单位圆盘上的泊松方程

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这个例子展示了如何数值求解泊松方程，比较数值解和精确解，并细化网格直到解接近。金宝搏官方网站

在具有零狄利克雷边界条件的单位圆盘上的泊松方程可以写成 $- Δ u ＝ 1$ 在 $Ω$ ， $u ＝ 0$ 在 $δ Ω$ ,在那里 $Ω$ 为单位磁盘。准确的解是

$u （ x ， y ）＝ \frac{1 - x^{2} - y^{2}}{4} ．$

对于大多数偏微分方程，精确的解是未知的。然而，单位圆盘上的泊松方程有一个已知的、精确的解，您可以使用它来查看在细化网格时误差是如何减小的。

问题定义

创建PDE模型并包含几何图形。

模型= createpde ();geometryFromEdges(模型、@circleg);

绘制几何图形并显示边界条件定义中使用的边缘标签。

图pdegplot(模型,“EdgeLabels”，“上”）;轴平等的

图中包含一个轴对象。axis对象包含5个类型为line, text的对象。

在所有边上指定零狄利克雷边界条件。

applyBoundaryCondition(模型,“边界条件”，．..“边缘”1: model.Geometry.NumEdges,．..“u”, 0);

指定系数。

specifyCoefficients(模型,“米”0,' d '0,“c”, 1“一个”0,“f”1);

粗糙网格的求解和误差

创建一个最大元素尺寸为0.1的网格。

hmax = 0.1;generateMesh(模型,“Hmax”, hmax);图pdemesh(模型);轴平等的

图中包含一个轴对象。轴对象包含两个类型为line的对象。

解偏微分方程并画出解。

结果= solvepde(模型);u = results.NodalSolution;pdeplot(模型,“XYData”u)标题(的数值解）;包含(“x”) ylabel (“y”）

图中包含一个轴对象。标题为数值解的轴对象包含一个patch类型的对象。

将此结果与精确解析解进行比较，并绘制误差曲线。

p = model.Mesh.Nodes;Exact = (1 - p(1，:)。: ^ 2 - p(2)。^ 2)/ 4;pdeplot(模型,“XYData”，u - exact')“错误”）;包含(“x”) ylabel (“y”）

图中包含一个轴对象。标题为Error的axes对象包含一个patch类型的对象。

金宝搏官方网站修正网格的解决方案和错误

求解方程，在每次迭代中细化网格，并将结果与精确解进行比较。每次细分都将Hmax价值。细化网格，直到误差向量无穷大范数小于 ${5 \cdot 10}^{- 7}$ ．

hmax = 0.1;错误= [];呃= 1;而犯错> 5 e -%运行直到错误<= 5e-7generateMesh(模型,“Hmax”, hmax);%细化网格结果= solvepde(模型);u = results.NodalSolution;p = model.Mesh.Nodes;Exact = (1 - p(1，:)。: ^ 2 - p(2)。^ 2)/ 4;Err = norm(u - exact'，inf);%与精确溶液比较错误= [Error err];保存err的历史hmax = hmax / 2;结束

绘制每个迭代的错误向量的无限范数。误差值在每次迭代中减小。

情节(错误,“处方”，“MarkerSize”12);甘氨胆酸ax =;斧子。XTick = 1:元素个数(错误);标题(“历史错误”）;包含(“迭代”）;ylabel (错误的标准）;

图中包含一个轴对象。标题为“错误历史”的axes对象包含一个类型为line的对象。

绘制最终的网格及其对应的解。

图pdemesh(模型);轴平等的

图中包含一个轴对象。轴对象包含两个类型为line的对象。

图pdeplot(模型,“XYData”u)标题(的数值解）;包含(“x”) ylabel (“y”）

图中包含一个轴对象。标题为数值解的轴对象包含一个patch类型的对象。

将结果与精确解析解进行比较，并绘制误差曲线。

p = model.Mesh.Nodes;Exact = (1 - p(1，:)。: ^ 2 - p(2)。^ 2)/ 4;pdeplot(模型,“XYData”，u - exact')“错误”）;包含(“x”) ylabel (“y”）

图中包含一个轴对象。标题为Error的axes对象包含一个patch类型的对象。

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