QR算法的变体

QR算法是数学软件中最成功和最强大的工具之一。

MATLAB^®核心库包括QR算法的几个变体。这些变量计算实对称矩阵、实非对称矩阵、实矩阵对、复矩阵、复矩阵对和各种类型矩阵的奇异值的特征值。这些核心库函数在各种MATLAB工具箱中用于查找稀疏矩阵和线性算子的特征值和奇异值，查找多项式的零点，求解特殊线性系统，评估数值稳定性，以及执行许多其他任务。

数十人对QR算法变体的开发做出了贡献。关于这一主题的第一篇论文是由J.G.F.弗朗西斯(1961年和1962年)和Vera N. Kublanovskaya(1963年)发表的。但是，是J.H.威尔金森开发了QR算法的第一个完整实现。威尔金森还提出了一个重要的收敛分析。威尔金森的书代数特征值问题他的两篇论文发表于1965年。这意味着我们将能够庆祝2015年作为实用QR算法的黄金周年。

用于奇异值分解(SVD)的QR算法的变体由Gene Golub和Velvel Kahan在1965年发表，并由Golub和Christian Reinsch在1969年完善。

名称“QR”

“QR”的名字来源于字母Q，用来表示正交矩阵，字母R，用来表示直角三角形矩阵。有一个qr函数，但它计算QR分解，而不是QR算法。任何矩阵，无论是实矩阵还是复矩阵，方阵还是方阵，都可以因式分解成一个矩阵的乘积问用标准正交列和矩阵R它只有在它的上三角形或右三角形中是非零的。你可能还记得Gram Schmidt过程，它做了几乎相同的事情，尽管它最初的形式在数值上是不稳定的。

一行程序

使用qr函数，QR算法的简单变体可以在一行MATLAB代码中表示。让一个是方形的，n——- - - - - -n矩阵，让I = eye(n,n)．然后给出QR迭代的一步

s = A(n,n);[Q,R] = qr(A - s*I);A = R*Q + s*I

量\(s\)是位移;它加速了融合。当\(A\)趋于上三角矩阵时，\(s\)趋于特征值。如果在一行中输入这三条语句，则可以使用向上箭头键进行迭代。

QR分解得到一个上三角形R。

\[A-sI = QR \]

然后逆序乘法，\(RQ\)，恢复特征值，因为

\[RQ + sl = Q^{T}(A - sl)Q + sl = Q^{T} Q \]

所以新的\(A\)和原来的\(A\)很相似。每次迭代都有效地将一些“质量”从下三角形转移到上三角形，同时保留特征值。随着迭代的进行，矩阵开始接近上三角矩阵，特征值方便地显示在对角线上。

一个例子

为了说明这个过程，我们将使用MATLAB Gallery集合中的一个矩阵。

A =画廊(3)A = -149 -50 -154 537 180 546 -27 -9 -25

这一点都不明显，但是这个矩阵已经被构造成具有特征值1 2和3。我们的单行QR码的第一次迭代产生

A = 28.8263 -259.8671 773.9292 1.0353 -8.6686 33.1759 -0.5973 5.5786 -14.1578

矩阵现在更接近于上三角，但是特征值仍然不明显。然而，经过五次迭代之后，我们有了

A = 3.0321 -8.0851 804.6651 0.0017 0.9931 145.5046 -0.0001 0.0005 1.9749

我们开始看到特征值3 1 2出现在对角线上。再进行8次迭代

A = 3.0716 -7.6952 802.1201 0.0193 0.9284 158.9556 00 2.0000

特征值2.0已计算到显示的精度，与之相邻的对角线下元素已变为零。此时，有必要继续对左上角的2 × 2子矩阵进行迭代。

QR算法从未以这种简单的形式进行。它的前面总是有一个压缩形式，其中次对角线以下的所有元素都是零。迭代保留了这种简化形式，因式分解可以更快地完成。移位策略更加复杂，并且不同形式的算法是不同的。此外，简化形式对于迭代的收敛性是极其重要的。

对称矩阵

图1-3展示了QR算法的三个最重要的变体。这些图是从程序生成的输出中截取的快照eigsvdgui.m从MATLAB数值计算．

最简单的变体涉及实对称矩阵。一个n——- - - - - -n将实对称矩阵化简为三对角线形式n -户主反射，这是一个相似变换序列，保留特征值。QR迭代适用于三对角线形式。威尔金森提供了一种转移策略，使他能够证明全局收敛和局部三次收敛率。即使存在舍入误差，该算法也能保证成功。

图1显示了一个初始对称矩阵，三对角化简一半的情况，三对角化简，QR迭代一半的情况，最后是特征值。实际上，由于矩阵是对称的，计算只在数组的一半上执行，但我们的图反映了结果，以显示整个矩阵。

非对称矩阵

实的非对称矩阵的情况要复杂得多。最初减少使用n -户主相似度转换来创建一个海森伯格矩阵，它是上三角加上一个“额外的”次对角线。然后使用具有双移位策略的QR迭代。在尝试创建一个真正的舒尔形式时，这保留了海森伯格形式，它是上三角形，除了对角线上对应于复共轭特征值对的2 × 2块。

非对称Hessenberg QR算法并非绝对正确。这是一个迭代过程，并不总是保证收敛。甚至在30年前，基本迭代的反例就已经为人所知。威尔金森引入了一个额外的“特别”位移来处理它们，但还没有人能够证明一个完整的收敛定理。所以，在很少的情况下，MATLAB用户可能会看到这样的消息:

错误使用==> eig，解决方案将不收敛

几年前，收到这条信息的人可能会认为这是不可避免的。但今天，大多数人会感到惊讶或恼火;他们已经开始期望绝对正确。

我们现在知道一个4乘4的例子，它可能会导致真实的、非对称的QR算法在某些计算机上失败，即使是威尔金森的临时移位。矩阵是

\[A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\]

这是多项式p(x)=x^4 - 2x^2 + 1的伴生矩阵，而表述是

根([1 0 -2 0 1])

的计算eig (A)．值\(\lambda = 1 \)和\(\lambda = -1 \)都是特征值或多项式根，多重数为2。对于实\(x\)，多项式\(p(x)\)永远不为负。这些二重根大大减慢了迭代速度，以至于在某些计算机上，四舍五入误差在检测到收敛之前就会产生干扰。迭代可以永远徘徊，试图收敛，但当它接近时转向。

该表单的示例显示了类似的行为

\[\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -\delta & 0 \\ 0 & delta & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

其中\(\delta\)很小，但又不至于小到可以忽略——比如，\(\delta = 10^{-8}\)。准确的特征值接近于一对二重根。Wilkinson双移迭代使用每对中的一个特征值。这种迭代确实改变了矩阵，但不足以获得快速收敛。所以我们必须使用不同的双移基于重复一个低的2 × 2块的特征值。

这些不同的临时移位策略已被纳入LAPACK的最新版本，并因此纳入MATLAB。我们现在的情况是，我们不知道任何矩阵会引起eig或根要显示“不会收敛消息，但是我们没有证据证明这些不同修饰的非对称代码是绝对正确的。

图2显示了一个初始的非对称矩阵，一半的情况下，约简到Hessenberg形式，Hessenberg形式，一半的情况，通过QR迭代，和最终的实Schur形式。对于这个特殊的矩阵，它恰好有四个实数特征值和三个复共轭对，总共有十个特征值。

奇异值

一个可能的矩形矩阵\(a \)的奇异值是对称矩阵\(a ^{T} a \)特征值的平方根。这个事实可以用来激励和分析一个算法，但它不应该是实际计算的基础与有限精度算术。Golub-Kahan-Reinsch算法的初始阶段涉及在左侧和右侧操作的Householder反射，以将矩阵简化为双对角线形式。这个阶段之后是QR算法在双对角线上运行的SVD变体。将Wilkinson对对称三对角QR的分析应用于该算法，保证了算法的全局收敛性。

图3显示了初始矩形矩阵，还原到双对角形式的一半情况，双对角形式，QR迭代的一半情况，以及包含奇异值的最终对角形式。

QR算法应用

虽然计算特征值和奇异值的QR算法是密切相关的，但其结果的应用通常是非常不同的。特征值常用于分析常微分方程系统，其中行为作为时间的函数是重要的。另一方面，奇异值对于分析联立线性方程组的静态系统是有用的，其中方程的数量往往不等于未知数的数量。

控制理论和控制设计自动化大量利用特征值。控制理论中研究的经典微分方程状态空间系统是

{对齐}\ \[\开始点{x} & y = Ax +布鲁里溃疡\ \ & =残雪+ Du \{对齐}结束\]

利用QR算法计算\(A\)的特征值对于研究稳定性和可控性等问题至关重要。

在统计学中，SVD是一种数值上可靠的获取主成分的方法。主成分分析(PCA)是一种分析超定线性方程组的技术

\ [Ax = b \]

A的行比列多。利用QR算法计算A的奇异值和向量，得到主成分。

供进一步阅读和观看

Golub, Gene H.和Charles F. Van Loan，矩阵计算，第四版约翰·霍普金斯大学出版社，1996年，697页。

硅藻土、克里夫MATLAB数值计算，第10章，“特征值和奇异值”。

硅藻土、克里夫1976年矩阵奇异值分解薄膜．

威尔金森,J.H代数特征值问题，牛津大学出版社，1965年，662页。