压电致动器的挠度

打开生活的脚本

这个例子展示了如何解决耦合elasticity-electrostatics问题。

压电材料在外加电压下变形。相反,变形压电材料产生一个电压。因此,分析压电部分需要一组耦合的偏微分方程的解与变位和电势作为因变量。

在这个例子中,模型是一个两层的悬臂梁,两层相同的聚偏二氟乙烯(PVDF)材料。(负极化方向点下来y方向)顶层和底层。典型的长度厚度比是100。当施加一个电压上下表面之间的光束,光束偏转y方向因为一层缩短和延长另一层。

平衡方程描述固体的弹性行为:

$- - - - - - \nabla \cdot σ = f$

在这里, $σ$ 是应力张量, $f$ 是身体力矢量。高斯定律描述了固体的静电行为:

$\nabla \cdot D = ρ$

$D$ 是电位移, $ρ$ 是自由电荷分布。把这两个PDE系统到这个单一的系统:

$- - - - - - \nabla \cdot {\begin{array}{c} σ \\ D \end{array}} = {\begin{array}{c} f \\ - - - - - - ρ \end{array}}$

二维分析, $σ$ 的组件 $σ_{11}, σ_{22},$ 和 $σ_{12} = σ_{21}$ , $D$ 的组件 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 。

材料的本构方程定义应力张量和电位移矢量的应变张量和电场。对于一个二维正交各向异性压电材料的分析在平面应力条件下,你可以把这些方程写成

${\begin{array}{c} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{12} \\ D_{1} \\ D_{2} \end{array}} = (\begin{array}{ccccc} C_{11} & C_{12} & e_{11} & e_{31} \\ C_{12} & C_{22} & e_{13} & e_{33} \\ G_{12} & e_{14} & e_{34} \\ e_{11} & e_{13} & e_{14} & - - - - - - E_{1} \\ e_{31} & e_{33} & e_{34} & - - - - - - E_{2} \end{array}] {\begin{array}{c} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ γ_{12} \\ - - - - - - E_{1} \\ - - - - - - E_{2} \end{array}}$

$C_{我 j}$ 弹性系数, $E_{我}$ 是电介电系数, $e_{我 j}$ 压电应力系数。压电应力系数这些方程符合传统符号在压电材料z方向(第三方向)与材料的“连接的方向。对于二维分析,的“连接的方向一致y设在。写应变向量的x位移 $u$ 和y位移 $v$ :

${\begin{array}{c} ϵ_{11} \\ ϵ_{22} \\ γ_{12} \end{array}} = {\begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \end{array}}$

写的电势电场 $ϕ$ :

${\begin{array}{c} E_{1} \\ E_{2} \end{array}} = - - - - - - {\begin{array}{c} \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

你可以把strain-displacement方程和电场方程代入本构方程,得到方程组的应力和电位移的位移和电势衍生品。用得到的方程到PDE系统方程产生一个方程组,包括散度的位移和电势衍生品。作为下一步,安排这些方程匹配所需的形式的工具箱。

偏微分方程工具箱™需要一个椭圆方程组用一个向量表示形式:

$- - - - - - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + 一个 u = f$

或者在一个张量形式:

$- - - - - - \frac{\partial}{\partial x_{k}} (c_{我 j k l} \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{l}}) + {一个}_{我 j} u_{j} = f_{我}$

在重复指数暗示求和。二维压电系统在本例中,系统的向量 $u$ 是

$u = {\begin{array}{c} u \\ v \\ ϕ \end{array}}$

这是一个 $N = 3$ 系统。的梯度 $u$ 是

$\nabla u = {\begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

为指定的细节系数在工具箱中所需的格式,见:

c系数在本例中是一个张量。你能代表2×2块3 x3的矩阵:

$(\begin{array}{cccccc} c (1) & c (3) & c (13) & c (15) & c (25) & c (27) \\ c (2) & c (4) & c (14) & c (16) & c (26) & c (28) \\ с (5) & c (7) & c (17) & c (19) & c (29) & c (31) \\ c (6) & c (8) & с (18) & c (20) & c (30) & c (32) \\ с (9) & c (11) & с (21) & c (23) & c (33) & c (35) \\ с (10) & c (12) & с (22) & c (24) & c (34) & c (36) \end{array}]$

地图的本构方程形式所需的工具箱,编写c张量和梯度的解决方案这种形式:

$(\begin{array}{cccccc} c_{1111} & c_{1112} & c_{1211} & c_{1212} & c_{1311} & c_{1312} \\ c_{1121} & c_{1122} & c_{1221} & c_{1222} & c_{1321} & c_{1322} \\ c_{2111} & c_{2112} & c_{2211} & c_{2212} & c_{2311} & c_{2312} \\ c_{2121} & c_{2122} & c_{2221} & c_{2222} & c_{2321} & c_{2322} \\ c_{3111} & c_{3112} & c_{3211} & c_{3212} & c_{3311} & c_{3312} \\ c_{3121} & c_{3122} & c_{3221} & c_{3222} & c_{3321} & c_{3322} \end{array}] {\begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

从这个方程,可以将传统本构系数映射到所需的形式c矩阵。方程中的负号的电场是纳入c矩阵匹配工具箱的约定。

$(\begin{array}{cccccc} C_{11} & \cdot & \cdot & C_{12} & e_{11} & e_{31} \\ \cdot & G_{12} & G_{12} & \cdot & e_{14} & e_{34} \\ \cdot & G_{12} & G_{12} & \cdot & e_{14} & e_{34} \\ C_{21} & \cdot & \cdot & C_{22} & e_{13} & e_{33} \\ e_{11} & e_{14} & e_{14} & e_{13} & - - - - - - E_{1} & \cdot \\ e_{31} & e_{34} & e_{34} & e_{33} & \cdot & - - - - - - E_{2} \end{array}] {\begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial x} \\ \frac{\partial ϕ}{\partial y} \end{array}}$

梁几何

创建一个PDE模型。方程有三个组件:两个组件由于线性弹性和一个组件由于静电学。因此,该模型必须有三个方程。

模型= createpde (3);

创建几何和包括在模型中。

L = 100 e - 3;%梁长度米H = 1 e - 3;%梁的整体高度H2 = H / 2;%的每一层米高播放= [3 4 0 L L 0 0 0 H2 H2);bottomLayer = [3 4 0 L L 0 h2 h2 0 0];gdm =[事务;bottomLayer] ';g = decsg (gdm,R1 + R2的,(R1的;R2的]“);geometryFromEdges(模型中,g);

情节的脸和边缘的几何标签。

图pdegplot(模型,“EdgeLabels”,“上”,…“FaceLabels”,“上”)包含(“x坐标,米”)ylabel (“坐标,米”约)轴([* L, 1.1 * L, 4 * H2, 4 * H2])轴广场

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含x坐标,米,ylabel坐标,米包含10线类型的对象,文本。

材料特性

指定的材料属性梁层。两层的材料是聚偏二氟乙烯(PVDF),一种热塑性聚合物与压电行为。

E = 2.0 e9;%弹性模量,N / m ^ 2ν= 0.29;%泊松比G = 0.775 e9;%剪切模量,N / m ^ 2d31 = 2.2 e-11;%压电应变系数C / Nd33 = -3.0 e-11;

指定的相对介电常数材料在恒定压力。

relPermittivity = 12;

指定真空的介电常数。

permittivityFreeSpace = 8.854187817620 e-12;% F / mC11 = E /(1 -ν^ 2);C12 =ν* C11;c2d = [C11 C12 0;C12 C11 0;0 0 G];pz = [0 d31;0 d33;0 0];

指定压电应力系数。

pzeE = c2d * pz;(relPermittivity D_const_stress = 0;0 relPermittivity] * permittivityFreeSpace;

将介质从恒定应力矩阵转换为恒定的压力。

D_const_strain = D_const_stress - pz的* pzeE;

弹性方程的参数的顺序 $10^{9}$ 而电气参数的顺序 $10^{- - - - - - 11} 。$ 为了避免构建一个坏脾气的矩阵,重新调节最后方程系数更大。注意,之前后处理包括c系数(例如,当你评估一个通量PDE的解决方案),你必须恢复比例改变c矩阵。

cond_scaling = 1 e5;

您可以查看36是3×3矩阵系数为2×2块。

c11 =[汇集(1,1)汇集(1、3)汇集(3,1)汇集(3,3)];c12 =[汇集(1、3)汇集(1、2);c2d(3)汇集(2、3)];c21 = c12 ';c22 =[汇集(3)汇集(2、3)汇集(3 2)汇集(2,2)];c13 = [pzeE (1,1) pzeE (1、2);pzeE (3,1) pzeE (2)];c31 = cond_scaling * c13 ';c23 = [pzeE (3,1) pzeE (3 2);pzeE (2, 1) pzeE (2, 2)]; c32 = cond_scaling*c23'; c33 = cond_scaling*[D_const_strain(1,1) D_const_strain(2,1) D_const_strain(1,2) D_const_strain(2,2)]; ctop = [c11(:); c21(:); -c31(:); c12(:); c22(:); -c32(:); -c13(:); -c23(:); -c33(:)]; cbot = [c11(:); c21(:); c31(:); c12(:); c22(:); c32(:); c13(:); c23(:); -c33(:)];

如果你问题第三方程,包括电流源规模f系数:f = [0 0 cond_scaling * value_f]。否则,指定它,如下所示。

f = (0 0 0) ';

指定系数。

specifyCoefficients(模型,“m”0,“d”0,“c”ctop,“一个”0,“f”f“面子”2);specifyCoefficients(模型,“m”0,“d”0,“c”芝加哥期货交易所,“一个”0,“f”f“面子”1);

边界条件

设置电压(3)解决方案组件上方的梁(1)边缘到100伏特。

voltTop = applyBoundaryCondition(模型,“混合”,…“边缘”,1…“u”,100,…“EquationIndex”3);

指定梁的底部边缘(2)是通过设置接地电压为0。

voltBot = applyBoundaryCondition(模型,“混合”,…“边缘”2,…“u”0,…“EquationIndex”3);

指定(边缘6和7)左侧夹通过设置x- - -y位移(解决方案组件1和2)为0。

clampLeft = applyBoundaryCondition(模型,“混合”,…“边缘”者,…“u”[0 0],…“EquationIndex”1:2);

的压力和电荷右边梁为零。因此,使用默认的边界条件为边缘3和4。

有限元分析解决方案金宝搏官方网站

生成一个网格模型和解决。

msh = generateMesh(模型,“Hmax”5的军医);结果= solvepde(模型)

结果= StationaryResults属性:NodalSolution: [3605 x3双]XGradients: [3605 x3双]YGradients: [3605 x3双]ZGradients: [0 x3双]网:[1 x1 FEMesh]

访问节点位置的解决方案。第一列包含了x偏转。第二列包含了y偏转。第三列包含了电势。

rs = result.NodalSolution;

找到最小y偏转。

feTipDeflection = min (rs (:, 2));流(“有限元尖挠度:% 12.4 e \ n”,feTipDeflection);

e-05有限元尖挠度是:-3.2900

这个结果与已知的解析解相比较。

tipDeflection = 3 * d31 * 100 * L ^ 2 / (8 * H2 ^ 2);流(“分析提示偏转是:% 12.4 e \ n”,tipDeflection);

分析提示偏转:-3.3000 e-05

偏转组件和电势的阴谋。

varsToPlot = char (“X-Deflection,米”,…“y偏转,米”,…“电势,伏”);为i = 1:尺寸(varsToPlot 1)图;pdeplot(模型,“XYData”rs(:我),“轮廓”,“上”)标题(varsToPlot(我:))%范围内轴,让它更容易查看轮廓轴([0,L, 4 * H2, 4 * H2])包含(“x坐标,米”)ylabel (“坐标,米”)轴广场结束

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象标题X-Deflection米,包含x坐标,米,ylabel坐标,米包含12块类型的对象,线。

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象标题y偏转,米,包含x坐标,米,ylabel坐标,米包含12块类型的对象,线。

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象标题电势、伏,包含x坐标,米,ylabel坐标,米包含12块类型的对象,线。

引用

黄、Woo-Seok Hyun Chul公园。“压电传感器和致动器的有限元建模”。张仁杂志31日。5(May 1993): 930-937.
Pieford, V。“压电活性结构的有限元建模”。PhD diss., Universite Libre De Bruxelles, 2001.