到输入的响应。

yPade22 = Hsol(s)*stepPade22

yPade22 =
                  
                    $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 4 年代 + 2)}{2 年代 (年代 τ + 1) (年代 + 1)}$

求。的拉普拉斯逆变换yPade22使用ilaplace．

yPade22 = ilaplace(yPade22,s)

yPade22 =
                  
                    $一个 + \frac{9 一个 e^{- 年代}}{2 τ - 2} - \frac{一个 e^{- \frac{年代}{τ}} (2 τ^{2} + 4 τ + 3.)}{τ (2 τ - 2)}$

要绘制响应，请设置参数一个而且τ他们的价值观1而且3.,分别。

yPade22 = subs(yPade22，[a tau]，[1 3])

yPade22 =
                  
                    $\frac{9 e^{- 年代}}{4} - \frac{11 e^{- \frac{年代}{3.}}}{4} + 1$

画出系统的响应y和由Padé近似计算的响应yPade22．

Fplot (y，[0 20])暂停在fplot(yPade22，[0 20])网格在标题“Padé死区步长输入近似”传奇(对死时间步长输入的响应，“Padé approximate[2 2]”，.．.“位置”，“最佳”）;

图中包含一个轴对象。标题为Padé的axis对象用于死区步长输入，包含2个functionline类型的对象。这些对象表示对死区步长输入的响应，Padé近似[2 2]。

使用OrderMode增加Padé近似值的精度

的(2 - 2)Padé近似不能很好地表示响应，因为在的膨胀点存在一个极点0．提高…的准确性pade当扩展点有极点或零点时，设置OrderMode输入参数到相对并重复上述步骤。详细信息请参见pade．

stepPade22Rel = pade(step，“秩序”(2 - 2),“OrderMode”，“相对”）

stepPade22Rel =
                  
                    $\frac{3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4}{年代 (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = Hsol(s)* stepppade22rel

yPade22Rel =
                  
                    $\frac{一个 (3. {年代}^{2} - 6 年代 + 4)}{年代 (年代 τ + 1) (3. {年代}^{2} + 6 年代 + 4)}$

yPade22Rel = ilaplace(yPade22Rel);yPade22Rel = subs(yPade22Rel，[a tau]，[1 3])

yPade22Rel =
                  
                    $\frac{12 e^{- t} (因为 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ） + \frac{2 \sqrt{3.} 罪 （ \frac{\sqrt{3.} t}{3.} ）}{3.})}{7} - \frac{19 e^{- \frac{t}{3.}}}{7} + 1$

fplot(yPade22Rel， [0 20]，“DisplayName的”，“相对Padé近似[2 2]”）

图中包含一个轴对象。标题为Padé的axis对象作为死时间步长输入，包含3个functionline类型的对象。这些对象表示对死区步长输入的响应，Padé近似[2 2]，相对Padé近似[2 2]。

通过增加阶数来增加Padé近似的精度

您可以通过增加Padé近似值的阶数来提高其准确性。增加订单为5 [4]重复以上步骤。的n (n - 1)Padé近似更好地逼近响应T = 0比[n n]Pade近似值。

stepPade45 = pade(step，“秩序”[4 - 5])

stepPade45 =
                  
                    $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560}{年代 (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

yPade45 = Hsol(s)*stepPade45

yPade45 =
                  
                    $\frac{一个 (27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560)}{年代 (年代 τ + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

yPade45 = subs(yPade45，[a tau]，[1 3])

yPade45 =
                  
                    $\frac{27 {年代}^{4} - 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} - 840 年代 + 560}{年代 (3. 年代 + 1) (27 {年代}^{4} + 180 {年代}^{3.} + 540 {年代}^{2} + 840 年代 + 560)}$

求。的拉普拉斯逆变换yPade45使用ilaplace．近似yPade45数值使用vpa．绘制从Padé近似值计算出的响应yPade45．

yPade45 = vpa(ilaplace(yPade45));fplot(yPade45， [0 20]，“DisplayName的”，“Padé approximate[4 5]”）

图中包含一个轴对象。标题为Padé的axis对象作为死时间步长输入，包含4个functionline类型的对象。这些对象表示对死区步长输入的响应，Padé approximate[2 2]，相对Padé approximate [2 2]， Padé approximate[4 5]。

结论

已经说明了以下几点:

Padé近似值可以模拟死区步长输入。
Padé近似值的准确性随着近似值阶数的增加而增加。
当膨胀点上存在极点或零点时，Padé近似对膨胀点是不准确的。若要增加近似的准确性，请设置OrderMode选项相对．你也可以用增加分母相对于分子的阶数。