在MATLAB中求解ode, 10:翻滚箱
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向空中扔一个边长有三种不同长度的矩形物体(比如一个麦片盒)。你可以让盒子绕着它的最长轴,或最短轴稳定地翻滚。但如果你试着让它绕中轴翻滚,你会发现它的运动是不稳定的。角动量的模型是一个由三个微分方程组成的非线性系统。有六个临界点:长轴和短轴对应的四个临界点是稳定的;中轴对应的两个是不稳定的。
这是一个翻滚箱角动量的微分方程。试着把一本书,或者一个盒子,或者任何三维空间不同的直线物体,旋转着抛向空中,使之翻滚。
你可以绕它的最长轴旋转,也可以绕它的最短轴旋转。但是你不能绕它的中轴旋转。让我们用数字来检验这种现象。
这是定义三个一阶微分方程组的匿名函数。现在我要从第一个临界点附近的初始条件开始。1,0,0是一个临界点。我将取0.2乘以一个随机数,让它接近临界点,然后将它归一化,使它的长度为1。
所以最大的分量是第一个分量。另外两个很小,但也不是太小。这是一个简单的数值问题。这里没有涉及到刚度。我将使用ODE 23,从0到10积分,这是解。
蓝色分量是第一个,它保持在1附近。另外两个是周期性的,绕0旋转。我们回过头来看另一个起始条件。再来一次。
另外两个分量非常小。当我们对它积分时,蓝色的部分在1附近是平坦的。另外两个人几乎不动。
现在我要到第三个临界点,0,0,1。做同样的事情。在这附近取一个随机数。使用ODE 23。现在黄色分量保持在1附近。另外两个在0周围周期性移动。
再运行一遍。第三个分量在1附近。另外两个不太大。然后运行ode23。另一个分量保持在1附近。另外两个绕0周期性旋转。
现在我们来看中间的临界点。我们要试着让盒子绕中轴旋转。第二个分量在1附近。现在我们看到了完全不同的行为。
这个sienna组件不会保持在1附近。它在-1附近下降,然后上升。让我们在更长的时间内积分,这样我们就能看到它的行为。
所以它是周期性的。但它会下降到-1,然后回到1。另外两个以很大的幅度在0附近运动。这是中间临界值的不稳定性。
我们再做一次。同样的事情。从1降至-1,再往上。这是周期性的。这些解都是周金宝搏官方网站期性的。但是中间的临界点是不稳定的。现在我想用一种不同的方式,图形化地来看。
微分方程有这三个临界点。任何恰好金宝搏官方网站在这些初始条件下开始的解都停留在那里。但是如果从这些初始条件开始呢?
结果是,x和z是稳定临界点。但是y是一个不稳定临界点。如果角动量在x或z附近,它就会保持在那里。但如果它从y附近开始,它会迅速远离。
你可以把x看成是短轴,z是长轴。短轴附近旋转稳定。而在长轴附近的旋转是稳定的。但是中轴附近的旋转是不稳定的。
我们可以从下面的图表中看到。如果一个解的初始条件是范数为1,它就一直是范数为1。所以解在单位球上。
这是我们和三个临界点x, y, z的单位份额,如果这是地球,z就是北极。0度子午线与赤道相交的轴线。那是在东大西洋,离西非不远。Y是90度子午线与赤道相交的地方。那是在苏门答腊岛以西的印度洋上。
如果我们从x附近的初始条件开始,解绕x旋转,这是绕短轴的稳定旋转。如果我们从z附近的初始条件开始,解绕z旋转,这是绕长轴的稳定旋转。
但是如果我们从y附近开始,解开始,到-y附近,转一圈,然后回到y,周期性的,但是全局清晰。这实际上是一个圆,绕x的轨道。
如果在y上方一点,我们得到一个绕z的轨道,在y下方一点,我们得到一个绕-z的轨道。在y的右边,我们得到一个绕-x的轨道。
让我们放大一点。我们可以看到y是一个经典的不稳定临界点。让我们画几个轨道来结束。
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