主要内容

利用z变换求解差分方程

解决差分方程,利用z变换符号数学工具箱™工作流。z变换的简单的例子,请参阅ztrans和iztrans。

定义:z变换

一个函数的z变换f(n)被定义为

F ( z ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) z n 。

概念:使用象征性的工作流

象征性的工作流控制计算自然符号形式而不是数字形式。这种方法将帮助您理解您的解决方案的属性和使用的符号值。你用数字代替符号变量只有当你需要或者你不能继续象征性的数值结果。有关详细信息,请参见选择数字或符号算术。通常,这些步骤是:

  1. 申报的方程。

  2. 解决方程。

  3. 替代的价值观。

  4. 阴谋的结果。

  5. 分析的结果。

工作流程:使用z变换解决“兔子增长”问题

申报的方程

您可以使用z变换解决差分方程,如著名的“兔增长”的问题。如果一对兔子在一年内到期,然后产生另一个每年一双兔子,兔子人口p(n)在一年n是这个差分方程所描述的。

p(n+ 2)=p(n+ 1)+p(n)。

声明方程假设右边的表达式0。因为n代表年,假设n是一个正整数。这种假设简化结果。

信谊p (n) z假设(n > = 0 (n,“整数”)&)f = p (n + 2) - p (n + 1) - p (n)
f = p (n + 2) - p (n + 1) - p (n)

解决方程

找到的z变换方程。

fZT = ztrans (f (n z)
fZT = * p (0) - z * ztrans (p (n), n, z) - z * p (1) + z ^ 2 * ztrans (p (n), n, z) -…z ^ 2 * p (0) - ztrans (p (n), n, z)

这个函数解决解决只有象征性的变量。因此,使用解决,第一个替代ztrans (p (n), n, z)与变量压电。

信谊压电fZT =潜艇(fZT ztrans (p (n), n, z),钛酸
fZT = z * p(0) -压电陶瓷片的压电陶瓷- z * p (1) * z - z ^ 2 * p(0) +压电* z ^ 2

解出压电。

压电陶瓷片的压电陶瓷=解决(fZT)
压电陶瓷= - * p (1) - (z z * p (0) + z ^ 2 * p (0)) / (z - z ^ 2 + + 1)

计算p(n)通过计算逆z变换压电。简化的结果。

pSol = iztrans(压电陶瓷,z, n);pSol =简化(pSol)
pSol = 2 * (1) ^ (n / 2) * p (1) * cos (n *(π/ 2 + asin我/ 2)(1))+…(2 ^ (2 - n) * 5 ^ (1/2) * (5 ^ (1/2) + 1) ^ (n - 1) * (p (0) / 2 - p (1))) / 5 -…(2 * 2 ^ (1 - n) * 5 ^ (1/2) * (1 - 5 ^ (1/2)) ^ (n - 1) * (p (0) / 2 - p (1))) / 5

替代值

绘制结果,第一代的值初始条件。让p (0)和(1页)是1和2,分别。

pSol =潜艇(pSol [p (0) p (1)]、[1 - 2])
pSol = 4 * (1) ^ (n / 2) * cos (n *(π/ 2 + asin我/ 2)(1))-…(3 * 2 ^ (2 - n) * 5 ^ (1/2) * (5 ^ (1/2) + 1) ^ (n - 1) / 10 +……(3 * 2 ^ (1 - n) * 5 ^ (1/2) * (1 - 5 ^ (1/2)) ^ (n - 1) / 5

阴谋的结果

显示的增长兔子人口随着时间的推移,通过绘制pSol。

nValues = 1:10;pSolValues =潜艇(pSol n nValues);pSolValues =双(pSolValues);pSolValues =实际(pSolValues);阀杆(nValues pSolValues)标题(“兔子”)包含(年(n)) ylabel网格(“人口p (n)”)

分析结果

情节显示解决方案似乎成倍增加。然而,由于解决方案pSol包含很多方面,发现产生这种行为的条款需要分析。

因为所有的功能pSol可以表达的吗经验值,重写pSol来经验值。简化结果通过简化与80年额外的简化步骤。现在,您可以分析pSol。

pSol =重写(pSol,“经验值”);pSol =简化(pSol“步骤”,80)
pSol = (2 * 2 ^ n) / (5 ^ (1/2) - 1) ^ n + (2 * (1 - 5 ^ (1/2)) ^ n) / 2 ^ n -…(6 * 5 ^ (1/2)* (5 ^ (1/2)+ 1)^ n) / (5 * 2 ^ n * (5 ^ (1/2) + 1)) -…(6 * 5 ^ (1/2)* (1 - 5 ^ (1/2))^ n) / (5 * 2 ^ n * (5 ^ (1/2) - 1))

视觉检查pSol。请注意,pSol是一个条件的总和。每一项是一个比率,可以增加或减少n增加。对于每个术语,可以证实这一假设在几个方面:

  • 检查限制n =正去0或正通过使用限制。

  • 情节增加的术语n和检查的行为。

  • 计算的价值在一个较大的值n。

为简单起见,使用第三种方法。在计算方面n = 100,然后验证方法。首先,找到个人使用孩子们,代替n,转换为双。

pSolTerms =孩子(pSol);pSolTerms = [pSolTerms {}):;pSolTermsDbl =潜艇(pSolTerms, n, 100);pSolTermsDbl =双(pSolTermsDbl)
pSolTermsDbl = 1.0 e + 21 * 1.5841 0.0000 -0.6568 -0.0000

结果表明,一些术语0而其他方面有一个大的大小。假设高震级条款产生指数行为。近似pSol与这些条款。

idx = abs (pSolTermsDbl) > 1;%使用任意截止pApprox = pSolTerms (idx);pApprox =总和(pApprox)
pApprox = (2 * 2 ^ n) / (5 ^ (1/2) - 1) ^ n -…(6 * 5 ^ (1/2)* (5 ^ (1/2)+ 1)^ n) / (5 * 2 ^ n * (5 ^ (1/2) + 1))

验证的假说策划之间的近似误差pSol和pApprox。正如预期的那样,错误去0作为n增加。这个结果表明符号计算如何帮助您分析您的问题。

Perror = pSol - pApprox;nValues = 1:30;Perror =潜艇(Perror n nValues);茎(nValues Perror)包含(年(n)) ylabel(“错误(pSol - pApprox)”)标题(“近似误差”)

引用

[1]安德鲁斯,开出信用证、Shivamoggi b.k.,积分变换应用工程师和数学家,麦克米伦出版公司,纽约,1986年

[2]克兰德尔右眼,项目在科学计算斯普林格出版社出版社,纽约,1994年

[3]斯特朗,G。,介绍了应用数学1986年,Wellesley-Cambridge出版社,韦尔斯利,妈,