本示例通过以下方法探索阻尼谐振子的物理特性:
在没有驱动力的情况下求解运动方程,
调查欠阻尼、过阻尼和临界阻尼的情况
推导运动方程
求解运动方程(F=0)
欠阻尼情况( )
过阻尼情况( )
严重受潮病例( )
结论
考虑一个带阻尼的强制谐振子,将电阻的大小与振荡器移动的速度成比例。
定义运动方程,其中
质量是多少
是阻尼系数
弹簧是恒定的吗
是一种驱动力
符号x(t)MCKF(t)等式=m*diff(x,t,t)+c*diff(x,t)+k*x==F
等式(t)=
使用 和 .
符号伽马射线ω0eq=subs(eq[Ck],[m*伽马,m*ω0^2])
等式(t)=
划分质量 .现在我们有了一个方便分析的方程式。
eq=收集(eq,m)/m
等式(t)=
用计算机解运动方程符号微分方程
在没有外力的情况下
.使用单位位移和零速度的初始条件。
电平=diff(x,t);cond=[x(0)==1,电平(0)==0];eq=subs(eq,F,0);sol=dsolve(eq,cond)
溶胶=
检查如何通过扩展来简化解决方案。
溶胶=展开(溶胶)
溶胶=
请注意,每个术语都有一个系数
或
使用收集
收集这些术语
sol=收集(sol,exp(-gamma*t/2))
溶胶=
术语 出现在解决方案的各个部分中。通过引入阻尼比,以更简单的形式重写它 .
将ζ代入上述术语,得出:
符号泽塔;sol=潜艇(sol,...sqrt(伽马^2-4*omega_0^2),...2*omega_0*sqrt(zeta^2-1))
溶胶=
通过替换,进一步简化解决方案 依据 和 ,
sol=SUB(sol,伽马,2*zeta*omega_0)
溶胶=
我们已经导出了无驱动力阻尼谐振子运动的一般解。接下来,我们将探讨阻尼比的三种特殊情况 这些情况称为
欠阻尼 ,
过阻尼 和
严重受潮 .
如果 然后 这完全是虚构的
solUnder=subs(sol、sqrt(zeta^2-1)、1i*sqrt(1-zeta^2))
索尔under=
注意条款 在上面的等式中,回忆一下身份
根据以下内容重写解决方案: .
solUnder=系数(solUnder,zeta);solUnder=solUnder(1);c=exp(-omega_0*zeta*t);solUnder=c*重写(solUnder/c,“因为”)
索尔under=
solUnder(t,ω0,zeta)=solUnder
solUnder(t,ω0,zeta)=
系统的固有频率为 并且以指数级的速度衰减 .
用图形绘制解决方案fplot
作为
和
.
z=[0 1/4 1/2 3/4];w=1;T=4*pi;线型={'-','--',“:k”,'-.'};fplot(@(t)solUnder(t,w,z(1)),[0t],线型{1});保持在…上;对于k=2:numel(z)fplot(@(t)solUnder(t,w,z(k)),[0t],线型{k});终止持有关网格在…上;xticks(T*linspace(0,1,5));xticklabel({'0',“\pi”,“2\pi”,“3\pi”,“4\pi”});xlabel('t/\omega_0');伊莱贝尔(“振幅”);lgd=图例('0','1/4','1/2','3/4');头衔(lgd),“\zeta”);头衔(“欠阻尼”);
如果 然后 是完全真实的,解决方案可以重写为
索洛弗
索洛弗=
索洛弗=系数(索洛弗,泽塔);索洛弗=索洛弗(1)
索洛弗=
注意条款 并回忆起身份 .
根据以下内容重写表达式: .
c=exp(-omega_0*t*zeta);solOver=c*重写(solOver/c,“cosh”)
索洛弗=
索洛弗(t,ω0,zeta)=索洛弗
索洛弗(t,ω0,zeta)=
绘制解决方案,以查看其衰减而不振荡。
z=1+[1/41/23/41];w=1;T=4*pi;线型={'-','--',“:k”,'-.'};fplot(@(t)solOver(t,w,z(1)),[0t],线型{1});保持在…上;对于k=2:numel(z)fplot(@(t)solOver(t,w,z(k)),[0t],线型{k});终止持有关网格在…上;xticks(T*linspace(0,1,5));xticklabel({'0',“\pi”,“2\pi”,“3\pi”,“4\pi”});xlabel(“\omega\u 0 t”);伊莱贝尔(“振幅”);lgd=图例('1+1/4','1+1/2','1+3/4','2');头衔(lgd),“\zeta”);头衔(“过度阻尼”);
如果 ,则解决方案简化为
临界溶质(t,ω0)=极限(溶质,zeta,1)
临界温度(t,ω0)=
绘制临界阻尼情况的解决方案。
w=1;T=4*pi;fplot(solCritical(T,w),[0t])xlabel(“\omega\u 0 t”);伊莱贝尔(“x”);头衔('临界阻尼,\zeta=1');网格在…上;xticks(T*linspace(0,1,5));xticklabel({'0',“\pi”,“2\pi”,“3\pi”,“4\pi”});
我们通过求解用阻尼比表示其运动的常微分方程,研究了谐振子的不同阻尼状态 .将所有三个案例绘制在一起进行比较和对比。
zOver=pi;zUnder=1/zOver;w=1;T=2*pi;线型={'-','--',“:k”};fplot(@(t)solOver(t,w,zOver),[0t],线型{1},“线宽”,2);保持在…上;fplot(solCritical(t,w),[0t],线型{2},“线宽”,2)fplot(@(t)solUnder(t,w,zUnder),[0t],线型{3},“线宽”,2);保持关;text颜色=行(3);text(3*pi/2,0.3,“过度受潮”,“颜色”,textColor(1,:);text(pi*3/4,0.05,“严重受潮”,“颜色”,textColor(2,:);text(pi/8,-0.1,“欠阻尼”);网格在…上;xlabel(“\omega\u 0 t”);伊莱贝尔(“振幅”); xticks(T*linspace(0,1,5));克斯蒂克拉贝尔斯酒店({'0',“\pi/2”,“\pi”,“3\pi/2”,“2\pi”});yticks((1/exp(1))*[-1012 exp(1)];Ytick标签({“-1/e”,'0',“1/e”,“2/e”,'1'});lgd=图例(“\pi”,'1',“1/\pi”);头衔(lgd),“\zeta”);头衔(“阻尼谐振子”);